非線性模型理論及其應(yīng)用研究

.z.第一組計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論與方法字?jǐn)?shù)10000非線性模型理論及其應(yīng)用研究**財(cái)經(jīng)大學(xué)馬薇袁銘摘要 本文對(duì)長(zhǎng)記憶模型（ARFIMA）及其估計(jì)方法，平滑轉(zhuǎn)移自回歸模型（STAR）的一般形式與拓展形式，經(jīng)濟(jì)過程中的非線性檢驗(yàn)以及模型選擇檢驗(yàn)進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹和初步研究，并在此基礎(chǔ)上引入了分整平滑轉(zhuǎn)移自回歸模型（FI-STAR）。在模型應(yīng)用方面，本文使用FI-STAR模型，結(jié)合使用GARCH模型修正模型殘差，給出了研究微觀金融市場(chǎng)"杠桿效應(yīng)”和股指聯(lián)動(dòng)性的分析框架，也對(duì)使用STAR族模型研究微觀市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步嘗試。關(guān)鍵詞：ARFIMA、STAR、LSTAR、ESTARAbstractThispaperemphasisontheARFIMAmodelanditsestimationaswellasprovideabriefsketchonthebasicformandsomee*tensionsofsmoothtransitionautoregressivemodel.Then,wereviewthenonlineartestandmodelspecificationtestofagiveneconomicprocessandintroducethefractionalintegratedSTARmodel.Finally,forthemodelappliance,wesubtlybinetheFI-STARmodelwithGARCHmodelasanadjustmentoftheresidualstoprovideaframeworkoftheresearchonthe"leverageeffect”andinteractionsbetweendifferentstockmarket.Thesepreliminarye*plorationsarestillassomeattemptsofusingSTARfamilymodeltoanalysisthemicroeconomicandmarketprocesses.Keyword:ARFIMA、STAR、LSTAR、ESTAR作者簡(jiǎn)介馬薇性別女出生日期1958.12.21學(xué)位：博士學(xué)位職稱教授（博士生導(dǎo)師）**財(cái)經(jīng)大學(xué)袁銘性別男出生日期19820512**財(cái)經(jīng)大學(xué)博士研究生研究方向計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)引言現(xiàn)實(shí)中，自然、社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象各因素之間一般存在非線性的復(fù)雜關(guān)系。長(zhǎng)期以來，因受自身能力約束，人們難以有效識(shí)別與分析。在問題研究中，往往采用牛頓還原論的思維模式，力圖將其轉(zhuǎn)化或逼近成線性關(guān)系處理。作為數(shù)學(xué)、理論統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)研究方向，目前非線性數(shù)據(jù)的線性化工作取得了重要進(jìn)展，建立了較完備理論方法體系，成功應(yīng)用于自然科學(xué)領(lǐng)域。人們關(guān)注的熱點(diǎn)已轉(zhuǎn)向社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用。由于不可能針對(duì)每一組非線性數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)單獨(dú)的分解方法，所以通過非線性模型分類，針對(duì)類型設(shè)計(jì)出相應(yīng)的線性轉(zhuǎn)換或逼近方法成為此項(xiàng)研究的主流。而非線性模型族的識(shí)別則成為基礎(chǔ)性的工作。對(duì)于非線性經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的線性轉(zhuǎn)化而言，合理性判斷應(yīng)是其能否較充分反映原有的經(jīng)濟(jì)關(guān)系。