現(xiàn)代控制理論第一章課件

1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式1.3狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一)1.2狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖1.5狀態(tài)矢量的線(xiàn)性變換(坐標(biāo)變換)1.4狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(二)1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式1.1.1狀態(tài)及狀態(tài)變量定義：動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),是指能夠完全描述系統(tǒng)時(shí)間域動(dòng)態(tài)行為的一個(gè)最小變量組。該變量組的每個(gè)變量稱(chēng)為狀態(tài)變量。該最小變量組中狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為系統(tǒng)的階數(shù)。

“狀態(tài)”定義的三要素完全描述。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時(shí)刻(t=t0)的值和初始時(shí)刻后(tt0)的輸入,則系統(tǒng)在任何瞬時(shí)(tt0)的行為,即系統(tǒng)的狀態(tài),就可完全且唯一的確定。動(dòng)態(tài)時(shí)域行為。最小變量組。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨(dú)立減少變量,描述不全。增加則一定存在線(xiàn)性相關(guān)的變量,冗余的變量,毫無(wú)必要。1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式1.1.2狀態(tài)矢量

若要完全描述n階系統(tǒng),則其最小變量組必須由n個(gè)變量(即狀態(tài)變量)所組成,一般記這n個(gè)狀態(tài)變量為x1(t),x2(t),…,xn(t).

若以這n個(gè)狀態(tài)變量為分量,構(gòu)成一個(gè)n維變量向量,則稱(chēng)這個(gè)向量為狀態(tài)變量向量,簡(jiǎn)稱(chēng)為狀態(tài)向量,并可表示如下:

多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量。它可以是能直接測(cè)量或觀(guān)測(cè)的量,也可以是不能直接測(cè)量或觀(guān)測(cè)的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,沒(méi)有實(shí)際物理量與之直接相對(duì)應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量。根據(jù)電學(xué)原理，容易寫(xiě)出兩個(gè)含有狀態(tài)變量的一階微分方程組：亦即（1）1.1.4狀態(tài)方程由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。用下圖所示的R-L-C網(wǎng)絡(luò)，說(shuō)明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。圖一或式中(2)

式(1)就是圖一系統(tǒng)的狀態(tài)方程，式中若將狀態(tài)變量用一般符號(hào)表示，即令x1=uC,x2=i

，并寫(xiě)成矢量矩陣形式，則狀態(tài)方程變?yōu)椋菏剑?）就是圖一系統(tǒng)的輸出方程，它的矩陣表示式為：或（3）式中或（4）1.1.5輸出方程

在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式，稱(chēng)為系統(tǒng)的輸出方程。如在圖一系統(tǒng)中，指定uC作為輸出，輸出一般用y表示，則有：（8）

設(shè)單輸入一單輸出定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為則狀態(tài)方程的一般形式為：輸出方程式則有如下形式：

回到式（5）或式（6）的二階系統(tǒng)，若改選和作為兩個(gè)狀態(tài)變量，即令則得一階微分方程組為：同一物理系統(tǒng)，狀態(tài)空間表達(dá)式不唯一

因而多輸入一多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的矢量矩陣形式為：式中，x和A與單輸入系統(tǒng)相同，分別為n維狀態(tài)矢量和n×n系統(tǒng)矩陣；為r維輸入(或控制)矢量；為m維輸出矢量；（9）（10）用矢量矩陣表示時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式則為：1.1.7狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)框圖

式（9）和（10）可以用框圖表示系統(tǒng)信號(hào)傳遞的關(guān)系。1.2狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖

狀態(tài)空間表達(dá)式的框圖可按如下步驟繪制：積分器的數(shù)目應(yīng)等于狀態(tài)變量數(shù)，將它們畫(huà)在適當(dāng)?shù)奈恢?，每個(gè)積分器的輸出表示相應(yīng)的某個(gè)狀態(tài)變量，然后根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫(huà)出相應(yīng)的加法器和比例器，最后用箭頭將這些元件連接起來(lái)。例1：對(duì)于一階標(biāo)量微分方程：例2：三階微分方程：將最高階導(dǎo)數(shù)留在等式左邊，上式可改寫(xiě)成它的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：例4：求下列二輸出的二階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。它的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：1.3狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立一般可以從三個(gè)途徑求得：由系統(tǒng)框圖來(lái)建立，即根據(jù)系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)際連接，寫(xiě)出相應(yīng)的狀態(tài)空問(wèn)表達(dá)式；從系統(tǒng)的物理或化學(xué)的機(jī)理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)；由描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得。1.3狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一)1.3.1從系統(tǒng)框圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式幾個(gè)典型環(huán)節(jié)的模擬結(jié)構(gòu)圖圖

（1）積分環(huán)節(jié)：（2）一階慣性環(huán)節(jié)：（4）二階環(huán)節(jié):

后一部分是前向通道為的單位負(fù)反饋系統(tǒng)

而前向通道又可分解為比例器a0

、積分器和一階慣性環(huán)節(jié)三部分

1.3狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一)1.3.1從系統(tǒng)框圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式幾個(gè)典型環(huán)節(jié)的模擬結(jié)構(gòu)圖

1.3狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一)1.3.1從系統(tǒng)框圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式例1：控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖，試畫(huà)出模擬結(jié)構(gòu)圖并求出狀態(tài)空間表達(dá)式1.3.2從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式

一般常見(jiàn)的控制系統(tǒng)，按其能量屬性，可分為電氣、機(jī)械、機(jī)電、氣動(dòng)液壓、熱力等系統(tǒng)。根據(jù)其物理規(guī)律，如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律等，即可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。當(dāng)指定系統(tǒng)的輸出時(shí)，很容易寫(xiě)出系統(tǒng)的輸出方程。1.4狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(二)

1.4狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(二)

1.4狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(二)

1.4.1傳遞函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)在這種情況下，系統(tǒng)的微分方程為：

相應(yīng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為若取y/b0及其各階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量，則有

輸出方程為：

表示成矩陣形式，則為：

順便指出，當(dāng)A矩陣具有式上矩陣的形式時(shí)，稱(chēng)為友矩陣，友矩陣的特點(diǎn)是主對(duì)角線(xiàn)上方的元素均為1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均為零。其模擬結(jié)構(gòu)圖為：1.4狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(二)

1.4.1傳遞函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)若取y及其各階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量，則有輸出方程：y=x1將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫(xiě)成矩陣形式有：其模擬結(jié)構(gòu)圖為：例：將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型此時(shí)，系統(tǒng)的微分方程為：相應(yīng)地，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：不是一般性，以三階系統(tǒng)為例，設(shè)待實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：因?yàn)樯鲜娇勺儞Q為（26）1.4.2傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)

令則對(duì)上式求拉氏反變換，可得：或表示為：系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖為：傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)(推廣到N階系統(tǒng))

求狀態(tài)空間表達(dá)式1.5狀態(tài)矢量的線(xiàn)性變換(坐標(biāo)變換)1.5.1系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性

對(duì)于一個(gè)給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應(yīng)地有許多種狀態(tài)空間表達(dá)式描述同一系統(tǒng)，也就是說(shuō)系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式。所選取的狀態(tài)矢量之間，實(shí)際上是一種矢量的線(xiàn)性變換(或稱(chēng)坐標(biāo)變換)。

設(shè)給定系統(tǒng)為：（37）即代入式（37），得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式：（38）

我們總可以找到任意一個(gè)非奇異矩陣T，將原狀態(tài)矢量x作線(xiàn)性變換，得到另一狀態(tài)矢量z，設(shè)變換關(guān)系為：系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣A的特征值，也即特征方程：（43）

的根。n*n方陣A且有n個(gè)特征值；實(shí)際物理系統(tǒng)中，A為實(shí)數(shù)方陣，故特征值或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)槌蓪?duì)共軛復(fù)數(shù)；如A為實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣，則其特征值都是實(shí)數(shù)。1.5.2系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量

1.系統(tǒng)特征值系統(tǒng)

