幾何學(xué)的新天地

幾何學(xué)的新天地第一頁，共六十四頁，2022年，8月28日1.歐式幾何的家丑平行公設(shè)是歐式幾何的家丑。——達(dá)朗貝爾“過直線外一點(diǎn)有且僅有一條平行線?！边@是我們在初中就學(xué)過的公理。別小看它，它曾經(jīng)花費(fèi)了數(shù)學(xué)家們2000多年的時(shí)間來研究它，甚至于還有個(gè)幾何學(xué)的“家丑”的名聲。第二頁，共六十四頁，2022年，8月28日歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設(shè)，長期以來，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)比較起來，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L，而且也不那么顯而易見。有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個(gè)命題中才用到，而且以后再也沒有使用。也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設(shè)而推出前二十八個(gè)命題。第三頁，共六十四頁，2022年，8月28日

因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個(gè)公設(shè)來證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。

由于證明第五公設(shè)的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設(shè)到底能不能證明？第四頁，共六十四頁，2022年，8月28日歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內(nèi)接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術(shù)得里論；最后講述立體幾何的內(nèi)容。第五頁，共六十四頁，2022年，8月28日從這些內(nèi)容可以看出，目前屬于中學(xué)課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認(rèn)為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標(biāo)準(zhǔn)教科書。屬于《幾何原本》內(nèi)容的幾何學(xué)，人們把它叫做歐幾里得幾何學(xué)，或簡稱為歐式幾何?！稁缀卧尽纷钪饕奶厣墙⒘吮容^嚴(yán)格的幾何體系，在這個(gè)體系中有四方面主要內(nèi)容，第六頁，共六十四頁，2022年，8月28日

定義、公理、公設(shè)、命題（包括作圖和定理）。《幾何原本》第一卷列有23個(gè)定義，5條公理，5條公設(shè)。這些定義、公理、公設(shè)就是《幾何原本》全書的基礎(chǔ)。全書以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)邏輯地展開他的各個(gè)部分的。比如后面出現(xiàn)的每一個(gè)定理都寫明什么是已知、什么是求證。都要根據(jù)前面的定義、公理、定理進(jìn)行邏輯推理給予仔細(xì)證明。第七頁，共六十四頁，2022年，8月28日關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設(shè)所要求的已經(jīng)得到了，分析這時(shí)候成立的條件，由此達(dá)到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實(shí)開始，逐步的導(dǎo)出要證明的事項(xiàng)；歸謬法是在保留命題的假設(shè)下，否定結(jié)論，從結(jié)論的反面出發(fā)，由此導(dǎo)出和已證明過的事實(shí)相矛盾或和已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證實(shí)原來命題的結(jié)論是正確的，也稱作反證法。第八頁，共六十四頁，2022年，8月28日而第五公設(shè)的證明，直到1733年薩凱里才做出值得注意的成果。薩凱里沒有象其他人那樣試圖從正面進(jìn)攻平行公設(shè)，而是應(yīng)用他所喜歡的反證法。這種證明方法的基本思想是：保持歐幾里德的其他公設(shè)不變，假設(shè)第五公設(shè)不真，由此進(jìn)行邏輯推演。如果推導(dǎo)出邏輯矛盾來，就反駁了第五公設(shè)不真的假設(shè)，從而也就間接證得第五公設(shè)。第九頁，共六十四頁，2022年，8月28日他考慮了一個(gè)看起來象矩形的圖形ABCD，其中AD=BC，且∠A=∠B=90°，不用平行公設(shè)，可以證明∠C=∠D。這個(gè)圖形有三個(gè)可能：（1）直角假設(shè)，∠C，∠D是直角；（2）鈍角假設(shè)，∠C，∠D是鈍角；（3）銳角假設(shè)，∠C，∠D是銳角；如果利用平行公設(shè)，就能證明∠C，∠D是直角，即直角假設(shè)成立，第十頁，共六十四頁，2022年，8月28日相反，由直角假設(shè)，也能證明平行公設(shè)，因此平行公設(shè)與直角假設(shè)等價(jià)。而與歐式平行公設(shè)對立的公設(shè)有：（V’）過直線外一點(diǎn)沒有直線與給定的直線平行；（V’’）過直線外一點(diǎn)至少有兩條直線與給定的直線平行。這兩個(gè)命題分別能證明鈍角假設(shè)，銳角假設(shè)，同樣（V’）與鈍角假設(shè)等價(jià)，（V’’）與銳角假設(shè)等價(jià)。第十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日如果我們保留歐幾里德幾何中不依賴平行公設(shè)的命題，然后把平行公設(shè)替換為（V’）或（V’’），就能得到新的幾何體系。分別叫做橢圓幾何、雙曲幾何，它們都是非歐幾何。非歐幾何學(xué)是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講

