材料力學教學課件幻燈片八

返回總目錄第6章

梁的位移提要：在前面的章節(jié)中，已經(jīng)討論過受拉(壓)桿件和受扭桿件的變形與位移的計算，本章將討論受彎桿件的變形與位移的計算。由于荷載的作用，梁在各點處產(chǎn)生應力，同時也發(fā)生變形。這種變形的積累就形成了梁的撓曲線，在梁截面處產(chǎn)生撓度和轉(zhuǎn)角。本章從建立撓曲線近似微分方程入手，研究了梁的位移的計算方法。為了保證梁的正常工作，梁除滿足強度要求外，還須滿足剛度要求。本章在研究了梁位移的基礎上，將建立梁的剛度條件。除了剛度計算以外，研究梁彎曲時位移的另一個重要目的，就是解超靜定梁。本章將對簡單的超靜定梁的解法進行討論。與拉壓超靜定問題類似，解超靜定梁問題，除了用平衡條件之外，還需要考慮變形協(xié)調(diào)條件。研究梁的位移變形是求解超靜定梁的必要前提。工程中梁的撓度很小，所以梁變形后的軸線是一條光滑連續(xù)的曲線，對于軸線上的每一點，都可以略去其沿軸線方向的線位移分量，而認為它僅有撓度。此外，本章研究梁的變形均是在彈性范圍內(nèi)，材料服從胡克定律。概括地說，小變形和線彈性，這是本章研究梁的位移的兩個約定條件。除了剛度計算以外，研究梁彎曲時位移的另一個重要目的，就是解超靜定梁。本章將對簡單的超靜定梁的解法進行討論。與拉壓超靜定問題類似，解超靜定梁問題，除了用平衡條件之外，還需要考慮變形協(xié)調(diào)條件。研究梁的位移變形是求解超靜定梁的必要前提。工程中梁的撓度很小，所以梁變形后的軸線是一條光滑連續(xù)的曲線，對于軸線上的每一點，都可以略去其沿軸線方向的線位移分量，而認為它僅有撓度。此外，本章研究梁的變形均是在彈性范圍內(nèi)，材料服從胡克定律。概括地說，小變形和線彈性，這是本章研究梁的位移的兩個約定條件。梁在變形后，它的軸線將發(fā)生彎曲，形成一條撓曲線(deflectioncurve)。撓曲線的形狀與梁內(nèi)的彎矩有直接的關系。在本節(jié)里，我們將首先建立梁撓度與彎矩之間的關系，它將表現(xiàn)為撓度與截面彎矩的某種近似微分關系，從而為建立梁的撓曲線方程打下基礎。如圖6.1所示，取梁在變形前的軸線為x軸，與軸線垂直的軸為y軸，且xy平面為梁的主形心慣性平面之一。梁變形后，其軸線將在xy面內(nèi)彎成一曲線即撓曲線，如圖6.1所示。度量梁的位移所用的兩個基本量是：軸線上的點(即橫截面形心)在y方向上的線位移v，稱為該點的撓度(deflection)；橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度,稱為該截面的轉(zhuǎn)角(slope)。由圖6.1可見，某一截面轉(zhuǎn)角同時也是撓曲線在該點的切線與x軸間的夾角。6.1梁的撓曲線微分方程圖6.1推導梁撓曲線近似微分方程的坐標系6.1梁的撓曲線微分方程考慮到工程上的習慣，梁撓度以向下為正，所以在所取的坐標系中將y軸的正向取為向下方向，而轉(zhuǎn)角以順時針為正?？蓪⒘鹤冃魏蟮膿锨€用如下函數(shù)表達式表示：

(a)式中，x為梁在變形前軸線上任意一點的橫坐標，v為該點的撓度。式(a)則稱為撓曲線方程或撓度函數(shù)。由于有微小變形的條件，撓曲線是一條扁平的曲線，所以梁任一橫截面的轉(zhuǎn)角都可以用該處撓曲線切線斜率來代表，即考慮到6.1梁的撓曲線微分方程

