初中統(tǒng)計(jì)概率的內(nèi)涵及教學(xué)中的問題

初中統(tǒng)計(jì)概率的內(nèi)涵及教學(xué)中的問題第一頁，共七十一頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容一、初中統(tǒng)計(jì)與概率所涉及的概念、基本思想、方法的內(nèi)涵分析二、統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用案例介紹三、初中統(tǒng)計(jì)與概率的認(rèn)識(shí)及教學(xué)中存在的誤區(qū)及分析四、課例及教學(xué)課件五、中美教材中習(xí)題對比分析第二頁，共七十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的區(qū)別

立論基礎(chǔ)不同

從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系這個(gè)角度考慮，數(shù)學(xué)是建立在概念和符號(hào)的基礎(chǔ)上的。統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，雖然概念和符號(hào)對于統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)也很重要，但是統(tǒng)計(jì)學(xué)在本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的。推理方法不同

數(shù)學(xué)的推理依賴的是公理和假設(shè)，是一個(gè)從一般到特殊的方法；而統(tǒng)計(jì)學(xué)的推斷依賴的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，強(qiáng)調(diào)根據(jù)背景尋找合適的推斷方法；統(tǒng)計(jì)學(xué)的推斷過程在本質(zhì)上是歸納法，這是一個(gè)從部分推斷全體的方法，是一個(gè)從特殊到一般的方法。判斷原則不同

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是確定性的，它對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是對與錯(cuò)；統(tǒng)計(jì)學(xué)對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是好與壞。第三頁，共七十一頁，2022年，8月28日[案例1]:“有福共享，有難同當(dāng)”嗎?某工廠有5個(gè)股東，100個(gè)工人.工人的工資總額與工廠的股東總利潤見下表:該工廠老板根據(jù)表中數(shù)據(jù)，作出了表1，并聲稱股東與工人“有福共享，有難同當(dāng)”，你如何看待他的說法?年度工人工資總額股東總利潤1990年10萬元5萬元1991年12.5萬元7.5萬元1992年15萬元10萬元第四頁，共七十一頁，2022年，8月28日第五頁，共七十一頁，2022年，8月28日[案例2]設(shè)計(jì)一個(gè)橋梁，這個(gè)橋應(yīng)該設(shè)計(jì)多寬？到達(dá)的車輛數(shù)服從泊松分布；車輛它占的位置是多寬，幾個(gè)車道；如果寬一點(diǎn)或者窄一點(diǎn)，這個(gè)流量大概需要多少時(shí)間（車子）可以通過；司機(jī)的心理和居民的心理能夠承受的那種等待時(shí)間就作為設(shè)計(jì)橋梁寬度的依據(jù)；路面寬了以后花錢就要花得多，太窄了等待時(shí)間太長了大家有意見。工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)第六頁，共七十一頁，2022年，8月28日[案例3]工業(yè)噪聲對聽力是有損傷的，強(qiáng)噪聲的情況下，工人在這種車間里面工作，大概30年很多人就會(huì)聾了。而這種聾是不可治愈的，就是說你再吃藥也沒有用。因此就提出一個(gè)問題來，應(yīng)該怎么定這個(gè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)，定多少？

100分貝？95分貝？90分貝？究竟多強(qiáng)是合理的？假設(shè)定100分貝，在一個(gè)毛紡廠里進(jìn)行100分貝條件之下，對工人聽力變化的進(jìn)行測試。招了一批新工人，還沒有進(jìn)車間就先進(jìn)行一次測試；他們在工廠里面進(jìn)織布車間或者什么車間里面去工作，工作10個(gè)月以后，我們又追蹤同樣的人，把同樣的人請來，再進(jìn)行測試。從而得到兩組數(shù)據(jù)。是否對工人造成了損傷，要檢驗(yàn)。

這是國際上公認(rèn)的一種辦法

勞動(dòng)保護(hù)第七頁，共七十一頁，2022年，8月28日[案例4]某調(diào)查公司發(fā)布了對不同年齡的市民主要的情緒分布年齡段：18歲到25歲，26歲到35歲，36歲到45歲，46歲到55歲，56歲到65歲，老年。情緒分為：發(fā)愁無聊、空虛緊張、平淡冷漠、平靜滿足、浪漫愉快、還有其他的情緒。我們關(guān)心兩個(gè)問題：1.情緒的分布跟年齡段有沒有關(guān)系;2.如果有關(guān)系，哪一項(xiàng)跟年齡特別顯著的關(guān)系.需要檢驗(yàn)-------相關(guān)分析