，他有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義是泛指一切和歐幾里的幾何學(xué)不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。第十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日薩凱里本想通過邏輯證明來排除鈍角和銳角兩種情況，從而間接證明轉(zhuǎn)角假設(shè)為真，即平行公設(shè)為真。結(jié)果他卻得到了一個(gè)沒有矛盾的新幾何體系——雙曲幾何。但他卻以“結(jié)論不合情理”而否認(rèn)了，并在書末寫到“歐式幾何無懈可擊”。為什么呢？有兩種說法。有人說，因?yàn)闅W式幾何有2000年的傳統(tǒng)，對人們的影響根深蒂固，薩凱里無法突破思想上的束縛。第十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日還有人說：薩凱里完成自己的研究后，教會(huì)做出了沒收、充公的暗示。薩凱里也許自始至終認(rèn)為在銳角下找不到矛盾，只不過為了讓他的著作能通過教會(huì)的審查，才毫無誠意地做了個(gè)不可能愚弄數(shù)學(xué)家的謬論。薩凱里走到了一個(gè)新奇世界的門口，但是他沒有繼續(xù)下去，否則他的研究將成為幾何學(xué)史上最偉大的發(fā)現(xiàn)，他本人也將成為新學(xué)科——非歐幾何的創(chuàng)立者。第十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日另一個(gè)對新幾何的產(chǎn)生做出重要貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家蘭貝特．他繼承了薩凱里的方法，從考察一個(gè)三個(gè)角都是直角的四邊形出發(fā)，研究其第四個(gè)角是直角、鈍角和銳角的可能性．蘭貝特否定了鈍角假設(shè)，也沒有輕率地做出銳角假設(shè)導(dǎo)致矛盾的結(jié)論．他沒有像薩凱里那樣囿于第五公設(shè)真實(shí)性的頑固想法，而是大膽對第五公設(shè)的可證明性提出了懷疑．在他的思想中甚至包含了非歐幾何學(xué)可以存在的想法，這是觀念上的一個(gè)重要沖破．但他未能對這種幾何的現(xiàn)實(shí)性提出任何見解，因而也就未能再向前邁出一步．第十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.非歐幾何的誕生

高斯是真正預(yù)見到非歐幾何的第一人,1792年，當(dāng)他15歲時(shí)，已經(jīng)有了第五公設(shè)不可證和非歐幾何的思想萌芽．以后相繼得到許多這方面的重要結(jié)果．但他動(dòng)搖徘徊了25年之久，直到1817年才牢固樹立起堅(jiān)定信念．不幸的是，由于康德的唯心主義空間學(xué)說和在數(shù)學(xué)界占統(tǒng)治地位的所謂現(xiàn)實(shí)空間只能是歐氏空間這舊傳統(tǒng)觀念，給高斯以很大的精神壓力，因而畢其一生關(guān)于此問題也沒有發(fā)表什么見解.第十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日預(yù)見到非歐幾何的第二人鮑耶．在青年時(shí)代就醉心于第五公設(shè)的證明．他不顧父親的勸告，堅(jiān)持研究，終于建立了非歐幾何．1823年11月3日，他高興地寫信告訴父親：“我已從烏有中創(chuàng)造了另一個(gè)新奇的世界．”當(dāng)他父親把鮑耶的研究成果寫信告訴高斯的時(shí)候，高斯感到十分吃驚，回信說：“這和我40年來沉思的結(jié)果不謀而合．”鮑耶看到高斯的回信，大大刺傷了自己的自尊心，反而懷疑高斯剽竊他的成果.從此消沉下去，不再研究這一問題．第十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日高斯的保守，鮑耶的消沉，使非歐幾何的誕生推遲了時(shí)間．只有俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基(1793―1856)才無愧于享有這門新學(xué)說的創(chuàng)建者和捍衛(wèi)者的光榮稱號．第十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日3.幾何學(xué)中的“哥白尼”1893年，在喀山大學(xué)樹立起了世界上第一個(gè)為數(shù)學(xué)家雕塑的塑像。這位數(shù)學(xué)家就是俄國的偉大學(xué)者、非歐幾何的重要?jiǎng)?chuàng)始人——羅巴切夫期基。