(b)即有

(c)式(c)稱為轉(zhuǎn)角方程，它表達了梁各橫截面轉(zhuǎn)角與撓度的關系。在第5章，我們曾建立了撓曲線曲率(curvature)與彎矩的關系，即式(5.1)所示6.1梁的撓曲線微分方程在高等數(shù)學中，我們有曲率公式如下：根據(jù)小變形假設，梁撓曲線非常平緩，與1相比是一個微量，其平方是高階微量，所以可以略去，于是式(d)可改寫為

(d)顯然，由式(5.1)和式(e)我們可以建立表示撓度v與彎矩M關系的微分方程。但是，為了與選用的坐標系相適應，要先協(xié)調(diào)好彎矩與曲率的正負號問題。在我們所取的坐標系下，梁的撓曲線的曲率是以上凸為正的，而撓曲線上凸意味著梁的上部纖維受拉，對應負彎矩如圖6.2(a)所示。相反，撓曲線的曲率以下凹為負，對應正彎矩如圖6.2(b)所示?？紤]到這種正負號的關系，我們把式(5.1)右邊加上一個負號，即6.1梁的撓曲線微分方程

(e)

(f)由式(f)和式(e)可建立如下微分方程式：

(6.1)式(6.1)就是梁的撓曲線微分方程(differentialequationofthedeflectioncurve)。這是一個近似的微分關系，所以也稱撓曲線近似微分方程。所謂近似，是因為忽略了剪力引起的剪切變形和在曲率表達式中略去了項。6.1梁的撓曲線微分方程圖6.2曲率正負號的規(guī)定(a)梁受負彎矩作用；(b)梁受正彎矩作用6.1梁的撓曲線微分方程對上節(jié)建建立的梁梁撓曲線線近似微微分方程程求解，，就可得得到梁的的轉(zhuǎn)角方方程和撓撓曲線方方程。將式(6.1)改寫為對于等直直桿，E、Iz是常數(shù)，，這個微微分方程程可以直直接通過過積分求求解：(6.3)6.2用積分法法求梁的的位移(6.3b)(6.3a)式中兩個積分分常數(shù)c1和d1可以利用梁的的邊界條件(boundarycondition)確定，代入式式(6.3(a))和式(6.3(b))就分別得到梁的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角方程和撓曲線線方程。在第4章討論彎矩方程時時我們曾注意到，，在梁上不同的梁梁段，彎矩表達式式可能是各不相同同的，于是對式(6.2)需要分段積分，分分別解出各段的撓撓曲線表達式。在在這種情況下，為為了確定各個積分分常數(shù)，除了需要要利用梁的邊界條條件外，還需要利利用各梁段分界處處的連續(xù)條件(continuitycondition)。6.2用積分法求梁的位位移表6-1常見支承情況下的的邊界條件支承形式邊界條件固定端固定鉸固定鉸6.2用積分法求梁的位位移表6-2常見情況下的連續(xù)續(xù)條件荷載或支承形式連續(xù)條件6.2用積分法求梁的位位移【例6.1】截面懸臂梁受均布布荷載作用，E、Iz是常數(shù)，求自由端端的撓度與轉(zhuǎn)角。。分析：懸臂梁受滿滿布均布荷載作用用，在全梁范圍內(nèi)內(nèi)彎矩表達式是相相同的，因此，本本題只要按式(6.2)建立撓曲線微分方方程，按式(6.3)和式(6.3)積分，并利用支座座端撓度和轉(zhuǎn)角為為0的邊界條件解出積積分常數(shù)，即可得得到撓曲線方程及及轉(zhuǎn)角方程，進而而求得指定截面處處的撓度與轉(zhuǎn)角。。6.2用積分法求梁的位位移圖6.3例6.1圖解：首先列彎矩方方程再進行第二次積分分得(2)則梁的撓曲線微分分方程為(1)6.2用積分法求梁的位位移將上述2個邊界條件代入式式(1)和式(2)，可解出積分常數(shù)數(shù)為考慮邊界條件，對對于懸臂梁來說，，懸臂端的轉(zhuǎn)角和和撓度為0，即6.2用積分法求梁的位位移將上述積分常數(shù)代代入式(1)可得轉(zhuǎn)角方程：(3)將積分常數(shù)代入式式(2)可得撓曲線方程：：6.2用積分法求梁的位位移(4)最后，以分別代入入式(3)和式(4)，即得梁自由端的的轉(zhuǎn)角和撓度：根據(jù)撓度和轉(zhuǎn)角的的正負號規(guī)定，上上述結(jié)果表明轉(zhuǎn)角角為順時針，撓度度方向為向下。