社情分析[案例5]北京市的人才需求，需要進(jìn)行認(rèn)真調(diào)查和分析的，不能簡簡單單地、隨便的一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字，這樣會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)的結(jié)論.1.人才的分布、需求的分布在163家公司的訪問里，有9個(gè)崗位需要中專、高中畢業(yè)、中專畢業(yè)；84個(gè)崗位需要大專畢業(yè)；（需要）本科的有60個(gè)崗位，（需要）碩士的有7個(gè)崗位，博士在訪問中只有一家（公司）要.2.工資水平怎么樣？3.代表性的工資是多少？

第八頁，共七十一頁，2022年，8月28日[案例6]電視收視率問題[案例7]賽場統(tǒng)計(jì)，球員身價(jià)[案例8]民意調(diào)查第九頁，共七十一頁，2022年，8月28日

英國遺傳學(xué)家、優(yōu)生學(xué)的創(chuàng)始人高爾頓得出結(jié)論是：子代的身高有向中心（各代人的平均身高）回歸的趨勢．高爾頓收集了205對夫婦與他們的928位成年子女的身高資料，其總平均身高為173.35厘米，超過這個(gè)數(shù)字的就是高個(gè)子，不到這個(gè)數(shù)字的就是矮個(gè)子。若以記父母二人的平均身高，記其子女的平均身高，則高爾頓建立了一個(gè)父母平均身高與子女平均身高之間的關(guān)系式：

若設(shè)父親的身高為176.0厘米，母親的身高為165.5厘米，則父母的平均身高為170.25厘米，比總平均低了3.1厘米；再由上述公式，其子女的平均身高為雖然仍屬矮個(gè)子之列，但與總平均的差距只有2.48厘米(只有其父代差距的80%)，顯示出向中心（173.35厘米）回歸的趨勢,較好地解釋了一代一代的身高的分布基本保持穩(wěn)定的原因。子代身高與父代的關(guān)系第十頁，共七十一頁，2022年，8月28日涉及的知識(shí)、方法和基本思想——初中階段

從最新的英國、美國、日本以及港、臺(tái)地區(qū)的教材看，統(tǒng)計(jì)與概率是初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，大多數(shù)教材在初中的各年級(jí)都有統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容，而且占有一定的比例。比較這幾種教材的統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容，基本內(nèi)容包括：收集數(shù)據(jù)的方法；抽樣調(diào)查；用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體的情況；利用條形圖、折線圖、扇形圖、直方圖、莖葉圖等描述數(shù)據(jù)；利用平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等分析數(shù)據(jù)；頻數(shù)與頻率；（累計(jì)）頻數(shù)分布與（累計(jì)）頻率分布；正態(tài)分布；數(shù)學(xué)期望；概率的意義；計(jì)算等可能事件發(fā)生的概率；通過大量試驗(yàn)，利用頻率估計(jì)概率等。對于這些內(nèi)容，各種教材在處理方式上不盡相同，各有特色。學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率這部分的基本出發(fā)點(diǎn)：用數(shù)據(jù)說話。充分體現(xiàn)如下兩個(gè)特點(diǎn)：（1）隨機(jī)特點(diǎn)（隨機(jī)現(xiàn)象的理解）；（2）用數(shù)據(jù)揭示規(guī)律。第十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日談概率除了概率的公理化定義以外，概率通常有三種定義的途徑：古典的，理論的－－古典概率公式（理論概率）頻率的，經(jīng)驗(yàn)的－－無限次或接近無限次試驗(yàn)得到的頻率（實(shí)驗(yàn)概率）

---------------客觀概率主觀的，直覺的－－新收集到的信息調(diào)整主觀的估計(jì)（主觀概率）第十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日一、理解隨機(jī)性與概率