非歐幾何是人類認(rèn)識史上一個(gè)富有創(chuàng)造性的偉大成果，它的創(chuàng)立，不僅帶來了近百年來數(shù)學(xué)的巨大進(jìn)步，而且對現(xiàn)代物理學(xué)、天文學(xué)以及人類時(shí)空觀念的變革都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。第十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日不過，這一重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)在羅巴切夫斯基提出后相當(dāng)長的一段時(shí)間內(nèi)，不但沒能贏得社會(huì)的承認(rèn)和贊美，反而遭到種種歪曲、非難和攻擊，使非歐幾何這一新理論遲遲得不到學(xué)術(shù)界的公認(rèn)。

羅巴切夫斯基是在嘗試解決歐氏第五公設(shè)問題的過程中，從失敗走上他的發(fā)現(xiàn)之路的。歐氏第五公設(shè)問題是數(shù)學(xué)史上最古老的著名難題之一，它是由古希臘學(xué)者最先提出來的第二十頁，共六十四頁，2022年，8月28日羅巴切夫斯基是在嘗試解決歐氏第五公設(shè)問題的過程中，從失敗走上他的發(fā)現(xiàn)之路的。

羅巴切夫斯基是從1815年著手研究平行線理論的。開始他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設(shè)的證明。在保存下來的他的學(xué)生聽課筆記中，就記有他在1816～1817學(xué)年度在幾何教學(xué)中給出的一些證明?？墒牵芸焖阋庾R到自己的證明是錯(cuò)誤的。第二十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日

前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設(shè)的證明。于是，他便調(diào)轉(zhuǎn)思路，著手尋求第五公設(shè)不可證的解答。這是一個(gè)全新的，也是與傳統(tǒng)思路完全相反的探索途徑。羅巴切夫斯基正是沿著這個(gè)途徑，在試證第五公設(shè)不可證的過程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)嶄新的幾何世界。第二十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日

那么，羅巴切夫斯基是怎樣證得第五公設(shè)不可證的呢？又是怎樣從中發(fā)現(xiàn)新幾何世界的呢？原來他創(chuàng)造性地運(yùn)用了處理復(fù)雜數(shù)學(xué)問題常用的一種邏輯方法——反證法。

這種反證法的基本思想是，為證“第五公設(shè)不可證”，首先對第五公設(shè)加以否定，然后用這個(gè)否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)，并由此展開邏輯推演。第二十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日

首先假設(shè)第五公設(shè)是可證的，即第五公設(shè)可由其它公理公設(shè)推演出來。那么，在新公理系統(tǒng)的推演過程中一定會(huì)出現(xiàn)邏輯矛盾，至少第五公設(shè)和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設(shè)可證”這一假設(shè)，從而也就間接證得“第五公設(shè)不可證”。第二十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日

依照這個(gè)邏輯思路，羅巴切夫斯基對第五公設(shè)的等價(jià)命題——普列菲爾公理“過平面上直線外一點(diǎn)，只能引一條直線與已知直線不相交”作以否定，得到否定命題“過平面上直線外一點(diǎn)，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，并用這個(gè)否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)展開邏輯推演。第二十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日