一、ARFIMA模型及其估計(jì) 長(zhǎng)期記憶及分整的概念是由Granger和Joyeu*（1980）[1]提出的。他們認(rèn)為，對(duì)于許多時(shí)間序列來說，差分序列的譜密度函數(shù)表現(xiàn)出過度差分的現(xiàn)象；同時(shí)，原始序列也表現(xiàn)出長(zhǎng)期相關(guān)性，這與穩(wěn)定ARMA模型相悖。因此，Granger和Joyeu*引入分?jǐn)?shù)差分算子將原始序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)的ARMA序列過程。 一般形式的線性ARFIMA(p,d,q)模型具有如下形式：（1.1） 其中和分別為p階和q階滯后算子多項(xiàng)式，L為滯后算子，為了滿足時(shí)間序列的平穩(wěn)性要求，需要約束算子多項(xiàng)式的特征根都在單位圓外，分?jǐn)?shù)階差分算子通常還可以寫作：（1.2）ARFIMA模型的檢驗(yàn)與估計(jì)主要Geweke，Porter和Hudak（1983）[2]提出的半?yún)?shù)譜分析方法（GPH）。該方法的核心思想是分?jǐn)?shù)階差分參數(shù)d等于時(shí)序譜密度函數(shù)在處的斜率，對(duì)于d的估計(jì)還有研究人員給出了基于最大似然函數(shù)的參數(shù)化估計(jì)方法，例如Sowell（1992）提出的精確最大似然估計(jì)法，還有Fo*和Taqqu（1983）給出的頻域近似最大似然估計(jì)法。這兩種方法都能夠同時(shí)估計(jì)模型的短記憶和長(zhǎng)記憶參數(shù)，但計(jì)算起來較為復(fù)雜，并且依賴對(duì)ARFIMA中高頻部分的正確設(shè)定，也就是說差分參數(shù)d的估計(jì)結(jié)果對(duì)ARMA中滯后階數(shù)p，q的選擇較為敏感。總之，在長(zhǎng)記憶參數(shù)d的估計(jì)問題上，參數(shù)方法比半?yún)?shù)方法的效率高，但是計(jì)算量龐大，并且受限于模型的錯(cuò)誤識(shí)別；相對(duì)地，半?yún)?shù)方法的計(jì)算量較小，對(duì)模型的錯(cuò)誤識(shí)別具有穩(wěn)健型，但效率較低。因此，可以考慮使用貝葉斯思想將兩類方法結(jié)合起來，例如可以使用半?yún)?shù)估計(jì)方法，如GPH方法得當(dāng)參數(shù)d的初始估計(jì)并構(gòu)造d和殘差的先驗(yàn)分布，然后在此基礎(chǔ)上，使用近似極大似然估計(jì)方法（Baron，1995）得當(dāng)d的貝葉斯估計(jì)，從而使長(zhǎng)記憶參數(shù)d的估計(jì)更加準(zhǔn)確、穩(wěn)健。二、平滑轉(zhuǎn)移自回歸模型及其非線性檢驗(yàn)平滑轉(zhuǎn)移自回歸模型（STAR）是Granger和Ter?svirta（1993）[3]提出的，作為機(jī)制轉(zhuǎn)換類模型的一種，STAR模型可以使在兩個(gè)極端機(jī)制之間的變化成為平滑或逐漸的變化。下面就STAR模型的一般形式、拓展形式，STAR模型的檢驗(yàn)展開討論。1.STAR模型的一般形式 一般來說，兩機(jī)制的STAR(p)模型可以寫作：（2.1）函數(shù)用來協(xié)調(diào)經(jīng)濟(jì)過程在兩種機(jī)制（或）之間的轉(zhuǎn)換，并且這種轉(zhuǎn)換是平滑的。是轉(zhuǎn)移變量，可以是（1）滯后內(nèi)生解釋變量（）；（2）外生解釋變量（）；（3）滯后內(nèi)生變量的線性或非線性函數(shù)（）；（4）線性時(shí)間趨勢(shì)，即使STAR模型具有時(shí)變的特征。對(duì)于函數(shù)形式的選擇一般有兩種：logistic形式的（LSTAR）或指數(shù)形式（ESTAR）的。一階Logistic形式的函數(shù)可以寫作：（2.2）其中，參數(shù)c是兩個(gè)機(jī)制轉(zhuǎn)換的門限值，的值隨著轉(zhuǎn)移變量值的遞增從0單調(diào)遞增至1，并有；參數(shù)決定了logistic函數(shù)值變化的平滑程度，即從一種機(jī)制向另一種機(jī)制轉(zhuǎn)變的平滑程度。如果非常大，則兩種機(jī)制之間的轉(zhuǎn)換幾乎是瞬間實(shí)現(xiàn)的。