【隨機(jī)性和規(guī)律性】【概率和機(jī)會(huì)】【有些概率是無法精確推斷的】【有些概率是可以估計(jì)的】【隨機(jī)事件】【概率和頻率】●在許多領(lǐng)域，很難用確定的公式或論述來描述一些現(xiàn)象，比如，人的壽命。一個(gè)吸煙、喝酒、不鍛煉的人可能比一個(gè)很少得病、生活習(xí)慣良好的人活得長?！窨梢哉f，活得長短是有一定隨機(jī)性的。這種隨機(jī)性可能和人的經(jīng)歷、基因、習(xí)慣等無數(shù)說不清的因素都有關(guān)系?！駨目傮w來說，我國公民的預(yù)期壽命卻是非常穩(wěn)定的。而且女性的預(yù)期壽命也穩(wěn)定地比男性高幾年。這就是規(guī)律性?！衲憧赡芑钸^這個(gè)預(yù)期壽命，也可能活不到這個(gè)年齡，這是隨機(jī)的?！竦强傮w來說，預(yù)期壽命的穩(wěn)定性，說明了隨機(jī)之中有規(guī)律性。這種就是統(tǒng)計(jì)規(guī)律?！癯Ｂ牭礁怕蔬@個(gè)名詞，如天氣預(yù)報(bào)中提到的降水概率。如果降水概率是百分之九十，那就很可能下雨；但如果是百分之十，就不大可能下雨?！褚虼耍瑥哪撤N意義說來，概率描述了某件事情發(fā)生的機(jī)會(huì)?！耧@然，這種概率不可能超過百分之百，也不可能少于百分之零。換言之，概率是在0和1之間的一個(gè)數(shù)，說明某事件發(fā)生的機(jī)會(huì)有多大。

●比如你對別人說你下一個(gè)周末去公園的概率是百分之八十。但你無法精確說出為什么是百分之八十而不百分之八十四或百分之七十八?！衿鋵?shí)你想說的是你很可能去，但又沒有完全肯定。、●實(shí)際上，到了周末，你或者去，或者不去；不可能有分身術(shù)把百分之八十的你放到公園，而其余的放在別處?！耠S機(jī)現(xiàn)象是指：在條件相同的情況下，做重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果卻不確定，以至于在試驗(yàn)之前無法預(yù)料是哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)。我們把這時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果稱為“隨機(jī)事件”。換句話說，隨機(jī)事件是和重復(fù)試驗(yàn)緊密相連的。并非所有不確定的結(jié)果都是隨機(jī)事件。關(guān)于隨機(jī)事件有二個(gè)誤區(qū)：1.把目前尚不知道結(jié)論是否正確的命題當(dāng)成了隨機(jī)事件例如，哥德巴赫猜想是否成立、火星上是否有生命等。顯然，這些命題或結(jié)果沒有任何隨機(jī)性，它是完全確定的。只是人們至今尚未知道其結(jié)論而已。特別地，在數(shù)學(xué)中，凡是未被證明或否定的猜想都是這種命題，它們沒有任何隨機(jī)性，更不是隨機(jī)事件.2.把和重復(fù)試驗(yàn)無關(guān)的不確定結(jié)果當(dāng)成了隨機(jī)事件有些事情：比如美國的總統(tǒng)選舉。雖然選舉前不能確定它的結(jié)果。但它不滿足可重復(fù)性。所以它不是數(shù)學(xué)中所指的隨機(jī)現(xiàn)象。因此不存在“概率”的問題。第十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日對概率概念的理解應(yīng)該從整體上把握,重要的是掌握以下幾點(diǎn):我們所討論的現(xiàn)象是可以做“重復(fù)試驗(yàn)”的.并非所有不確定現(xiàn)象都是概率論研究的對象.頻率和概率的關(guān)系.頻率是隨機(jī)的,是這n次試驗(yàn)中的頻率.換另外n次試驗(yàn)一般說頻率將不同.而概率是一個(gè)客觀存在的常數(shù).概率反映的是“多次試驗(yàn)”中頻率的穩(wěn)定性。出現(xiàn)頻率偏離概率較大的情形是可能的.這是隨機(jī)現(xiàn)象的特性.第十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律學(xué)科。它起源于對賭博問題的研究。概率概念只是在17世紀(jì)中葉法國數(shù)學(xué)家帕斯卡與費(fèi)馬的討論中才比較明確。他們在往來的信函中討論"合理分配賭注問題"。該問題可以簡化為：甲、乙兩人同擲一枚硬幣。每人拿6元，共12元。規(guī)定：正面朝上，甲得1點(diǎn)；若反面朝上，乙得1點(diǎn)，先積滿3點(diǎn)者贏取全部賭注12元。假定在甲得2點(diǎn)、乙得1點(diǎn)時(shí)，賭局由于某種原因中止了，問應(yīng)該怎樣分配賭注才算公平合理。

第十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日概率論的第一本專著是1713年問世的瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利（1654-1705）的《推測術(shù)》（《猜度術(shù)》）。經(jīng)過二十多年的艱難研究，貝努利在該書中，表述并證明了著名的“大數(shù)定律”。這一定律第一次在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)度量之間建立了演繹關(guān)系，構(gòu)成了從概率論通向更廣泛應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁。因此，貝努利被稱為概率論的奠基人。為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是俄國數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。1933年，他發(fā)表了著名的《概率論的基本概念》，用公理化結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)明確定義了概率論發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