【例6.2】圖示為一簡支梁，，試求在滿跨均布布荷載作用下的撓撓曲線方程和轉(zhuǎn)角角方程。分析：本題與例6.1類似，在全梁范圍圍內(nèi)彎矩方程相同同，但邊界條件不不同?？紤]到簡支支梁的支承條件，，本題應以梁端兩兩支座處的撓度為為0作為邊界條件。6.2用積分法求梁的位位移圖6.4例6.2圖解：首先列出梁的的彎矩方程：然后寫出撓曲線近近似微分方程：6.2用積分法求梁的位位移對上式進行第一次次積分得(2)(1)該梁的邊界條件為為先將第1個邊界條件代入式式(2)，解出積分常數(shù)c2：6.2用積分法求梁的位位移再將第2個邊界條件代入式式(2)，可解出積分常數(shù)數(shù)c1：將求出的積分常數(shù)數(shù)代入式(1)和式(2)，即分別得到梁的的轉(zhuǎn)角方程和撓曲曲線方程：6.2用積分法求梁的位位移【例6.3】求圖6.5所示懸臂梁的撓曲曲線方程。分析：懸臂梁在x=a處受集中力作用，，在集中力兩側(cè)的的梁段上彎矩方程程將是各不相同的的。因此，本題按按式(6.2)應分段建立撓曲線線微分方程，積分分后會存在4個積分常數(shù)，邊界界條件卻僅有2個(參考例6.1)，不足以確定4個積分常數(shù)。所以以還必須利用集中中力F作用截面的兩側(cè)撓撓度和轉(zhuǎn)角連續(xù)的的條件，方可解出出積分常數(shù)，得到到撓曲線方程及轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角方程。6.2用積分法求梁的位位移圖6.5例6.3圖6.2用積分法求梁的位位移解：首先，分段寫寫梁的彎矩方程，，即6.2用積分法求梁的位位移(0≤x≤a)(a≤x≤l)撓曲線方程也要分分段寫出：(0≤x≤a)(a≤x≤l)(1)(2)對式(2)進行第一次積分和和第二次積分，得得對式(1)進行第一次積分和和第二次積分，得得(3)(4)(5)(6)6.2用積分法求梁的位位移首先，將將兩個邊邊界條件件代入式式(3)和式(4)，可解得得再利用2個連續(xù)條條件，得得到2個方程：：6.2用積分法法求梁的的位移可解出將各個積積分常數(shù)數(shù)分別代代入式(4)和式(6)，即得到到梁在2個區(qū)間的的撓曲線線方程：：6.2用積分法法求梁的的位移(0≤x≤a)(a≤x≤l)在小變形形以及材材料線彈性(linearelasticity)的條件下下，梁的的撓度和和轉(zhuǎn)角與與作用在在梁上的的荷載呈呈線性關關系。當當梁受到到幾項荷荷載同時時作用時時，可以以先分別別計算各各項荷載載單獨作作用時梁梁的撓度度和轉(zhuǎn)角角，然后后求它們們的代數(shù)數(shù)和，就就得到了了這幾項項荷載共共同作用用時的位位移。這就是疊加原理理(superpositionprinciple)在求解梁梁的位移移中的應應用。6.3按疊加原理求求梁的位移【例6.4】圖6.6(a)所示簡支梁受受均布荷載和和集中力偶作作用，試用疊疊加原理求梁梁跨中C處撓度和支座座處截面的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角。分析：此梁荷荷載可以分解解為均布線荷荷載和集中力力偶兩項簡單單荷載，由附附錄可分別查查出這兩種簡簡單荷載各自自單獨作用時時梁的位移值值，再用疊加加原理求所需需要的位移。。