在推演過程中，他得到一連串古怪、非常不合乎常理的命題。但是，經(jīng)過仔細(xì)審查，卻沒有發(fā)現(xiàn)它們之間存在任何羅輯矛盾。于是，遠(yuǎn)見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個(gè)“在結(jié)果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)可構(gòu)成一種新的幾何，它的羅輯完整性和嚴(yán)密性可以和歐幾里得幾何相媲美。而這個(gè)無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設(shè)可證性的反駁，也就是對第五公設(shè)不可證性的邏輯證明。由于尚未找到新幾何在現(xiàn)實(shí)界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個(gè)新幾何稱之為“想象幾何”。第二十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日在冷漠中宣告新幾何誕生

1826年2月23日，羅巴切夫斯基于喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系學(xué)術(shù)會(huì)議上，宣讀了他的第一篇關(guān)于非歐幾何的論文：《幾何學(xué)原理及平行線定理嚴(yán)格證明的摘要》。這篇首創(chuàng)性論文的問世，標(biāo)志著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸于世，就遭到正統(tǒng)數(shù)學(xué)家的冷漠和反對。第二十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日

參加2月23日學(xué)術(shù)公議的全是數(shù)學(xué)造詣較深的專家，其中有著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家西蒙諾夫，有后來成為科學(xué)院院士的古普費(fèi)爾，以及后來在數(shù)學(xué)界頗有聲望的博拉斯曼。在這些人的心目中，羅巴切夫斯基是一位很有才華的青年數(shù)學(xué)家。

可是，出乎他們的意料，這位年輕的教授在簡短的開場白之后，接著說的全是一些令人莫明其妙的話，第二十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日諸如三角形的內(nèi)角和小于兩直角，而且隨著邊長增大而無限變小，直至趨于零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等。

這些命題不僅離奇古怪，與歐幾里得幾何相沖突，而且還與人們的日常經(jīng)驗(yàn)相背離。然而，報(bào)告者卻認(rèn)真地、充滿信心地指出，它們屬于一種邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男聨缀危蜌W幾里得幾何有著同等的存在權(quán)利。這些古怪的語言，竟然出自一個(gè)頭腦清楚、治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)家教授之口，不能不使與會(huì)者們感到意外。他們先是表現(xiàn)現(xiàn)一種疑惑和驚呆，不多一會(huì)兒，便流露出各種否定的表情。第二十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日

宣講論文后，羅巴切夫斯基誠懇地請與會(huì)者討論，提出修改意見?？墒牵l也不肯作任何公開評論，會(huì)場上一片冷漠。一個(gè)具有獨(dú)創(chuàng)性的重大發(fā)現(xiàn)作出了，那些最先聆聽到發(fā)現(xiàn)者本人講述發(fā)現(xiàn)內(nèi)容的同行專家，卻因思想上的守舊，不僅沒能理解這一發(fā)現(xiàn)的重要意義，反而采取了冷談和輕慢的態(tài)度，這實(shí)在是一件令人遺憾的事情。第三十頁，共六十四頁，2022年，8月28日

會(huì)后，系學(xué)術(shù)委員會(huì)委托西蒙諾夫、古普費(fèi)爾和博拉斯曼組成三人鑒定小組，對羅巴切夫斯基的論文作出書面鑒定。他們的態(tài)度無疑是否定的，但又遲遲不肯寫出書面意見，以致最后連文稿也給弄丟了。第三十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日權(quán)威的譏諷與匿名者的攻擊

羅巴切夫斯基的首創(chuàng)性論文沒能引起學(xué)術(shù)界的注意和重視，論文本身也似石沉大海，不知被遺棄何處。但他并沒有因此灰心喪氣，而是頑強(qiáng)地繼續(xù)獨(dú)自探索新幾何的奧秘。1829年，他又撰寫出一篇題為《幾何學(xué)原理》的論文。這篇論文重現(xiàn)了第一篇論文的基本思想，并且有所補(bǔ)充和發(fā)展。此時(shí)，羅巴切夫斯基已被推選為喀山大學(xué)校長，可能出自對校長的“尊敬”，《喀山大學(xué)通報(bào)》全文發(fā)表了這篇論文。第三十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日

