電磁場與電磁波課件

第2章電磁場基本理論主要內(nèi)容場的定義和計算、麥克斯韋方程組的建立及其積分微分形式2.1、場量的定義和計算1、電場2、電位3、磁場4、矢量磁位2.2、麥克斯韋方程組的建立1、安培環(huán)路定律2、法拉第電磁感應(yīng)定律3、電場的高斯定律4、磁場的高斯定律5、電流連續(xù)性方程2.3、麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式2.1、場量的定義和計算1、電場（1）什么是電場？存在于電荷周圍，能對其他電荷產(chǎn)生作用力的特殊的物質(zhì)稱為電場。可見電荷是產(chǎn)生電場的源。（2）電場強(qiáng)度的定義單位正電荷在電場中某點(diǎn)受到的作用力稱為該點(diǎn)的電場強(qiáng)度。電場強(qiáng)度嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：在此要求實(shí)驗(yàn)電荷足夠小，以使該電荷產(chǎn)生的電場不致使原電場發(fā)生畸變。解：如圖點(diǎn)的坐標(biāo)矢量為：點(diǎn)的坐標(biāo)矢量為：點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度的計算公式其中：所以:例1：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)一點(diǎn)電荷q位于點(diǎn)，計算空間點(diǎn)的電場強(qiáng)度。結(jié)論：多個電荷產(chǎn)生的電場如果有多個點(diǎn)電荷源,場域中某點(diǎn)的電場強(qiáng)度應(yīng)該是所有點(diǎn)電荷在該場中產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量和。在直角坐標(biāo)系中，若源電荷所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，場點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為：qq1q2q3q4q5q6q7

真空中的N個點(diǎn)電荷q1、q2、…、qN

（分別位于、、…、）對點(diǎn)電荷q（位于）的作用力為b.面電荷分布：電荷沿空間曲面連續(xù)分布。面電荷密度定義：單位面積上的電荷量。上所帶的電荷量：產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為：該面電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度：c.體電荷分布:電荷在某空間體積內(nèi)連續(xù)分布。體電荷密度定義：單位體積內(nèi)的電荷量。上所帶的電荷量：產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為：該體電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度:解：根據(jù)題意，選取圓柱坐標(biāo)系面元：面元上的電荷量為：從此電荷源到z軸上P點(diǎn)的距離矢量為：距離大小為：根據(jù)面分布電荷在空間一點(diǎn)所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度公式：例2：設(shè)有一無限大的均勻帶電平面，面電荷密度為,求：距平面h高處的電場強(qiáng)度E。2、電位電荷在電場中受力為：電荷在靜電場中由P點(diǎn)移動到A點(diǎn)，外力所做的功為：電位差定義：單位正電荷由P點(diǎn)移動到A點(diǎn)，外力所做的功稱為A點(diǎn)和P點(diǎn)之間的電位差。（1）電位差電荷在電場中要保持靜止，需受外力作用為：結(jié)論：空間兩點(diǎn)的電位差只與兩點(diǎn)所在位置有關(guān)，而與積分路徑無關(guān)。例3：計算原點(diǎn)處一點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場中AP之間的電位差。解：選取球坐標(biāo)系，點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場所以：oⅠ電位定義：外力將單位正電荷是由無窮遠(yuǎn)處移到A點(diǎn)，則A點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處的電位差稱為A點(diǎn)的電位。（2）電位以無窮遠(yuǎn)處為零電位參考點(diǎn)，為電荷源到A點(diǎn)的距離。Ⅱ電位物理意義：

靜電場中某點(diǎn)的電位，其物理意義是單位正電荷在電場力的作用下，自該點(diǎn)沿任一條路徑移至無限遠(yuǎn)處過程中電場力作的功。根據(jù)定義，任意一點(diǎn)A的電位等于把單位正電荷從該點(diǎn)移到電位參考點(diǎn)P（零電位點(diǎn)）電場力所做的功。也就是外力克服電場力把單位正電荷從電位參考點(diǎn)（零電位點(diǎn)）移到該點(diǎn)所做的功。數(shù)值上也就是單位正電荷所具有的勢能。因此我們才可以說（在靜電場條件下）電位是單位正電荷的勢能。勢能本身就意味著它只與狀態(tài)有關(guān)，與過程無關(guān)。

