數(shù)值計(jì)算課后習(xí)題五答案

習(xí)題五解答

1、用矩形公式、梯形公式、拋物線公式計(jì)算下列積分，并比較結(jié)果。

(1),(2)

(3),(4)

1*、用矩形公式、梯形公式、拋物線公式計(jì)算下列積分，并比較結(jié)果。

(1)

解：解：將區(qū)間[0,1]4等分，5個(gè)分點(diǎn)上的被積函數(shù)值列表如下(取2位小

數(shù))

x00.250.50.751

y00.060.120.160.20

⑴矩形法。

用矩形法公式計(jì)算(取2位小數(shù))

或者

(2)梯形法

用梯形法公式計(jì)算(取2位小數(shù))：

⑶拋物線法

用拋物線法公式計(jì)算(取2位小數(shù))：

2、用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，由此計(jì)算In2(注：)，精度要求為。

解：，

要求精度為，即誤差不超過。

將積分區(qū)間［4,8］n等份，則步長(zhǎng)

在本題中，復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)為

注意到

所以在［4,8］區(qū)間上，

則，

要使，需有。

3、用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分，問將積分區(qū)間［a,b］分成多少等份，才能保證誤

差不超過e(不計(jì)舍入誤差)？

解：對(duì)于復(fù)合梯形公式來說，如果在積分區(qū)間上連續(xù)，則其余項(xiàng)為

設(shè)，

則

令，

得

即當(dāng)時(shí)，能保證計(jì)算的精度要求。

4、已知飛機(jī)在高度H的上升速度v(H)如下：

H(km)0246810

v(km/s)50.046.040.032.222.510.0

求從地面(H=0km)上升到H=10km高空所需要的時(shí)間。(分別用復(fù)合梯形公式與

高階牛頓一柯特斯公式)

指出：

求給定函數(shù)的數(shù)值積分套用公式即可但須注意給出的數(shù)據(jù)表不是要求積分的函

數(shù)表，要求積分的函數(shù)表為

H(km)0246810

V(km/s)50.046.040.032.222.510.0

1/v

5、用龍貝格方法計(jì)算下列積分，要求誤差不超過10—5。

(1)(2)

解：(1)依次應(yīng)用龍貝格積分的四個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算：

計(jì)算結(jié)果列表如下:

00.7717433

10.72806990.7135121

20.71698280.71328700.7132720

30.71420020.71327260.71327170.7132717

所以。

6、分別用下列方法計(jì)算積分,并比較計(jì)算結(jié)果的精度(1=1.098612……)：

⑴復(fù)合梯形法5=16)；

⑵復(fù)合拋物線法(n=8)；

⑶龍貝格方法，求至；

(4)三點(diǎn)高斯一勒讓德公式。

指出：

①直接套公式計(jì)算。

②計(jì)算結(jié)果的精度比較，通過各計(jì)算解和精確解比較，求出相應(yīng)的誤差，再比

較誤差大小的方法進(jìn)行。

③三點(diǎn)高斯一勒讓德公式為

當(dāng)積分區(qū)間不是［-1,1］而是［a,b］時(shí)，為應(yīng)用高斯一勒讓德公式，需要作

變量代換，將［a,b］化為［-1,1］。

石瑞民《數(shù)值計(jì)算》中沒有給出三點(diǎn)高斯一勒讓德公式，但給出了3、4、5點(diǎn)

公式系數(shù)表。

7、試確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出

的求積公式具有的代數(shù)精度：

(1);

(2)；

(3)；

(4)。

解：(1)求積公式中有三個(gè)待定系數(shù)，故令求積公式對(duì)f(x)=1,x,x2精確成

立,即

解之得，

所以，數(shù)值求積公式為，

而，

所以上述積分公式具有3次代數(shù)精度(實(shí)際上這是拋物線公式)。

(2)求積公式中有三個(gè)待定系數(shù)，故令求積公式對(duì)f(x)=1,x,x2精確成立，

即

解之得，

所以，數(shù)值求積公式為，

而，

所以上述積分公式具有3次代數(shù)精度。

指出：

由于本題的節(jié)點(diǎn)實(shí)際上僅分布在半個(gè)積分區(qū)間，因此積分精度低。

⑶求積公式中有2個(gè)待定參數(shù)，需要列兩個(gè)方程組成的方程組。

當(dāng)f(x)=1時(shí)，有

因此需令求積公式對(duì)f(x)=x,x2精確成立，即

化簡(jiǎn)得

解之得

或

所以，數(shù)值求積公式為

或

對(duì)第一個(gè)積分公式，

當(dāng)時(shí)，

所以上述積分公式具有2次代數(shù)精度。

指出：

求出的是兩個(gè)積分公式，不能認(rèn)定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)有大小順序規(guī)定而只取一個(gè)，實(shí)際

上僅僅是兩個(gè)點(diǎn)必須是按求出的成對(duì)。

(4)求積公式中僅含有一個(gè)待定參數(shù)Co

令f(x)=1,有

令f(x)=x,有

令時(shí)公式準(zhǔn)確成立，則

則求積公式為

將代入求積公式，有

所以，求積公式具有2次代數(shù)精度。

指出：

可否認(rèn)為，或是否有必要認(rèn)為a和b是未知待定的？

8、試構(gòu)造高斯型求積公式，使之對(duì)于均能成立。

解：求積公式中有4個(gè)待定的未知數(shù)，故令求積公式對(duì)f(x)=1,x,x2,x3精

確成立，即

從前兩式從解出(用矩陣方程形式)有

對(duì)后兩式有

故有

化簡(jiǎn)得

令

則上述方程組化為

解之得，

于是有

故所求的積分公式為

指出：

①注意方程組的解法。

②，與相對(duì)應(yīng)（由前兩個(gè)方程決定）。

③方程組中是一次的，而且前兩個(gè)方程中也是0次、1次的，因此從前兩個(gè)

方程中解出（用表示）代入后兩個(gè)方程中求就是比較容易想到的方法。而用

矩陣格式簡(jiǎn)化計(jì)算，用變量代換簡(jiǎn)化方程則是數(shù)學(xué)的技巧。

9、利用下表求x=0.6處的一階導(dǎo)數(shù)。

x0.40.50.60.70.8

f（x）1.58364941.79