(c)圖6.6例6.4圖(a)(b)6.3按疊加原理求求梁的位移解：由附錄可可得，在圖6.6(b)和圖6.6(c)所示荷載作用用下的位移分分別為6.3按疊加原理求求梁的位移在按照強度條條件選擇梁的的截面以后，，往往還需要要確定梁的剛剛度條件，對對梁進行剛度度校核。也就就是說，梁的的變形也應該該在規(guī)定的限限度內(nèi)。土木木建筑中梁的的剛度條件通通常規(guī)定為最最大撓度與與跨度的的比值應應限制在容許許撓跨比范范圍內(nèi)，，即6.4梁的剛度條件件梁的容許撓跨跨比一般在1/250～1/1000范圍內(nèi)。(6.4)【例6.5】簡支梁如圖6.7所示，m，，，GPa，MPa，采用20a號工字鋼，試試根據(jù)梁的剛剛度條件確定定容許荷載[q]，并校核強度度。分析：簡支梁在均布布荷載作用下下，跨中撓度度為最大。隨隨著荷載的增增加，撓度逐逐漸增加，當當跨中最大撓撓度值時時，梁所承受受的均布荷載載即為容許荷荷載[q]。然后計算在在容許荷載[q]作用下，梁內(nèi)內(nèi)產(chǎn)生的最大大正應力，，并與與容許應力比比較。。6.4梁的剛度條件件圖6.7例6.5圖6.4梁的剛度條件件解：首先查附附表可得20a號工字鋼的cm4，cm3，由剛度條件件，跨中最大大撓度滿足強度條件件。6.4梁的剛度條件件kN/mMPa＜MPa前面幾章所討討論的軸向拉拉壓桿、受扭扭轉(zhuǎn)的圓桿以以及受彎曲的的梁，其約束束反力或構(gòu)件件內(nèi)力都能夠夠通過靜力平平衡方程求解解，這類問題題稱為靜定問題(staticallydeterminateproblem)。但在工程實際際中，往往有有很多構(gòu)件的的反力或內(nèi)力力只用靜力平平衡方程并不不能全部確定定。例如在圖圖6.8(a)中，一個大跨跨度的懸臂梁梁，為了減小小其最大撓度度和最大彎矩矩，可以在自自由端增加一一個支座。如如圖6.8(b)所示，這樣共共有、、、、、等等四個反反力，而對于于平面任意力力系，可以建建立的獨立的的靜力平衡方方程只有三個個，所以梁的的四個支座反反力不可能僅僅由靜力平衡衡方程確定。。我們把這類不不可能僅由靜靜力平衡方程程直接求解的的問題稱為超靜定問題(staticallyindeterminateproblem)。6.5超靜定梁的初初步概念與求求解在超靜定結(jié)構(gòu)構(gòu)中，有些約約束對于維持持結(jié)構(gòu)的平衡衡狀態(tài)來說是是多余的，習習慣上稱為多余約束(redundantconstrain)。與多余約束束相應的支座座反力稱為多余未知力(redundantunknownforce)。未知力個數(shù)數(shù)減去獨立的的靜力平衡方方程個數(shù)所得得的結(jié)果即為為超靜定次數(shù)(degreeofstaticallyindeterminateproblem)。因此，超靜靜定的次數(shù)就就等于多余約約束或多余未未知力的個數(shù)數(shù)。6.5超靜定梁的初初步概念與求求解圖6.8靜定梁與超靜靜定梁(a)靜定梁；(b)超靜定梁為了求出超靜定結(jié)結(jié)構(gòu)的全部未知力力，除了靜力平衡衡方程外，還要尋尋找補充方程。補補充方程的數(shù)目應應等于超靜定次數(shù)數(shù)，也就是說等于于多余約束或多余余未知力的個數(shù)。。由于存在多余約約束，因此，桿件件的變形必然存在在一定的限制條件件，這種條件稱為為變形協(xié)調(diào)條件，，由此可以求得變形幾何相容方程程(geometricallycompatibilityequationofdeformation)。對于服從胡克定律律的材料，當應力力不超過比例極限限時，變形與力成成正比，于是可以以得到滿足胡克定定律的物理方程，，將物理方程代入入變形幾何相容方方程，即可得補充充方程。將補充方方程與靜力平衡方方程聯(lián)立求解，即即可求出全部未知知力。