1832年，根據(jù)羅巴切夫斯基的請求，喀山大學(xué)學(xué)術(shù)委員會(huì)把這篇論文呈送彼得堡科學(xué)院審評?？茖W(xué)院委托著名數(shù)學(xué)家奧斯特羅格拉茨基院士作評定。奧斯特羅格拉茨基是新推選的院士，曾在數(shù)學(xué)物理、數(shù)學(xué)分析、力學(xué)和天體力學(xué)等方面有過卓越的成就，在當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界有很高的聲望?？上У氖牵褪沁@樣一位杰出的數(shù)學(xué)家，也沒能理解羅巴切夫斯基的新幾何思想，甚至比喀山大學(xué)的教授們更加保守。第三十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日

如果說喀山大學(xué)的教授們對羅巴切夫斯基本人還是很“寬容”的話，那么，奧斯特羅格拉茨基則使用極其挖苦的語言，對羅巴切夫斯基作了公開的指責(zé)和攻擊。同年11月7日，他在給科學(xué)院的鑒定書中一開頭就以嘲弄的口吻寫道：“看來，作者旨在寫出一部使人不能理解的著作。他達(dá)到自己的目的。”接著，對羅巴切夫斯基的新幾何思想進(jìn)行了歪曲和貶低。最后粗暴地?cái)嘌裕骸坝纱宋业贸鼋Y(jié)論，羅馬切夫斯基校長的這部著作謬誤連篇，因而不值得科學(xué)院的注意?！钡谌捻?，共六十四頁，2022年，8月28日

這篇論文不僅引起了學(xué)術(shù)界權(quán)威的惱怒，而且還激起了社會(huì)上反動(dòng)勢力的敵對叫囂。名叫布拉切克和捷列內(nèi)的兩個(gè)人，以匿名在《祖國之子》雜志上撰文，公開指名對羅巴切夫斯基進(jìn)行人身攻擊。

針對這篇污辱性的匿名文章，羅巴切夫斯基撰寫了一篇反駁文章。但《祖國之子》雜志卻以維護(hù)雜志聲譽(yù)為由，將羅巴切夫斯基的文章扣壓下來，一直不予發(fā)表。對此，羅巴切夫斯基極為氣憤。第三十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日在孤境中奮斗終生

羅巴切夫斯基開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域，但他的創(chuàng)造性工作在生前始終沒能得到學(xué)術(shù)界的重視和承認(rèn)。就在他去世的前兩年，俄國著名數(shù)學(xué)家布尼雅可夫斯基還在其所著的《平行線》一書中對羅巴切夫斯基發(fā)難，他試圖通過論述非歐幾何與經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識的不一致性，來否定非歐幾何的真實(shí)性。第三十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日

英國著名數(shù)學(xué)家莫爾甘對非歐幾何的抗拒心里表現(xiàn)得就更加明顯了，他甚至在沒有親自研讀非歐幾何著作的情況下就武斷地說：“我認(rèn)為，任何時(shí)候也不會(huì)存在與歐幾里得幾何本質(zhì)上不同的另外一種幾何?！蹦獱柛实脑挻砹水?dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界對非歐幾何的普遍態(tài)度。

在創(chuàng)立和發(fā)展非歐幾何的艱難歷程上，羅巴切夫斯基始終沒能遇到他的公開支持者，就連非歐幾何的另一位發(fā)現(xiàn)者德國的高斯也不肯公開支持他的工作。第三十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日

高斯是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界首屈一指的學(xué)學(xué)巨匠，負(fù)有“歐洲數(shù)學(xué)之王”的盛名，早在1792年，也就是羅巴切夫斯基誕生的那一年，他就已經(jīng)產(chǎn)生了非歐幾何思想萌芽，到了1817年已達(dá)成熟程度。他把這種新幾何最初稱之為“反歐幾何”，后稱“星空幾何”，最后稱“非歐幾何”。但是，高斯由于害怕新幾何會(huì)激起學(xué)術(shù)界的不滿和社會(huì)的反對，會(huì)由此影響他的尊嚴(yán)和榮譽(yù)，生前一直沒敢把自己的這一重大發(fā)現(xiàn)公之于世，只是謹(jǐn)慎地把部分成果寫在日記和與朋友的往來書信中。第三十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日