第十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日在概率論中，我們所討論的都是隨機(jī)現(xiàn)象，其結(jié)果在個(gè)別試驗(yàn)中應(yīng)呈現(xiàn)出不確定性，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。如果一個(gè)在理論上發(fā)生概率非常小的事件在單個(gè)試驗(yàn)中就出現(xiàn)了，我們完全有理由懷疑這樣的結(jié)果是否具有隨機(jī)性。在實(shí)際問題中我們認(rèn)為概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，這就是所謂實(shí)際推斷原理。實(shí)際推斷原理第十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日[案例1]某一天，你開車進(jìn)了一個(gè)過去從未去過的機(jī)關(guān)停車場，發(fā)現(xiàn)里面共有18個(gè)車位，其中有8個(gè)位置停了車，而有一連10個(gè)位置是空著的。這時(shí)，你可以隨便找個(gè)地方把車停下嗎？我們先假定車輛的停放是隨意的，則一連10個(gè)位置空著共有9種可能的情況（從1～10號(hào)車位空著到9～18號(hào)車位空著），故這種放法出現(xiàn)的概率為如此小概率的事件竟然發(fā)生了，可以肯定關(guān)于停車位置是有具體規(guī)定的。實(shí)際推斷原理第十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日[案例2]某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？

假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都在周二、周四的概率為

可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的。實(shí)際推斷原理第十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日［案例3］警方懷疑甲向乙出售毒品，理由是疑犯乙某日曾從銀行賬戶中取出12618元，而第二天疑犯甲的賬戶上就多出了12618元。

由于這是間接證據(jù)，控方律師便適時(shí)地使用了實(shí)際推斷法。根據(jù)警方的調(diào)查，疑犯乙取款之前賬戶上共有24515元，因此他可以從賬戶中取走1~24515元，且每種情況都是等可能的。而他實(shí)際取款的數(shù)目卻是疑犯甲進(jìn)賬的數(shù)目，如果這是一種巧合的話，它發(fā)生的概率只有雖然控方律師立論的基礎(chǔ)還有待討論，例如他的等可能假設(shè)，但它已足以使陪審團(tuán)相信，這不是一種巧合。實(shí)際推斷原理第二十頁，共七十一頁，2022年，8月28日什么是兩個(gè)事件相互獨(dú)立？通俗地說：這兩個(gè)事件發(fā)生與否不產(chǎn)生影響[案例1]：一位醫(yī)生在檢查完病人后搖了搖頭，“你病得很重”，醫(yī)生對病人說，“在10個(gè)得這種病的人中只有1個(gè)能救活?！闭?dāng)病人被這個(gè)消息嚇得半死的時(shí)候，醫(yī)生繼續(xù)說：“但你是幸運(yùn)的,因?yàn)槟阏业搅宋?。我已看過9個(gè)這樣的病人，而他們都死了。[案例2]：還有人試圖用自己的行動(dòng)去干預(yù)外面的世界[案例3]：生男生女之謎張先生和其太太一直想要個(gè)兒子，可是卻一連生了5個(gè)女兒。這次張?zhí)謶言辛?，那么這個(gè)孩子是男孩的概率是多少呢？張?zhí)f：“我們已經(jīng)有了5個(gè)女兒，這回總該是個(gè)兒子吧！”張先生說：“你說得一點(diǎn)不錯(cuò)，我已經(jīng)請教了專家，生女兒的概率大約是0.485，而一連生6個(gè)女兒的概率只有(0.485)6≈0.013=1.3%所以我們下一個(gè)肯定是兒子?！笨墒?他們的第6個(gè)孩子依然是個(gè)女孩.于是張先生得出一個(gè)結(jié)論:”這些搞概率的都是賣狗皮膏藥的.”事件的獨(dú)立性第二十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日對概率的常見錯(cuò)誤認(rèn)知誤以為概率是運(yùn)氣、如何操作等有關(guān)，不可度量；誤以為概率是用來預(yù)測結(jié)果是否發(fā)生的；誤以為每個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率都一樣；誤以為重復(fù)試驗(yàn)是需要，但是不要做大數(shù)次；分解多步試驗(yàn)再用“簡單合成”來判斷。第二十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日題目