這就是綜合合運用變形的物理理、幾何、靜力學學三方面條件求解解超靜定問題的方方法，其關鍵在于于根據(jù)變形協(xié)調(diào)條條件來建立變形幾幾何相容方程。6.5超靜定梁梁的初步步概念與與求解在求解超超靜定結(jié)結(jié)構(gòu)時，，可以假假想把某某一處的的多余約約束解除除，并在在該處施施加與所所解除的的約束相相對應的的多余未未知力，，由此得得到一個個作用有有荷載和和多余未未知力的的靜定結(jié)結(jié)構(gòu)，稱稱之為““基本結(jié)結(jié)構(gòu)”。?；窘Y(jié)結(jié)構(gòu)在多多余未知知力作用用處的位位移應滿滿足原超超靜定結(jié)結(jié)構(gòu)的約約束條件件，即變變形協(xié)調(diào)調(diào)條件。。將物理理方程代代入變形形幾何相相容方程程，即可可求出多多余未知知力。求求出多余余未知力力后，構(gòu)構(gòu)件的內(nèi)內(nèi)力、應應力以及及變形均均可按照照基本結(jié)結(jié)構(gòu)進行行計算。?！纠?.6】試作圖圖6.9(a)所示超超靜定定梁的的彎矩矩圖。。分析：：此梁梁為一一次超超靜定定梁，，需要要建立立一個個補充充方程程。解解除多多余約約束后后用反反力來來代替替，這這時所所得到到的““基本本結(jié)構(gòu)構(gòu)”必必須是是一個個靜定定的幾幾何不不變體體系，，與原原結(jié)構(gòu)構(gòu)的變變形狀狀態(tài)與與受力力狀態(tài)態(tài)是完完全等等價的的。由由所解解除的的多余余約束束的變變形幾幾何相相容方方程和和物理理關系系求出出補充充方程程，即即可求求出多多余未未知力力的大大小。。6.5超靜定梁的的初步概念念與求解解：取支座座B為多余約束束，假想地地解除這個個約束，代代之假設未未知力FB，則得到如如圖6.9(b)所示靜定的的基本結(jié)構(gòu)構(gòu)。作用在在基本結(jié)構(gòu)構(gòu)的荷載有有兩種，一一種是原有有的均布荷荷載q，另一種是是未知力FB，將這兩種種荷載分別別單獨作用用于基本結(jié)結(jié)構(gòu)，即圖圖6.9(c)和圖6.9(d)。根據(jù)疊加加原理，則則B端豎向線位位移為6.5超靜定梁的的初步概念念與求解式中，和和分分別表表示原有荷荷載q和未知力FB各自單獨作作用于基本本結(jié)構(gòu)時在在B端引起的豎豎向線位移移。由于基本結(jié)結(jié)構(gòu)與原結(jié)結(jié)構(gòu)的變形形相同，根根據(jù)原結(jié)構(gòu)構(gòu)支座B的邊界條件件有(a)即6.5超靜定梁的初步概概念與求解(b)(c)式(c)即為建立的補充方方程。由附錄可得：將和和代代入式(c)，可得由于FB為正號，表明原來來假設的指向是正正確的。求出多余未知力FB以后，即可按基本本結(jié)構(gòu)圖6.9(b)，由靜力平衡方程程求出梁的其余支支座反力為6.5超靜定梁的初步概概念與求解如圖6.9(f)所示，最大彎矩出出現(xiàn)在剪力為零的的截面，而跨中彎彎矩為圖6.9超靜定梁的求解(c)原有均布荷載單獨獨

作用時的位移移(d)未知力單獨

作用用時的位移(e)FS圖(f)M圖(b)基本結(jié)構(gòu)(a)原結(jié)構(gòu)6.5超靜定梁的初步概概念與求解建立這一方程應用用了梁的線彈性和和微小變形的假設設，所以這一方程程只適用于線彈性性和小變形情況。。對這一方程進行行積分，并利用梁梁的邊界條件(當梁的彎矩方程分分段表示時還要利利用梁撓度與轉(zhuǎn)角角的連續(xù)條件)確定積分常數(shù)，就就可以得到梁的撓撓曲線方程和轉(zhuǎn)角角方程。在小變形和材料線線彈性的約定條件件下，在求解梁的的位移時可以利用用疊加原理。6.6小