（3）電位計算Ⅰ.點(diǎn)電荷的電位計算：多個點(diǎn)電荷的電位計算：其中：為第i個電荷源到A點(diǎn)的距離。Ⅱ.連續(xù)分布的電荷源的電位計算線電荷分布：面電荷分布：體電荷分布：※Ⅲ.場源電荷分布至無限遠(yuǎn)時，電位的計算電荷分布到無窮遠(yuǎn)，不能選無限遠(yuǎn)處為零電位點(diǎn)。只能在有限區(qū)域非源點(diǎn)處任選一點(diǎn)作參考點(diǎn)。電位參考點(diǎn)不能位于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。取R=1柱面為電位參考面，即得：無限長線電流的電位例：無限長線電荷電位（4）電位與電場強(qiáng)度關(guān)系在靜電場中，任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：根據(jù)E與的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點(diǎn)？()？()1）電位作輔助量，簡化求解過程，矢量變標(biāo)量。2）靜電場電位有物理意義：電位是單位正電荷的勢能。3）電位比電場易測量。為什么要引入電位：例4:有一對等量異號相距很近的電荷構(gòu)成電偶極子，如圖，求：P點(diǎn)的電位和電場強(qiáng)度。解：取球坐標(biāo)系，P點(diǎn)的電位因?yàn)椋簞t：電場強(qiáng)度：

點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場

電偶極子的等位線和電力線

點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場點(diǎn)電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場3、磁場產(chǎn)生磁場的源：a.永久磁鐵b.變化的電場c.電流周圍，即運(yùn)動的電荷（1）什么是磁場？存在于載流回路或永久磁鐵周圍空間，能對運(yùn)動電荷施力的特殊物質(zhì)稱為磁場?？梢姡捍艌隽Α⑦\(yùn)動速度和磁感應(yīng)強(qiáng)度三者相互垂直，且滿足右手螺旋法則。（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的定義電流分類：電流可以分布在體積中，也可分布在表面上或細(xì)導(dǎo)線中。面分布的電流稱為表面電流，表面電流密度Js的單位為A/m。細(xì)導(dǎo)線中電流稱為線電流，線電流無密度可言。各種電流之間的關(guān)系為例5：求如圖所示的電流線I在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：取圓柱坐標(biāo)系將電流線分成三段分別求這三段電流在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。Ⅰ.閉合電流回路在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：特斯拉(T)（1）段在O點(diǎn)產(chǎn)生的（2）段在O點(diǎn)產(chǎn)生的（3）段在O點(diǎn)產(chǎn)生的O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度:※例6：求長為l,載有電流I的細(xì)直導(dǎo)線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度.解：如圖所示，選用圓柱坐標(biāo)系式中：所以：式中：于是得：有限長度電流線磁感應(yīng)強(qiáng)度：無限長載流直導(dǎo)線周圍磁感應(yīng)強(qiáng)度：即：Ⅱ.面電流情況:電流在某一曲面上流動。面電流密度：定義為在與電流線垂直的方向上單位長度流過的電流。

上流過的電流量：產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：整個面電流產(chǎn)生的磁場：(A/m)解：如圖，選用直角坐標(biāo)系上流過的電流為例7：設(shè)一面電流密度為的無限大均勻?qū)Я髅妫螅壕嘣撈矫鎕高處的磁感應(yīng)強(qiáng)度？與對稱的取線元其中：該面電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：無限大均勻?qū)Я髅鎯蓚?cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：Ⅲ.體電流情況:電流在某一體積內(nèi)流動。體電流密度：定義為在與電流線垂直的方向上平面內(nèi)單位面積流過的電流。