當(dāng)高斯看到羅巴切夫斯基的德文非歐幾何著作《平行線理論的幾何研究》后，內(nèi)心是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度稱贊羅巴切夫斯基是“俄國最卓越的數(shù)學(xué)家之一”，并下決心學(xué)習(xí)俄語，以便直接閱讀羅巴切夫斯基的全部非歐幾何著作；另一方面，卻又不準(zhǔn)朋友向外界泄露他對非歐幾何的有關(guān)告白，也從不以任何形式對羅巴切夫斯基的非歐幾何研究工作加以公開評論；他積極推選羅巴切夫斯基為哥廷根皇家科學(xué)院通訊院士，可是，在評選會(huì)和他親筆寫給羅巴切夫斯基的推選通知書中第三十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日對羅巴切夫斯基在數(shù)學(xué)上的最卓越貢獻(xiàn)－－創(chuàng)立非歐幾何卻避而不談。

高斯憑任在數(shù)學(xué)界的聲望和影響，完全有可能減少羅巴切夫斯基的壓力，促進(jìn)學(xué)術(shù)界對非歐幾何的公認(rèn)。然而，在頑固的保守勢力面前他卻喪失了斗爭的勇氣。高斯的沉默和軟弱表現(xiàn)，不僅嚴(yán)重限制了他在非歐幾何研究上所能達(dá)到的高度，而且客觀上也助長了保守勢力對羅巴切夫斯基的攻擊。第四十頁，共六十四頁，2022年，8月28日

晚年的羅巴切夫斯基心情更加沉重，他不僅在學(xué)術(shù)上受到壓制，而且在工作上還受到限制。按照當(dāng)時(shí)俄國大學(xué)委員會(huì)的條例，教授任職的最高斯限是30年，依照這個(gè)條例，1846年羅巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，請求免去他在數(shù)學(xué)教研室的工作，并推薦讓位給他的學(xué)生波波夫。第四十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日

人民教育部早就對不順從他們意志辦事的羅巴切夫斯基抱有成見，但又找不到合適的機(jī)會(huì)免去他在喀山大學(xué)的校長職務(wù)。羅巴切夫斯基辭去教授職務(wù)的申請正好被他們用以作為借口，不僅免去了他主持教研室的工作，而且還違背他本人的意愿，免去了他在喀山大學(xué)的所有職務(wù)。被迫離開終生熱愛的大學(xué)工作，使羅巴切夫斯基在精神上遭到嚴(yán)重打擊。他對人民教育部的這項(xiàng)無理決定，表示了極大的憤慨。第四十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日家庭的不幸格外增加了他的苦惱。他最喜歡的、很有才華的大兒子因患肺結(jié)核醫(yī)治無效死去，這使他十分傷感。他的身體也變得越來越多病，眼睛逐漸失明，最后終于什么也看不見了。

1856年2月12日，偉大的學(xué)者羅巴切夫斯基在苦悶和抑郁中走完了他生命的最后一段路程。喀山大學(xué)師生為他舉行了隆重的追悼會(huì)。第四十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日在追悼會(huì)上，他的許多同事和學(xué)生高度贊揚(yáng)他在建設(shè)喀山大學(xué)、提高民族教育水平和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人材等方面的卓越功績，可是誰也不提他的非歐幾何研究工作，因?yàn)榇藭r(shí)，人們還普遍認(rèn)為非歐幾何純屬“無稽之談”。羅巴切夫斯基為非歐幾何的生存和發(fā)展奮斗了三十多年，他從來沒有動(dòng)搖過對新幾何遠(yuǎn)大前途的堅(jiān)定信念。為了擴(kuò)大非歐幾何的影響，爭取早日取得學(xué)術(shù)界的承認(rèn)，除了用俄文外，他還用法文、德文發(fā)現(xiàn)了自己的著作，同時(shí)還精心設(shè)計(jì)了檢驗(yàn)大尺度空間幾何特性的天文觀測方案。第四十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日