[案例]學(xué)校里有200個(gè)女同學(xué)，1000個(gè)男同學(xué)，學(xué)校里每個(gè)同學(xué)的名字都各自寫在一張小紙條上，放入一個(gè)盒中攪勻。如果校長閉上眼睛隨便從盒中取出1張紙條，那么下面哪個(gè)說法是正確的？a)抽到男同學(xué)的可能性比抽到女同學(xué)的可能性大；b)抽到男同學(xué)的可能性比抽到女同學(xué)的可能性??；c)抽到男同學(xué)的可能性與抽到女同學(xué)的可能性一樣大；d)無法比較這兩種可能性的大小。第二十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日[案例]一個(gè)高三學(xué)生對我說…

…可能性和概率不能劃等號(hào)，可能性說的是日常生活中的問題，概率是數(shù)學(xué)，看問題時(shí)可以結(jié)合概率考慮。我們數(shù)學(xué)老師說拋擲一個(gè)硬幣那么得到正面的概率是1/2，但是，如果拋1000次，按概率應(yīng)該500對500，但我敢保證她擲出的結(jié)果肯定不會(huì)是500對500，所以，我認(rèn)為無法判斷取出男同學(xué)名字的可能性大還是取出女同學(xué)名字的可能性大。隨機(jī)與規(guī)律第二十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日[案例]機(jī)會(huì)不可比較的例子因?yàn)檫@張紙條可以是男同學(xué)的名字也可以是女同學(xué)的名字。當(dāng)抽出一個(gè)女同學(xué)的名字的時(shí)候，說明抽出一個(gè)女同學(xué)的可能性大。當(dāng)抽出一個(gè)男同學(xué)的名字的時(shí)候，又說明抽出一個(gè)男同學(xué)的可能性大，所以我認(rèn)為無法比較這兩種可能性的大小。第二十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日[案例]機(jī)會(huì)均等的例子可能性一樣大。盒子里有770張紙條，365張女同學(xué)的名字，405張男同學(xué)的名字。女同學(xué)的概率是47%，男同學(xué)的是53%.也就是說，如果抽100次,那么47次會(huì)是女同學(xué)的名字，53次會(huì)是男同學(xué)的名字。兩者的區(qū)別不大，如果你只抽一次的話，那么男同學(xué)和女同學(xué)機(jī)會(huì)應(yīng)該是一樣的。

第二十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日一道給7年級(jí)（下）學(xué)生的考題在一個(gè)黑色不透明的口袋中放了一個(gè)紅球，一個(gè)黑球，八個(gè)黃球，如果一次從口袋中拿出三個(gè)球，①請寫出拿球過程中的必然事件、可能事件、不可能事件各一件；②如果一次取出三個(gè)球，有一個(gè)紅球的機(jī)會(huì)有多大（不能只寫出結(jié)果，要說明理由）

第二十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日教學(xué)中誤區(qū)？通過實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證等可能性教學(xué)可能性師:下面我們來做一個(gè)拋硬幣的實(shí)驗(yàn)，誰先來猜一下，硬幣落下來后，正面朝上和反面朝上的可能性怎樣?生:正面朝上和反面朝上的可能性相等師:你們都同意嗎?生(齊):同意師:下面我們一起做實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證一下(師生一起做實(shí)驗(yàn)，可不巧的是拋的累計(jì)次數(shù)越多，差距也隨著不斷加大，學(xué)生議論紛紛，有的說拋的同學(xué)動(dòng)作有問題，有的建議重新實(shí)驗(yàn)，師不得已叫停了實(shí)驗(yàn))師解釋:如果我們做實(shí)驗(yàn)的次數(shù)很多很多，你會(huì)發(fā)現(xiàn)正面朝上和反面朝上的次數(shù)會(huì)很接近，下面我們來看歷史上幾位數(shù)學(xué)家的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。(課件出示表格)概率教學(xué)中的幾個(gè)誤區(qū)第二十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日剖析：拋硬幣確實(shí)是一個(gè)有助于學(xué)生感受隨機(jī)性簡便易行的實(shí)驗(yàn)，但在實(shí)際教學(xué)中，如果將它處理為證等可能性的手段，就容易讓教師處于尷尬的境地，等可能性是“思想”上的概率，即理論概率(古典概率，它一般不是通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的，往往是根據(jù)人們長期形成的“對稱性經(jīng)驗(yàn)”確認(rèn)的。有些教師多次拋硬幣嘗試之后感慨:能否驗(yàn)證1/2，要憑運(yùn)氣，其實(shí)，這恰體現(xiàn)了隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性和可能性的魅力。概率教學(xué)中的幾個(gè)誤區(qū)第二十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日對概率概念的理解：在數(shù)學(xué)上概率是用公理化的形式定義的.各種教科書中出現(xiàn)的‘概率統(tǒng)計(jì)定義’,‘古典概率定義’,‘幾何概率定義’都是一些描述性的說法,教師不應(yīng)該過分地去揣摩,探究那里的用語,而應(yīng)理解其實(shí)質(zhì).