更一般的，可以將一階Logistic形式的轉(zhuǎn)換函數(shù)拓展為n階的Logistic函數(shù)，用來捕捉經(jīng)濟(jì)過程中兩種機(jī)制的多重轉(zhuǎn)換關(guān)系，即：（2.3）指數(shù)型STAR（ESTAR）的轉(zhuǎn)換函數(shù)可以寫作：（2.4）ESTAR的轉(zhuǎn)換函數(shù)關(guān)于是對(duì)稱的，并且無論趨近于負(fù)無窮或者正無窮都有；若轉(zhuǎn)換速度參數(shù)或，都將退化為常數(shù)（0或1）使得ESTAR模型退化為線性模型。在實(shí)證研究中，LSTAR模型對(duì)從一種機(jī)制轉(zhuǎn)換至另一種機(jī)制時(shí)，呈現(xiàn)規(guī)律的平滑轉(zhuǎn)移過程的時(shí)間序列具有較強(qiáng)的解釋能力，因而適合分析經(jīng)濟(jì)過程非對(duì)稱機(jī)制調(diào)整的情況；反之，ESTAR模型則更適于描述具有對(duì)稱機(jī)制轉(zhuǎn)換的經(jīng)濟(jì)過程。2.STAR模型的拓展形式雖然兩機(jī)制STAR模型能夠滿足經(jīng)濟(jì)研究大部分應(yīng)用，但也可以將更多機(jī)制加入STAR模型中，從而得到多重機(jī)制平滑轉(zhuǎn)移自回歸模型簡(jiǎn)稱MRSTAR。典型的三機(jī)制STAR的形式如下：（2.5）如果假設(shè)，則該模型的自回歸參數(shù)隨著的增加平滑地從通過變化到。更一般的多重機(jī)制STAR模型可以寫作：（2.6）關(guān)于多重機(jī)制STAR模型的構(gòu)造問題一般采用"封裝”的思想，例如構(gòu)造一個(gè)四重機(jī)制STAR模型，可以通過將兩個(gè)不同的雙機(jī)制模型封裝來得到，即：（2.7）在（1.11）式中若假定和是內(nèi)生解釋變量的線性組合（），并且施加約束：，則可以得到MRSTAR模型衍生模型，即變系數(shù)平滑轉(zhuǎn)移模型，該模型實(shí)際上是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（ANN）的一個(gè)特例。更多關(guān)于MRSTAR模型的討論詳見VanDijk與Franses（1999）[4]。同樣在上式中若令，則得到時(shí)變STAR模型（TVSTAR）[5]，用來解決STAR模型中參數(shù)估計(jì)不一致的問題，典型的TVSTAR模型可以寫作：（2.8）其中，與此同時(shí)，可以將一元STAR模型拓展為多元的情形，即向量STAR模型。令是一個(gè)時(shí)間序列向量，則k維二機(jī)制向量STAR模型可以寫作：（2.9）其中，是向量；是矩陣；是k維向量白噪聲過程。基于向量STAR模型的研究包括STAR-ECM模型（Granger和Swanson，1996）[6]（將非線性或者非對(duì)稱誤差修正機(jī)制引入）以及共同非線性（向量時(shí)間序列的非線性是由同一個(gè)非線性部分產(chǎn)生的）的識(shí)別與檢驗(yàn)。3.STAR模型的檢驗(yàn)STAR模型的檢驗(yàn)主要涉及兩個(gè)方面：（1）非線性檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)原始時(shí)間序列是否呈現(xiàn)非線性特征；（2）模型選擇檢驗(yàn)，即如果確定建立非線性模型，檢驗(yàn)選擇的轉(zhuǎn)換變量和過渡函數(shù)是否合適；（3）模型設(shè)定檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)估計(jì)的模型是否存在殘差序列相關(guān)、殘余非線性問題，以及參數(shù)估計(jì)是否穩(wěn)定。本文的研究重點(diǎn)主要是STAR模型的非線性檢驗(yàn)和模型選擇檢驗(yàn)。非線性檢驗(yàn)的核心思想是Luukkonen、Saikkonen和（1988）[7]提出的，即將轉(zhuǎn)換函數(shù)用適當(dāng)?shù)奶├占?jí)數(shù)展開式近似值替代，這樣就避免了不能直接對(duì)線性與非線性假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)的問題，并且在線性原假設(shè)成立的條件下，LM統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從分布。該方法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：（1）不需要估計(jì)備擇假設(shè)下的模型；（2）可以運(yùn)用蒙特卡洛模擬方法，根據(jù)漸進(jìn)分布理論得到檢驗(yàn)臨界值。