式(43)與式(44)形式雖然不同，但實(shí)際是相等的，即系統(tǒng)的非奇異變換，其特征值是不變的?？梢宰C明如下：2．系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得：其特征方程為：（44）

將特征方程寫(xiě)成多項(xiàng)式形式:3．特征矢量（向量）由于特征值全由特征多項(xiàng)式的系數(shù)an-1，an-2，…，a1，a0

唯一確定，而特征值經(jīng)非奇異變換是不變的，那么這些系統(tǒng)an-1，an-2，…，a1，a0也是不變的量。所以稱(chēng)特征多項(xiàng)式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。一個(gè)n維矢量Pi：經(jīng)過(guò)以A作為變換陣的變換，得到一個(gè)新的矢量即

如果此即矢量Pi

，經(jīng)A線(xiàn)性變換后，方向不變，僅長(zhǎng)度變化倍，則稱(chēng)Pi為A的對(duì)應(yīng)于的特征矢量，此時(shí)有

1.5.3狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型(特征值規(guī)范型）這里的問(wèn)題是將(45)變換為：(46)

根據(jù)系統(tǒng)矩陣A求其特征值，可以直接寫(xiě)出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣J。無(wú)重根時(shí)有重根時(shí)欲得到變換的控制矩陣T-1B和輸出矩陣CT，則必須求出變換矩陣T。下面根據(jù)A陣形式及有無(wú)重根的情況，分別介紹幾種求T的方法。

1.A陣為任意形式(1)A陣的特征值無(wú)重根時(shí)

設(shè)是A的n個(gè)互異特征根，求出A的特征矢量Pi,則變換矩陣T由A的特征矢量Pi構(gòu)成，即化成對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型1.A陣為任意形式(2)A陣的特征值有q個(gè)重根時(shí)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型2．A陣為標(biāo)準(zhǔn)型(友矩陣)，即(1)A的特征值無(wú)重根時(shí)，其變換是一個(gè)范德蒙德(Vandermonde)矩陣，為：(2)A特征值有重根時(shí)，以有的三重根為例：化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)：（55）現(xiàn)將式(55)展開(kāi)成部分分式。由于系統(tǒng)的特征根有兩種情況：一是所有根均是互異的，一是有重根。

3．系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)（1）無(wú)重根時(shí)此時(shí)（無(wú)重根），狀態(tài)空間表達(dá)式（1）為模擬結(jié)構(gòu)圖入右所示：此時(shí)（無(wú)重根），狀態(tài)空間表達(dá)式（2）為模擬結(jié)構(gòu)圖入右所示：（2）有重根時(shí)此時(shí)，狀態(tài)空間表達(dá)式為：模擬結(jié)構(gòu)圖為：1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣其中各元素Wij(s)都是標(biāo)量函數(shù)，它表征第j個(gè)輸入對(duì)第i個(gè)輸出的傳遞關(guān)系。當(dāng)i≠j時(shí),意味著不同標(biāo)號(hào)的輸入與輸出有相互關(guān)聯(lián)，稱(chēng)為有耦合關(guān)系，這正是多變量系統(tǒng)的特點(diǎn)。W(S)還可以表示為：

可以看出，W(s)的分母就是系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式，W(s)的分子是一個(gè)多項(xiàng)式矩陣。

應(yīng)當(dāng)指出，同一系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達(dá)式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)陣是不變的。當(dāng)做坐標(biāo)變換，即令z=T-1x時(shí)，則該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：（71）那么對(duì)應(yīng)上式的傳遞函數(shù)陣應(yīng)為：即線(xiàn)性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣設(shè)系統(tǒng)2為：簡(jiǎn)記為：1.6.2子系統(tǒng)在各種連接時(shí)的傳遞函數(shù)陣

實(shí)際的控制系統(tǒng)，往往由多個(gè)子系統(tǒng)組合而成，或并聯(lián)，或串聯(lián)，或形成反饋連接。現(xiàn)僅以?xún)蓚€(gè)子系統(tǒng)作各種連接為例，推