向量組的線性相關(guān)、行和秩

第六講

向量組線相關(guān)和正文:一、何線性組合和關(guān)性：

1線性組設(shè)有向量組A:

1

,

2

,…,

m

任何一組實(shí)數(shù):

1

,

2

,…,

m

,表達(dá)式

11

+

22

+

mm

,稱向量組A的一個(gè)線性組合；同時(shí)，對(duì)于向量，如果存在一組數(shù)

1

,

2

,…,

m

，使得=

11

+

22

+…+

mm

，則稱向量

能由向量組A線性表示。2相關(guān)性：于

11

+

22

+…+

mm

=0（

i

不全為零i=1,2，）,則稱向量組A線性相關(guān)；否則稱向量組A線性無關(guān)。314例：斷向量組

1

=1,=6,=7的線性相關(guān)性。23005解：令

11

+

22

+

33

314=0，即167005

123

=0314由于A=167=850005

所以由克拉默法則知，該方程組只有零解，即

1

=

2

=

3

，所以

1

,

2

,線性無關(guān)。33、定理

向量組

1

,

2

m

(m線性相關(guān)的充分必要條件是向量組

A至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)量線性表示。4定理

向量組

1

,

2

,…,

m

線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A=(

1

,

2

,…,

m

)的秩小于向量個(gè)數(shù)m；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)=m。例：設(shè)12

0

11

=1，=，211

3

=1，2

4

=，2試討論向量組

1

,

2

,

3

,

4

及

1

,

2

,

3

的線性相關(guān)性。解:設(shè)(

1

12011201,,,)=101202132341122013可見R(

1

,

2

,

3

,

4

)=3小于向量個(gè)數(shù)4，故向量

1

,

2

,

3

,

4

線性無關(guān)；同時(shí)可得R(

1

,

2

,

3

)=3，等于向量個(gè)數(shù)，故向量組

1

,

2

,

3

線性無關(guān)。注意上述例1亦可由這一定理求解例矩陣的秩為3于向量的個(gè)數(shù)所以

1

,

2

,

3

線性無關(guān)。5向量組之間等價(jià)關(guān)和線性表示引例：知向量組21311

=4,=2,=，=4問否由2342140

1

,

2

,

3

線性表示4

？解：設(shè)有

1

,

2

,

3

使

11

+

22

+

33

=

4

,213可得方程組25214

123

1=40容易得出此方程無解，因此

4

不能由

1

,

2

,

3

線性表示。注意線性方程組

11

+

22

+…+

mm

=

有解的充分必要條件是向量

可以由向量組

1

,

2

,…,

m

線性表示。

因此，由線性方程組有解的充分必要條件，可得：定理向量可以由向量組A:

1

,

2

,…,

m

線性表示的充分必要條件是矩陣A=(

1

,

2

,…,

m

)的秩等于矩陣B=(

1

,

2

,…,

m

,)的秩。定義：向量組A:

1

,

2

,…,

m

中的每一個(gè)向量

i

均可由向量組：1

,

2

,…,

l

線性表示則稱向量組A可由向量組B線性表示若量組A與向量組B可相互線性表示，則稱向量組A與向量組等價(jià)。定理向量組：,1

2

,…,

l

能由向量組

1

,

2

,…,

m

線性表示的充分必要條件是矩陣A=(

1

,

2

,…,

m

)的秩等于矩陣B=(

1

,

2

,…,

l

)的秩,即R(A)=R(A,B)推論向量組：,1

2

,…,

l

與向量組

1

,

2

,…,

m

等價(jià)的充分必要條件是:R(A)=R(B)=R(A,B)13213例設(shè)

1

1=,1

2

=

11

,

1

=

01

,

2

=

10

,

3

1=,證明向量組,21

2

與13120向量組

1

,

2

,

3

等價(jià)。證：

記A=(

1

,

2

),B=(

1

,

2

,

3

),根據(jù)上述定理4推論，只需證明R(A)=R(B)=R(A,B)所以(A,B)=

13232111000000000可見，R(A)=R(B)=R(A,B)=2.6結(jié)論：（1）含有零向量的向量組一定是相關(guān)的；（2）一個(gè)向量組中有線性相關(guān)的部分組，則該向量組線性相關(guān)；一個(gè)向量組若線性無關(guān)，則它的任何部分組都線性無關(guān)。二、向組的秩:1、義：設(shè)有向量組A果在A中能選出r個(gè)向量

1

,

2

,…,

r

足(1)向量:0

1

,

2

,…,

r

線性無關(guān)向量組A中任意r+1個(gè)向量(如果A中有r+1個(gè)向量的話)都線性相關(guān)則稱向量組是向量組的A的一個(gè)極大無關(guān)向0

量組（簡稱極大無關(guān)組無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記R

A特別的若向量組A本身線性無關(guān)則A便是一個(gè)極大無關(guān)組；而只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0.極大無組的特點(diǎn)：大無關(guān)組A的部分值且都是相互線性無關(guān)的若在其中間加入任一剩余的向量便線性相關(guān)。343

1例：設(shè)

1

=,=1,=5,=7,234425

5

0,求A中一個(gè)極大無關(guān)0組，并將余下向量用這個(gè)極大無關(guān)組線性表示。解：A=

1

3431,,,,）=21570023454200

003101010

37/1516/156/5所以R(

1

,

2

,

3

)=R(

1

,

2

,

3

,

4

,

5