二自由度系統(tǒng)振動1課件

第三章

二自由度系統(tǒng)振動振動與噪聲控制實(shí)驗(yàn)室(1)概論大量振動系統(tǒng)需要簡化成多自由度系統(tǒng)才能反映實(shí)際問題的物理本質(zhì)。舉例：汽車的單自由度、二自由度、四自由度、七自由度模型與單自由度系統(tǒng)比較，多自由度系統(tǒng)具有一些本質(zhì)上的新概念，需要新的分析方法。二自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)最簡單的特例。從二自由度系統(tǒng)到多自由度系統(tǒng)，主要是量的擴(kuò)充，在問題的表述、求解方法、振動性態(tài)上沒有本質(zhì)區(qū)別。數(shù)學(xué)工具：線性代數(shù)、矩陣?yán)碚撥囕v懸架車輛懸架結(jié)構(gòu)簡圖1、二自由度系統(tǒng)運(yùn)動微分方程的矩陣表示形式；2、系統(tǒng)動能、勢能和能量耗散函數(shù)的矩陣表示形式；3、運(yùn)動微分方程的耦合問題。

本節(jié)講三個問題：

二自由度系統(tǒng)簡圖

下面是一個典型的二自由度彈簧阻尼質(zhì)量系統(tǒng)簡圖

在多自由度系統(tǒng)振動理論中，廣泛使用矩陣記號(寫為矩陣形式)其中定義質(zhì)量矩陣阻尼矩陣剛度矩陣矩陣形式的改寫位移向量；速度向量；加速度向量；激勵向量；矩陣形式的運(yùn)動微分方程定義：運(yùn)動微分方程的矩陣形式和單自由度微分方程的關(guān)系單自由度系統(tǒng)如果將看作一維矩陣，看作一維向量，則單自由度和多自由度微分方程具有相同的形式。系統(tǒng)勢能的矩陣表達(dá)形式剛度矩陣的二次型系統(tǒng)能量耗散函數(shù)的矩陣表達(dá)形式阻尼矩陣的二次型通過對以上三個函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，可以分別求出三個矩陣的各個元素

多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣是對稱矩陣質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的確定（二階混合偏導(dǎo)數(shù)在什么條件下與求導(dǎo)次序無關(guān)？）由于能量為標(biāo)量，對于任意的,，

質(zhì)量矩陣一定是正定的；剛度矩陣和阻尼矩陣是半正定的質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的性質(zhì)三、運(yùn)動微分方程的耦合問題

由于的存在，使得兩個質(zhì)量的振動相互影響,使剛度矩陣和阻尼矩陣成為非對角矩陣，微分方程存在耦合耦合的分類如果質(zhì)量矩陣是非對角矩陣，稱方程存在慣性耦合如果剛度矩陣是非對角矩陣，稱方程存在彈性耦合如果阻尼矩陣是非對角矩陣，稱方程存在阻尼耦合

解耦如何消除方程的耦合是（手工）求解多自由度系統(tǒng)運(yùn)動微分方程的關(guān)鍵，從數(shù)學(xué)上講，就是使三個矩陣同時成為對角矩陣。

不同坐標(biāo)系下的運(yùn)動微分方程

下面通過實(shí)例說明：方程是否存在耦合以及存在什么類型的耦合取決于所取的描述系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，并不是系統(tǒng)本身的性質(zhì)。

汽車的二自由度振動模型汽車板簧以上部分被簡化為一剛性桿，質(zhì)心C，質(zhì)量m。繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量Ic

，k1,k2為前后板簧剛度，忽略了減振器阻尼和干摩擦等其他形式的阻尼，不計(jì)板簧以下部分的質(zhì)量和剛度。不同廣義坐標(biāo)下的運(yùn)動微分方程。⑴、，

勢能由于則系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的勢能運(yùn)動微分方程耦合情況當(dāng)時，存在彈性耦合若，則剛度矩陣成為對角矩陣，方程已經(jīng)解耦，變?yōu)閮蓚€彼此獨(dú)立的單自由度方程，和獨(dú)立微分方程取廣義坐標(biāo)為則yC和θ可以表示為：變換矩陣動能和勢能的表達(dá)式當(dāng)時，方程存在慣性耦合，當(dāng)，A點(diǎn)和B點(diǎn)振動相互獨(dú)立，對于汽車來說，就是前懸和后懸振動相互獨(dú)立。在汽車?yán)碚撝?，定義為質(zhì)量分配系數(shù)當(dāng)時，汽車前懸和后懸振動相互獨(dú)立，可以分別討論它們的振動。耦合情況結(jié)論結(jié)論：耦合的方式（彈性耦合還是慣性耦合）是依選取的坐標(biāo)而定的，而坐標(biāo)選取是研究者的主觀抉擇，并非系統(tǒng)的本質(zhì)特性。從這個意義上講，這里我們應(yīng)該說“坐標(biāo)的耦合方式”或“運(yùn)動方程的耦合方式”，而不應(yīng)該說“系統(tǒng)的耦合方式”。

廣義坐標(biāo)和的變換關(guān)系為由于勢能和廣義坐標(biāo)選取無關(guān)：從而：

不同廣義坐標(biāo)系下的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣的關(guān)系不同廣義坐標(biāo)系下的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣的關(guān)系結(jié)論：從上例我們看到，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣（當(dāng)然也包括阻尼矩陣）的具體形式與所選取的廣義坐標(biāo)有關(guān)，合適的廣義坐標(biāo)能夠解除方程的耦合，由于不同廣義坐標(biāo)之間存在著變換關(guān)系，所以，方程解耦的就歸結(jié)為尋找一個合適的變換矩陣，使變換后的系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣同時成為對角矩陣。

線性代數(shù)知識的復(fù)習(xí)特征值與特征向量矩陣的相似實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)特征值與特征向量設(shè)是n階矩陣，如果存在數(shù)和非零向量，使得則稱為A的特征值，X為A的對應(yīng)于的特征向量

矩陣的相似設(shè)A，B是兩個n階矩陣，如果存在n階矩陣P，使得：B=P-1AP，則稱，A相似于B，P稱為A到B的相似變換矩陣。相似矩陣具有相同的特征值實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量實(shí)對稱矩