上流過的電流量：產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：整個體電流產(chǎn)生的磁場：(A/m2)4、矢量磁位(1)磁通量磁感應(yīng)強(qiáng)度對一個曲面的面積分稱為穿過該曲面的磁通量。若曲面閉合：磁感應(yīng)強(qiáng)度：根據(jù)梯度規(guī)則：則有：根據(jù)高斯定律：利用矢量恒等式：已知：和結(jié)論：穿過空間任意閉合曲面的磁通量恒為零。這就是磁通連續(xù)性原理。它說明磁感線是連續(xù)的閉合矢線，磁場是無散場。

為了簡化磁場的求解，通常采用間接方法。

由磁場的散度為零，引入矢量磁位。（2）矢量磁位的引入根據(jù)矢量恒等式：引入矢量，令則：該矢量稱為矢量磁位，單位為韋伯/米（Wb/m）。矢量磁位與電位不同，它沒有任何物理意義，僅是一個計算輔助量。（3）矢量磁位的計算規(guī)范條件：對線電流的情況：已知：Ⅰ.線電流矢量磁位計算利用矢量恒等式：則：為零！矢量磁位：該式為線電流產(chǎn)生的磁場中的矢量磁位計算公式。Ⅱ.面電流矢量磁位計算面電流密度：(A/m)矢量磁位：Ⅲ.體電流矢量磁位計算體電流密度：矢量磁位：(A/m2)例8：計算半徑為a，電流為I的小電流環(huán)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：取球坐標(biāo)系，令坐標(biāo)原點(diǎn)位于電流環(huán)的中心，且電流環(huán)的平面位于xy平面內(nèi)，如圖示。由于結(jié)構(gòu)對稱，場量一定與

無關(guān)。為了計算方便起見，令所求的場點(diǎn)位于xz平面，即=0平面內(nèi)。經(jīng)過一系列演算，求得式中為小電流環(huán)的面積。rzyxar'r-r'e''xyOar'''e'-exeye'根據(jù)，求得可見，小電流環(huán)產(chǎn)生的矢量磁位A與距離r的平方成反比，磁感應(yīng)強(qiáng)度B與距離r的立方成反比。而且，兩者均與場點(diǎn)所處的方位有關(guān)。2.2麥克斯韋方程組的建立1、安培環(huán)路定律——麥克斯韋第一方程（1）安培環(huán)路定律已知：無限長載流直導(dǎo)線周圍的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：引入一個新矢量，令則：矢量稱為磁場強(qiáng)度，單位為安培/米（A/m）。安培環(huán)路定律：在真空中，磁場強(qiáng)度沿任意回路的線積分，等于該回路所限定的曲面上穿過的總電流。若積分回路中包含多個電流則：例9:如圖所示，一無限長同軸電纜芯線通有均勻分布的電流I，外導(dǎo)體通有均勻的等量反向電流，求各區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:根據(jù)題意，取圓柱坐標(biāo)系。（1）區(qū)域內(nèi)導(dǎo)體的電流密度為:取半徑為r的圓環(huán)為積分回路，根據(jù)安培環(huán)路定律:磁感應(yīng)強(qiáng)度為:

同理取半徑為r的圓為積分回路，則有:（2）區(qū)域該區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:（3）區(qū)域外導(dǎo)體的電流密度為:同理，取半徑為r的圓為積分回路，則有:可得：（4）區(qū)域（2）位移電流傳導(dǎo)電流連續(xù)是安培環(huán)路定律成立的前提。位移電流的提出：在電容器兩極板間，由于電場隨時間的變化而存在位移電流，其數(shù)值等于流向正極板的傳導(dǎo)電流。如圖：穿過的傳導(dǎo)電流為，則：穿過的傳導(dǎo)電流為，則：矛盾？S平板電容器極板上的電荷：位移電流的計算傳導(dǎo)電流：位移電流：位移電流密度：引入一個新矢量，在真空中令，則位移電流密度表示為：某曲面上的位移電流：電位移矢量3.全電流定律引入位移電流之后，穿過S面的總電流為：總電流密度為：某曲面上全電流I為：全電流定律：該方程稱為麥克斯韋第一方程。該式的物理意義：它表明磁場不僅由傳導(dǎo)電流產(chǎn)生，也能由隨時間變化的電場，即位移電流產(chǎn)生。2、法拉第電磁感應(yīng)定律——麥克斯韋第二方程（1）法拉第電磁感應(yīng)定律磁場中的一個閉合導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中就產(chǎn)生了感應(yīng)電流，表示回路中感應(yīng)了電動勢，且感應(yīng)電動勢的大小正比于磁通對時間的變化率。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：E該閉合回路中的感應(yīng)電動勢為：閉合回路中的磁通量為：可得：引起磁通變化的原因：②閉合回路與恒定磁場之間存在相對運(yùn)動,這時回路中的感應(yīng)電動勢稱為動生電動勢。③既存在時變磁場又存在回路的相對運(yùn)動，則總的感應(yīng)電動勢為：①閉合回路是靜止的，但與之交鏈的磁場是隨時間變化的，這是回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢稱為感生電動勢。（2）法拉第電磁感應(yīng)定律的推廣當(dāng)空間某曲面內(nèi)的磁通隨時間變化時，意味著空間存在著感應(yīng)電場，感應(yīng)電場沿曲面邊界的積分為該曲線上的感應(yīng)電動勢。經(jīng)麥克斯韋推廣的電磁感應(yīng)定律為：該方程稱為麥克斯韋第二方程。該式說明：變化的磁場產(chǎn)生電場。即電場不僅由電荷源產(chǎn)生，也可由時變的磁場產(chǎn)生。3、電場的高斯定律——麥克斯韋第三方程若以該點(diǎn)電荷為中心，做一半徑為R的球面，則電場強(qiáng)度穿出該球面的通量為如果閉合曲面內(nèi)包含n個點(diǎn)電荷，則：如果閉合曲面內(nèi)含有連續(xù)分布的電荷，則：該方程稱為麥克斯韋第三方程。該式表明：穿過任何閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的凈電荷。解：如圖，選球坐標(biāo)系，由于球殼內(nèi)均勻帶電，所產(chǎn)生的電場具有中心對稱性。（1）區(qū)域取半徑為R的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律:可得：例10：一均勻帶電球殼，電荷密度為，球殼內(nèi)外半徑分別為a、b，求各區(qū)域中的電位移矢量。（2）區(qū)域取半徑為R的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律:可得：同理取半徑為R的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律:可得：（3）區(qū)域數(shù)學(xué)表達(dá)式為：該式表明：通過任何閉合曲面的磁通量恒為零。磁力線總是連續(xù)的，它不會在閉合曲面內(nèi)積累或中斷，故稱磁通連續(xù)性原理。該方程稱為麥克斯韋第四方程。4、磁場的高斯定律——麥克斯韋第四方程5、電流連續(xù)性方程——（麥克斯韋第五方程）從封閉曲面流出的電流，必然等于封閉曲面內(nèi)正電荷的減少率：設(shè)流出封閉曲面的電流為：該封閉曲面內(nèi)的總電荷為：則：（該方程稱為麥克斯韋第五方程）該式表明：從封閉曲面流出的電流，必然等于封閉曲面內(nèi)正電荷的減少率，反之亦然。1.麥克斯韋方程組的積分形式：一般情況：無源的情況：2.3、麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式恒定電磁場(存在直流電流)正弦電磁場（存在時間因子）注意：利用積分形式的麥克斯韋方程可直接求解具有對稱性的場。如：中心對稱性場，軸對稱性場，平面對稱性場。例11：一無限長均勻帶電直導(dǎo)線，線電荷密度為，求：該導(dǎo)線周圍的電場強(qiáng)度。解：該導(dǎo)線周圍的電場具有軸對稱性，選柱坐標(biāo)系，高斯面選柱面?？傻茫弘妶鰪?qiáng)度：已知：2、麥克斯韋方程組的微