不僅如此，他還發(fā)展了非歐幾何的解析和微分部分，使之成為一個(gè)完整的、有系統(tǒng)的理論體系。在身患重病，臥床不起的困境下，他也沒停止對非歐幾何的研究。他的最后一部巨著《論幾何學(xué)》，就是在他雙目失明，臨去世的前一年，口授他的學(xué)生完成的。第四十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日

歷史是最公允的，因?yàn)樗K將會(huì)對各種思想、觀點(diǎn)和見解作出正確的評價(jià)。1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實(shí)現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐氏幾何命題，如果歐氏幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。第四十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日

直到這時(shí)，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也由此得到學(xué)術(shù)界的高度評價(jià)和一致贊美，這時(shí)的羅巴切夫斯基則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。

在科學(xué)探索的征途上，一個(gè)人經(jīng)得住一時(shí)的挫折和打擊并不難，難的是勇于長期甚至終生在逆境中奮斗。羅巴切夫斯基就是在逆境中奮斗終生的勇士。第四十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日

同樣，一名科學(xué)工作者，特別是聲望較高的學(xué)術(shù)專家，正確識別出那些已經(jīng)成熟的或具有明顯現(xiàn)實(shí)意義的科這成果并不難，難的是及時(shí)識別出那些尚未成熟或現(xiàn)實(shí)意義尚未顯露出來的科學(xué)成果。我們每一位科學(xué)工作者，既應(yīng)當(dāng)作一名勇于在逆境中頑強(qiáng)點(diǎn)頭的科學(xué)探索者，又應(yīng)當(dāng)成為一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域中新生事物的堅(jiān)定支持者。第四十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日然而非歐幾何獲得普遍接受是在德國數(shù)學(xué)家黎曼于1868年發(fā)表關(guān)于構(gòu)成幾何基礎(chǔ)的原則的思想以及意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米在1868年證明非歐向何的相容性和普遍適用性后才實(shí)現(xiàn)。在哲學(xué)上,非歐幾何的出現(xiàn)動(dòng)搖了數(shù)學(xué)中自明的真理概念。人們清楚地認(rèn)識到,存在一系列真理,依賴于人們對于公理如何選擇和如何安排。第四十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日在特殊情況下,一種特殊的真理,可以比別的真理更加有用,但它并不更“真”。在一般人的心目中(特別是數(shù)學(xué)家),歐幾里得幾何學(xué)是無比神圣的,以致羅巴切夫斯基和其他生些非歐幾何學(xué)家受到許多貶低和責(zé)難(對羅巴切夫斯基所作出貢獻(xiàn)的回報(bào)就是1846年被解職)。直至他死后半個(gè)多世紀(jì),愛因斯坦證明了宇宙在結(jié)構(gòu)上是非歐的,并且非歐的理論和概念有著非常實(shí)際的價(jià)值之后,情況才發(fā)生了根本的變化。第五十頁，共六十四頁，2022年，8月28日羅巴切夫斯基的幾何學(xué)羅巴切夫斯基是從1815―1816年著手研究第五公設(shè)問題的．到1826年2月23日于喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系學(xué)術(shù)會(huì)議上首次宣讀自己新幾何學(xué)的論文――(簡要敘述平行線公理的一個(gè)嚴(yán)格證明》，前后經(jīng)過了十年艱苦的努力．開始，他像其他所有研究者一樣，也試圖給出第五公設(shè)的證明，但不久就意識到這是徒勞的，對于第五公設(shè)，“至今沒能找到它的嚴(yán)格證明，以往給出的任何一種證明，只能是一種說明，而不配稱做是真正意義下的數(shù)學(xué)證明”