表1是針對(duì)LSTAR和ESTAR非線性檢驗(yàn)的輔助回歸、檢驗(yàn)原假設(shè)，及在線性原假設(shè)成立的情況下統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布。其中，，。統(tǒng)計(jì)量的提出是為了避免當(dāng)不同機(jī)制之間的差別僅體現(xiàn)在截距上統(tǒng)計(jì)量失效的問題；統(tǒng)計(jì)量的提出是因?yàn)橹笖?shù)形式的轉(zhuǎn)換函數(shù)存在兩個(gè)拐點(diǎn)，因而用一階泰勒級(jí)數(shù)展開式作為轉(zhuǎn)換函數(shù)的近似值不足以概括出模型的特征。盡管如此，在檢驗(yàn)勢(shì)上，沒有足夠的證據(jù)表明統(tǒng)計(jì)量比統(tǒng)計(jì)量要強(qiáng)。下面以統(tǒng)計(jì)量為例介紹STAR模型的非線性檢驗(yàn)過程。（1）在線性原假設(shè)下，估計(jì)模型，計(jì)算其殘差平方和；（2）估計(jì)統(tǒng)計(jì)量的輔助回歸式，計(jì)算其殘差平方和；（3）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值：（2.10） 如果研究的經(jīng)濟(jì)過程樣本容量較小，則應(yīng)該使用F統(tǒng)計(jì)量來計(jì)算LM檢驗(yàn)的臨界值[8]，即：（2.11） 基于同樣的思想和輔助回歸式，還可以進(jìn)行模型選擇檢驗(yàn)，即選擇LSTAR模型還是ESTAR模型作為轉(zhuǎn)換函數(shù)能夠更好地描述經(jīng)濟(jì)過程的特征。模型選擇檢驗(yàn)使用的三個(gè)原假設(shè)如下：；；（2.12） 檢驗(yàn)步驟為：分別在三個(gè)原假設(shè)以及非約束的條件下估計(jì)輔助回歸式得到殘差平方和SSR01、SSR02、SSR03、SSRUR；根據(jù)表1及式（1.14）和（1.15）構(gòu)造LM統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)臨界值判斷是否接受原假設(shè)；若拒絕H01，則適用LSTAR模型來擬合數(shù)據(jù)；若接受H01但拒絕H02，則適用ESTAR模型來擬合數(shù)據(jù)，若接受H01和H02，但卻拒絕H03，則適用LSTAR模型來擬和數(shù)據(jù)；若同時(shí)接受H01、H02、H03，則又回到了非線性檢驗(yàn)的原假設(shè)，此時(shí)應(yīng)該使用線性模型來擬合數(shù)據(jù)。在實(shí)證研究中，也可以同時(shí)建立LSTAR模型和ESTAR模型，然后根據(jù)模型的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行選擇?？傊绾芜x擇STAR模型的轉(zhuǎn)換函數(shù)，或者尋找特征更為貼近真實(shí)經(jīng)濟(jì)過程的函數(shù)作為指數(shù)模型或者logistic模型的替代仍然是一個(gè)需要進(jìn)一步深入研究的課題。4.STAR模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)實(shí)證分析中的應(yīng)用目前，基于STAR模型的實(shí)證分析主要集中在宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)方面，例如：Sarantis（1999）[9]使用STAR模型研究1980年至1990年十大主要工業(yè)國(guó)家的月度實(shí)際匯率。實(shí)證結(jié)果顯示，除了荷蘭與瑞士以外，其他國(guó)家的實(shí)際匯率序列均有明顯的非線性關(guān)系，他還根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇不同的非線性模型（ESTAR和LSTAR）來擬合數(shù)據(jù)，并且發(fā)現(xiàn)其中三國(guó)實(shí)際匯率序列使用LSTAR模型擬合較為適合，而其他五國(guó)則應(yīng)將模型設(shè)定為ESTAR。估計(jì)得到的模型都通過了診斷檢驗(yàn)，能夠?qū)?shí)際匯率提供合理的解釋。DavidG.（2003）[10]分別基于線性模型、LSTAR模型和ESTAR模型，使用1975年1月至1995年4月的季度數(shù)據(jù)，研究英國(guó)股指與宏觀經(jīng)濟(jì)變量（失業(yè)率、工業(yè)生產(chǎn)指數(shù)、消費(fèi)物價(jià)指數(shù)、廣義貨幣供給余額）之間的相關(guān)性，并使用1996年1月至2001年4月的數(shù)據(jù)作為樣本外預(yù)測(cè)。