概率的統(tǒng)計(jì)定義通?？梢赃@樣敘述:在相同的條件下做大量的重復(fù)試驗(yàn),一個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)k和總的試驗(yàn)次數(shù)n之比,稱為這個(gè)事件在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí),頻率將‘穩(wěn)定’在一個(gè)常數(shù)附近,n越大,頻率偏離這個(gè)常數(shù)大的可能性越小.這個(gè)常數(shù)稱為該事件的概率.第三十頁，共七十一頁，2022年，8月28日

對概率概念的理解應(yīng)該從整體上把握,重要的是掌握以下幾點(diǎn):我們所討論的現(xiàn)象是可以做‘重復(fù)試驗(yàn)’的.并非所有不確定現(xiàn)象都是概率論研究的對象.頻率和概率的關(guān)系.頻率是隨機(jī)的,是這n次試驗(yàn)中的頻率.換另外n次試驗(yàn)一般說頻率將不同.而概率是一個(gè)客觀存在的常數(shù).概率反映的是‘多次試驗(yàn)’中頻率的穩(wěn)定性。出現(xiàn)頻率偏離概率較大的情形是可能的.這是隨機(jī)現(xiàn)象的特性.第三十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日（擲硬幣問題）把一個(gè)均勻硬幣擲100次出現(xiàn)50次正面的概率有多大？解:答案是，出現(xiàn)50次正面的概率為我們知道，擲一個(gè)均勻硬幣，‘出現(xiàn)正面’的概率是0.5。有人以為，擲100次應(yīng)該出現(xiàn)50次正面。為什么這件事發(fā)生的概率只有0.08，和想象相差甚遠(yuǎn)。好像均勻硬幣不應(yīng)該有這樣的結(jié)果。你學(xué)過了概率的統(tǒng)計(jì)定義，該如何解釋這一結(jié)果呢？

第三十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日

事實(shí)上，一個(gè)事件的概率0.5是指，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，該事件出現(xiàn)的頻率‘穩(wěn)定’在0.5（即在0.5附近，偏離0.5很大的可能性極?。?，并非每兩次試驗(yàn)中出現(xiàn)一次。那么，擲100次均勻硬幣出現(xiàn)50次正面的概率，也應(yīng)該理解為，做大量重復(fù)試驗(yàn)，即多次地?cái)S100次硬幣，‘出現(xiàn)50次正面’的頻率應(yīng)‘穩(wěn)定’在0.08。下面是一個(gè)模擬試驗(yàn)結(jié)果（選自W.費(fèi)勒的‘概率論及其應(yīng)用’）。做了100次試驗(yàn)（在這里，我們把‘?dāng)S100個(gè)均勻硬幣’看成是一次試驗(yàn)），每次出現(xiàn)正面?zhèn)€數(shù)如下：第三十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日54465355465441485153484640534949485453454352585151505250534958605455504847575255485151494452504653414950455252484747475143474151495950555350535246524451485146544347465247485957454847415148595152553941第三十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日

我們看到，擲100個(gè)均勻硬幣不一定出現(xiàn)50個(gè)正面。可以出現(xiàn)54個(gè)正面，也可以出現(xiàn)46個(gè)正面，等等。在上述100次試驗(yàn)中，出現(xiàn)50個(gè)正面的有7次。即擲100次均勻硬幣出現(xiàn)50次正面的頻率是0.07，和理論上的值0.08相差不大。第三十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日教學(xué)設(shè)計(jì)第三十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日談統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)-----------------《不列顛百科全書》

具體地說：統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究“收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、由數(shù)據(jù)得出結(jié)論”的原理和方法第三十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)存在于國民經(jīng)濟(jì)及日常生活的各個(gè)方面，不懂統(tǒng)計(jì)很可能會(huì)不知不覺地受到損失科學(xué)地認(rèn)識(shí)客觀事物的一種工具發(fā)現(xiàn)

賽場統(tǒng)計(jì)，電腦鍵盤上的字母為何不按順序排列判斷

許多不確定現(xiàn)象無法用形式邏輯推理解決說理方式不同如，變量之間是否有關(guān)系？關(guān)系有多強(qiáng)？是因果關(guān)系嗎？決策