第五十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日

通過錯(cuò)誤與失敗的精心研究。羅巴切夫斯基大膽地提出原問題的“反問題”，即第五公設(shè)在數(shù)學(xué)上是不可證明的．用他自己的話說就是：“我推斷，不依賴于經(jīng)驗(yàn)，去尋求這個(gè)真實(shí)性的證明是徒勞的”．因?yàn)椤斑@個(gè)真實(shí)性還沒有包含在我們對現(xiàn)實(shí)事物的概念自身中”．那么，羅巴切夫斯基是怎樣成功地解決這個(gè)反問題的?又是怎樣從中發(fā)現(xiàn)非歐幾何新天地的?原來，他運(yùn)用了反證法這一間接證明方法．第五十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日

羅巴切夫斯基的基本思想是，為證“第五公設(shè)不可證”，首先用第五公設(shè)的相反命題代替它，和其他公設(shè)構(gòu)成一個(gè)新的公理系統(tǒng)，然后，對這個(gè)新公理系統(tǒng)展開邏輯推演．假設(shè)第五公設(shè)在數(shù)學(xué)上可證，那么一定能夠推演出邏輯矛盾來，至少第五公設(shè)和它的相反命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出邏輯矛盾，就自然反駁了“第五公設(shè)可證”的假設(shè)，從而也就間接證得“第五公設(shè)不可證”．

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基于這種思想，羅巴切夫斯基從第五公設(shè)的等價(jià)命題普雷菲爾公理的否定；“過平面上直線外一點(diǎn)，至少可引兩條直線與已知直線不相交”．之后，他從這個(gè)相反命題(及歐幾里得的其他公設(shè))出發(fā)而進(jìn)行邏輯推演．推演不多幾步，他就得到一連串新命題．這些命題，不僅離奇古怪，而且和人們的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識格格不入．但是，經(jīng)過仔細(xì)推敲，羅巴切夫斯基并沒有發(fā)現(xiàn)它們之間含有任何邏輯矛盾．第五十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日于是，遠(yuǎn)見卓識的羅巴切夫斯基斷言，這個(gè)“在結(jié)果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)屬于一種新幾何，它的邏輯完整性和嚴(yán)密性可以和歐氏幾何相媲美．而這個(gè)新幾何的存在，就是對“第五公設(shè)不可證”的間接證明．在創(chuàng)立非歐幾何體系的過程中，羅巴切夫斯基憑借想象的翅膀，騰飛而起，提出了許多令人驚嘆，具有珍貴價(jià)值的科學(xué)思想．第五十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日

例如，羅巴切夫斯基從他給出的平行角解析式出發(fā)，以猜想的形式斷言，非歐幾何是“巨大尺度形式的幾何”，適合于大宇宙空間范圍．為檢驗(yàn)非歐幾何的真理性，他曾根據(jù)當(dāng)時(shí)的最新天文觀測資料，對盡可能大的天體三角形作了角度計(jì)算，算得的結(jié)果表明，這個(gè)角度比觀測精度還小，因而無法觀測到空間幾何的非歐表現(xiàn)．但是，羅巴切夫斯基并不認(rèn)為他的斷言遭到了反駁．在他看來，“空間是無限延伸的，自然界只給我們的是這樣的距離，和這個(gè)距離相比，甚至我們地球到恒星的距離也是微乎其微的．”

第五十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日他由此設(shè)想，在以天文尺度為單位的巨大宇宙空間，將出現(xiàn)空間幾何性質(zhì)與歐幾里得幾何的明顯差異．羅巴切夫斯基進(jìn)而構(gòu)想，微觀領(lǐng)域的幾何也是非歐式的．他把非歐幾何稱為“想象幾何”，并且極富創(chuàng)見性地向他的同代人宣告：“在觀測不足的情況下，應(yīng)當(dāng)憑理智設(shè)想，想象幾何可適用于被觀測到的世界之外以及分子引力范圍之內(nèi)”．第五十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日

再如，羅巴切夫斯基還一反常態(tài)地提出了只有我們這個(gè)時(shí)代的人才能理解幾何與力相關(guān)的思想．他深刻地指出：“空間自身是不能單獨(dú)存在的，因而當(dāng)我們設(shè)想，自然界中的某些力決定一種幾何，另一些力決定另一種特殊的幾何，那么我們的頭腦中就沒有任何矛盾了”．他又指出：“力