實(shí)證結(jié)果表明，ESTAR模型的樣本內(nèi)與樣本外的預(yù)測(cè)效果均優(yōu)于LSTAR模型和線性模型。此外，許多學(xué)者也使用拓展形式的STAR模型來描述和解釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，例如：Rothman，vanDijk和Franses（1999）[11]使用向量STAR模型研究貨幣供給與GDP之間的關(guān)系；vanDijk和Franses（1999）使用多重機(jī)制STAR模型對(duì)經(jīng)濟(jì)周期加以描述；vanDijk和Franses（2000）[12]則使用基于STAR的非線性誤差修正模型研究荷蘭利率的變動(dòng)情況。三、FI-STAR模型及其非線性檢驗(yàn)下面討論非線性模型與長(zhǎng)記憶模型之間的關(guān)系。Diebold和Inoue（2001）[13]指出長(zhǎng)記憶模型和機(jī)制轉(zhuǎn)換模型從本質(zhì)上是緊密相連的，即機(jī)制轉(zhuǎn)換模型可以表現(xiàn)出與長(zhǎng)記憶模型相似的隨機(jī)特征，兩種模型都可以對(duì)同一經(jīng)濟(jì)過程做出恰當(dāng)?shù)乜坍?。因此，為了能夠同時(shí)描述經(jīng)濟(jì)過程中非線性和長(zhǎng)記憶問題，需要建立分整平滑轉(zhuǎn)移自回歸模型（FI-STAR），這里僅對(duì)FI-STAR模型的基本形式和非線性檢驗(yàn)進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。一般來說，F(xiàn)I-STAR模型的形式如（3.1）：（3.1）由于分?jǐn)?shù)階差分參數(shù)d的存在，使得其非線性檢驗(yàn)和LM統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造變得更加復(fù)雜。針對(duì)該問題，vanDijk、Franses和Paap（2002）[14]提出了改進(jìn)的LM統(tǒng)計(jì)量，本文以ESTAR模型為例對(duì)其基本思想和檢驗(yàn)方法進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。首先將指數(shù)轉(zhuǎn)換函數(shù)按照一階泰勒級(jí)數(shù)展開，構(gòu)造用于檢驗(yàn)的輔助回歸：（3.2） 檢驗(yàn)的線性原假設(shè)為。在線性原假設(shè)成立的條件下，原時(shí)序服從長(zhǎng)記憶ARFIMA(p,d,0)過程，第t個(gè)觀測(cè)值的條件似然函數(shù)為：（3.3）其中，是在線性原假設(shè)（即原始數(shù)據(jù)是ARFIMA(p,d,0)過程）成立的條件下，估計(jì)參數(shù)得到的殘差序列。這里隱含一個(gè)假設(shè)，即假定殘差是正態(tài)的，并且具有常方差性。如果放寬常方差假設(shè)，則需要將條件似然函數(shù)中的替換成。構(gòu)造LM統(tǒng)計(jì)量的核心思想是將原假設(shè)條件看成一個(gè)約束條件，通過對(duì)有約束的極大似然函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)參數(shù)假設(shè)做出判斷。由于FI-ARFIMA模型多了長(zhǎng)記憶參數(shù)d，因此需要對(duì)條件似然函數(shù)關(guān)于d求偏導(dǎo)，得到：（3.4）并且有，（3.5）即在線性原假設(shè)成立的條件下有：（3.6）其中，是針對(duì)原始序列建立ARFIMA(p,d,0)模型得到的殘差序列。在此基礎(chǔ)上，得到FI-STAR非線性檢驗(yàn)的步驟如下：（1）在線性原假設(shè)下估計(jì)ARFIMA(p,d,0)模型，得到殘差序列和分整參數(shù)估計(jì)量，并且計(jì)算其殘差平方和記為；（2）建立形如（1.22）的輔助回歸，并且計(jì)算其殘差平方和為：（3.7）（3）計(jì)算LM統(tǒng)計(jì)量；（3.8）或：（3.9）四、FI-STAR模型在金融時(shí)序分析中的應(yīng)用本文在第二節(jié)中已經(jīng)指出，目前基于STAR模型的實(shí)證分析主要集中在宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)方面，而對(duì)微觀市場(chǎng)數(shù)據(jù)涉及較少。