預(yù)測買哪一種彩票，下聯(lián)號(hào)的注還是凌亂的注交流

結(jié)論來自于數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)方法，可靠恰當(dāng)嗎？統(tǒng)計(jì)學(xué)是一個(gè)很可能不知不覺地出錯(cuò)的領(lǐng)域。對不確定現(xiàn)象的良好直覺需要在修正中培養(yǎng)普及統(tǒng)計(jì)，培養(yǎng)有統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的公眾第三十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日賣報(bào)利潤問題：某人以賣報(bào)為生，每天早上從發(fā)行商處購進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒有賣掉的報(bào)紙退回。如果每份報(bào)紙的購進(jìn)價(jià)為0.8元，零售價(jià)為1元，退回價(jià)為0.75元，那么為了獲得最大的利潤，他每天應(yīng)購進(jìn)多少份報(bào)紙？第三十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日生成統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的元素和影響統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)表現(xiàn)的因素

（示意圖）統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)基本知識(shí)基本技能基本思想方法基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)情感、態(tài)度讀寫能力數(shù)學(xué)知識(shí)背景知識(shí)問題解決能力統(tǒng)計(jì)分析意識(shí)質(zhì)疑意識(shí)第四十頁，共七十一頁，2022年，8月28日培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念（標(biāo)準(zhǔn)2011年版）了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的中心。第四十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）“統(tǒng)計(jì)與概率”的主要內(nèi)容有：收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡單抽樣、整理調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計(jì)圖表等；處理數(shù)據(jù)，包括計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等；從數(shù)據(jù)中提取信息并進(jìn)行簡單的推斷；簡單隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率。第四十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日概率統(tǒng)計(jì)在人教社新課程教材中所占課時(shí)數(shù)與百分比小學(xué)初中高中必修選修1選修2課時(shí)數(shù)3839241422總課時(shí)數(shù)72135618072108課時(shí)百分比5％11％13％19％20％第四十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日培養(yǎng)概率統(tǒng)計(jì)基本素養(yǎng)

抓五條知識(shí)技能主線提出問題收集數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)解釋與推斷把握概率記錄與表示數(shù)據(jù)貫穿所有學(xué)段，但要求逐步提高就事論事相近事物一般化質(zhì)疑體驗(yàn)不確定現(xiàn)象定性地描述可能性大小可能性可以量化實(shí)驗(yàn)概率理論概率第四十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日發(fā)現(xiàn)和提出問題——陽光與植物生長水平A:一棵植物放在窗邊是否比放在遠(yuǎn)離窗邊的地方長得更高？水平B:放在窗邊的5棵植物是否比放在遠(yuǎn)離窗口的5棵植物長得更高？水平C:陽光多少對植物的生長有怎樣的影響?第四十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度

著名的美國《科學(xué)》雜志認(rèn)為“統(tǒng)計(jì)”是影響人們未來生活最大的二十項(xiàng)科學(xué)成就之一。統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)習(xí)，決不應(yīng)該簡單地處理為知識(shí)的灌輸，而著重在于培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維模式、素養(yǎng)。隨機(jī)思想是概率的重要概念，是認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象和統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要思想。第四十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度數(shù)據(jù)的代表平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的特征：1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是表示一組數(shù)據(jù)“平均水平”的平均數(shù)。2.平均數(shù)能充分利用數(shù)據(jù)提供的信息，在生活中較為常用，但它容易受極端數(shù)據(jù)的影響，且計(jì)算較繁。3.中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，受極端數(shù)據(jù)影響小，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息。4.眾數(shù)的可靠性較差，它不受極端數(shù)據(jù)的影響，求法簡單，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，適宜選擇眾數(shù)來表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢”