與此同時(shí)，最近20年以來，金融時(shí)間序列中存在的非線性與長(zhǎng)記憶性受到學(xué)者的廣泛關(guān)注，對(duì)金融時(shí)序進(jìn)行建模與預(yù)測(cè)也成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)研究的熱點(diǎn)。以金融資產(chǎn)的波動(dòng)率為例，其序列具有如下特征：1）波動(dòng)率存在聚類性，也就是波動(dòng)率可能在一些時(shí)間段上較高，而在另一些時(shí)間段上較低；（2）波動(dòng)率以連續(xù)方式變化，波動(dòng)率的跳躍現(xiàn)象是少見的；（3）波動(dòng)率是平穩(wěn)的，不會(huì)發(fā)散到無窮，而是在一定*圍內(nèi)隨時(shí)間連續(xù)變化；（4）波動(dòng)率對(duì)利好消息和利空消息的反應(yīng)是不同的，即存在杠桿效應(yīng)。這些特征都是波動(dòng)率序列存在長(zhǎng)記憶性與非線性的典型特征。因此，本小節(jié)在FI-STAR模型的基礎(chǔ)上，給出分析"杠桿效應(yīng)”和股指聯(lián)動(dòng)性的基本框架，對(duì)使用STAR模型分析微觀市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步探索。1.使用FI-STAR模型刻畫波動(dòng)率"杠桿效應(yīng)”對(duì)于金融資產(chǎn)波動(dòng)率時(shí)序中存在的"杠桿效應(yīng)”，一般的處理方法是建立Nelson（1991）[15]提出的EGARCH模型。EGARCH(1,1)的條件方差方程如下：（4.1）其中，為條件方差項(xiàng)，為隨機(jī)干擾項(xiàng)。在估計(jì)參數(shù)后，通過觀察參數(shù)的數(shù)值及其顯著性水平來判斷是否存在杠桿效應(yīng)。考慮到波動(dòng)率序列中普遍存在的長(zhǎng)記憶性，Bollersev和Mikkelsen（1996）[16]提出了FIEGARCH模型。FIEGARCH(1,d,1)的條件方差方程如下：（4.2）雖然FIEGARCH模型有較好的應(yīng)用前景，但也存在一定問題，其中較為典型的就是得到FIEGARCH參數(shù)估計(jì)量的漸進(jìn)值是非常困難的。本文介紹的FI-STAR模型為刻畫波動(dòng)率序列杠桿效應(yīng)提供了一種新思路，即將指數(shù)或者對(duì)數(shù)形式的轉(zhuǎn)移函數(shù)引入ARCH/GARCH模型的條件方差方程中。以ARCH(1)模型為例，條件方差方程可以寫作：（4.3） 若，且有，則表明波動(dòng)率序列存在杠桿效應(yīng)。2.基于FI-STAR模型的股指聯(lián)動(dòng)性分析 股指聯(lián)動(dòng)性一直以來是人們的研究熱點(diǎn)問題，近兩年隨著中國(guó)金融體制改革的深化，股指聯(lián)動(dòng)性特別是中國(guó)股市與世界及周邊股市指數(shù)的聯(lián)動(dòng)性研究也持續(xù)升溫。研究這一問題的傳統(tǒng)方法是基于協(xié)整理論的，即通過考察兩個(gè)或多個(gè)股指之間是否存在穩(wěn)定的線性組合。但該方法存在較為明顯的缺陷：（1）它假定股指之間的相互影響是線性的；（2）沒有考慮股指聯(lián)動(dòng)性隨時(shí)間發(fā)生變化的情況，即所謂的協(xié)結(jié)構(gòu)突變問題；（3）沒有考慮條件異方差問題。解決該問題的另一種方法是Engle和Bollerslev（1986,1993）[17]提出的基于向量GARCH模型的波動(dòng)持續(xù)（volatilitypersistence）和協(xié)同持續(xù)（monPersistence）概念，即向量GARCH過程各分量的波動(dòng)之間存在一種長(zhǎng)期的線性均衡關(guān)系，該方法較全面地考慮了股指波動(dòng)性的特征，但也存在一定局限性：向量GARCH模型形式復(fù)雜，參數(shù)多，估計(jì)困難，而簡(jiǎn)化的向量GARCH模型（對(duì)角向量GARCH、常相關(guān)向量GARCH模型）則存在約束過嚴(yán)或者經(jīng)濟(jì)意義不明確的問題。FI-STAR模型可以有效地解決這一問題。例如，若研究恒生指數(shù)對(duì)上證指數(shù)的影響，可以建立如下的回歸：（4.4） 其中，是上證指數(shù)收益率序列，為恒生指數(shù)收益率序列，、、、、d、、為待估參數(shù)。至于轉(zhuǎn)移變量滯后期數(shù)的選擇，可以分別估計(jì)不同滯后期數(shù)下的模型，根據(jù)模型的預(yù)測(cè)效果，即h期預(yù)測(cè)均方差誤差（MSE）進(jìn)行選擇?？紤]到股指收益率序列存在明顯的異方差性，可以在上式回歸中添加GARCH修正項(xiàng)，即：（4.5）五、結(jié)語本文對(duì)ARFIMA模型以及STAR模型、STAR的拓展形式及其非線性檢驗(yàn)進(jìn)行了介紹，并在此基礎(chǔ)上將二者結(jié)合起來，提出了FI-STAR模型，對(duì)經(jīng)濟(jì)過程中長(zhǎng)記憶性與非線性聯(lián)合檢驗(yàn)進(jìn)行了初步探索。與此同時(shí)，本文也提出了幾個(gè)值得深入研究的問題：首先是基于貝葉斯思想的長(zhǎng)記憶參數(shù)估計(jì)問題，也即如何將參數(shù)化估計(jì)方法與非參數(shù)估計(jì)方法有機(jī)結(jié)合起來；其次是STAR模型轉(zhuǎn)換函數(shù)的選擇問題，即能否構(gòu)造更為貼近真實(shí)經(jīng)濟(jì)過程的函數(shù)作為指數(shù)模型或者logistic模型的替代；最后是FI-STAR模型的非線性檢驗(yàn)問題，即能否構(gòu)造恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量使得FI-STAR模型的非線性檢驗(yàn)較少地依賴模型設(shè)定，同時(shí)具有較高的檢驗(yàn)功效。參考文獻(xiàn)[1]GrangerC.W.J.andJoyeu*F.(1980),AnIntroductiontoLongMemoryTimeSeriesModelsandFractionalDifferencing.JournalofTimeSeriesAnalysis,1980,1:15-29.[2]GewekeJ.andS.Porter-Hudak.TheEstimationandApplicationofLongMemoryTimeSeriesModels[J],JournalofTimeSeriesAnalysis,1983,4,221-237.[3]Granger,C.W.J.andT.Terasvirta(1993),ModellingNonlinearEconomicRelationships,O*ford:O*fordUniversityPress.[4]vanDijk,D.andP.H.Franses(1999),Modelingmultipleregimesinthebusinesscycle,MacroeconomicDynamics3,311-340.[5]Lundbergh,S.,T.TerasvirtaandD.vanDijk(2000),Time-varyingsmoothtransitionautoregressivemodels,WorkingPaperSeriesinEconomicsandFinanceNo.376,StockholmSchoolofEconomics.[6]Granger,C.W.J.andN.R.Swanson(1996),Futuredevelopmentsinthestudyofcointegratedvariables,O*fordBulletinofEconomicsandStatistics58,537-553[7]Luukkonen,R.,P.SaikkonenandT.Terasvirta(1988a),Testinglinearityagainstsmoothtransitionautoregressivemodels,Biometrika75,491-499.[8]vanDijk,D.andT.Terasvirtaz(2000),SmoothTransitionAutoregressiveModels-ASurveyofRecentDevelopments[9]SarantisN.(1999),Modelingnon-linearitiesinrealeffectivee*changerates,JournalofInternationalMoneyandFinance,Vol.18,28-45[10]DavidG.(2003),Non-linearPredictabilityofUKStockMarketReturns,O*fordBulletinofEconomicsandStatistic,Vol.65,557-573[11]Rothman,P.,D.vanDijkandP.H.Franses(1999),AmultivariateSTARanalysisoftherelationshipbetweenmoneyandoutput,