第四十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日2004河南省中考題在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺(tái)階，如下圖所示是其中的甲、乙臺(tái)階路的示意圖。請你用所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)(平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等)回答下列問題：(1)兩段臺(tái)階路有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?(2)哪段臺(tái)階路走起來更舒服?為什么?(3)為方便游客行走，需要重新整修上山的小路，對于這兩段臺(tái)階路臺(tái)階數(shù)不變的情況下，請你提出合理的整修建議。第四十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日三個(gè)問題哪個(gè)更像統(tǒng)計(jì)問題？（1）求20，21，21，22，22，22，22，23，23.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）9位學(xué)生的鞋號(hào)由小到大是：20，21，21，22，22，22，22，23，23.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個(gè)指標(biāo)是鞋廠最不感興趣的？哪個(gè)指標(biāo)是鞋廠最感興趣的？（3）某鞋廠在你們?nèi)昙?jí)中隨機(jī)抽取2個(gè)班級(jí)，調(diào)查并記錄每個(gè)學(xué)生的鞋號(hào)，你認(rèn)為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個(gè)指標(biāo)是鞋廠最不感興趣的？哪個(gè)指標(biāo)是鞋廠最感興趣的？鞋廠據(jù)此調(diào)查數(shù)據(jù)組織生產(chǎn)一定與現(xiàn)在你們?nèi)昙?jí)學(xué)生所需各種尺碼鞋子的數(shù)量一致嗎？第四十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度【學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)的問題】教學(xué)疑點(diǎn)1：學(xué)生容易把一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)的次數(shù)當(dāng)作眾數(shù)。（1）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，是一組數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，而不是相應(yīng)的次數(shù)。在這一點(diǎn)上，學(xué)生很容易混淆。（2）一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)有時(shí)不止一個(gè)，如數(shù)據(jù)2、3、-1、2、1、3中，2和3都出現(xiàn)了2次，它們都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。第五十頁，共七十一頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度弄錯(cuò)考查對象例1一個(gè)射手連續(xù)射靶20次，其射靶成績?nèi)缦拢呵笃渖鋼舫煽兊闹形粩?shù)。錯(cuò)解：將2，7，8，3按由小到大的順序排列是2，3，7，8，故中位數(shù)是（3+7）/2=5。

第五十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度錯(cuò)解剖析：弄錯(cuò)了考查對象，這里要考查的是射手的射靶成績。正解：將射手的射靶成績按由小到大排列：7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)是8、8，故中位數(shù)是8環(huán)。

第五十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日混淆數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)的權(quán)例2某班在一次數(shù)學(xué)測試后成績統(tǒng)計(jì)如下表，求這次數(shù)學(xué)測試中學(xué)生得分的眾數(shù)。

錯(cuò)解：因?yàn)?0分出現(xiàn)了12次，70分出現(xiàn)了12次，所以這次數(shù)學(xué)測試中學(xué)生得分的眾數(shù)是12。錯(cuò)解剖析：對眾數(shù)的概念理解不清是造成錯(cuò)誤的主要原因，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是出現(xiàn)的次數(shù)，眾數(shù)可以不止一個(gè)。正解：因?yàn)?0分出現(xiàn)了12次，70分也出現(xiàn)了12次，都是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，所以這次數(shù)學(xué)測試中學(xué)生得分的眾數(shù)是90分和70分。

數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度第五十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時(shí)，就是算術(shù)平均數(shù)?！炯訖?quán)平均數(shù)的概念】

加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)就是把原始數(shù)據(jù)按照合理的比例來計(jì)算，下面舉一個(gè)簡單的例子。你的小測驗(yàn)成績是80分，期末考成績是90分，老師要計(jì)算總的平均成績，就按照小測驗(yàn)40%、期末成績60%的比例來算，所以你的平均成績是：

80＊40%+90＊60%=86第五十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度誤入極差、方差迷途

刻畫隨機(jī)變量取值平均狀態(tài)的一個(gè)重要指標(biāo)——數(shù)學(xué)期望。我們將介紹刻畫隨機(jī)變量的另外一個(gè)重要的指標(biāo)——方差。為了說明引入這一指標(biāo)的意義，我們看一個(gè)夸張例子。例3：有甲、乙兩組人干活。每組都有兩人，其中甲組兩個(gè)人的年齡分別為35歲和37歲，乙組兩個(gè)人的年齡分別為70歲和2歲。從平均年齡來看，兩組沒有區(qū)別，都是36歲，但兩組人干活的效率顯然是不可同日而語的。這其中的一個(gè)主要原因是兩組人的年齡的波動(dòng)情況（或者說各組中每人的年齡與平均年齡的偏離程度）相差比較懸殊造成的。例4：已知一組數(shù)據(jù)0，x，1，2的極差是3，求得x=3。

當(dāng)x為最小值時(shí)，有2-x=3，解得x=-1。故求得x=3或x=-1。錯(cuò)解反思：錯(cuò)在受思維定式的影響，考慮問題不周密。事實(shí)上，這組數(shù)據(jù)中的x有兩種取值情況，既有可能是這組數(shù)據(jù)中的最大值也有可能是最小值第五十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度[課例]中位數(shù)與眾數(shù)一.教學(xué)目標(biāo)1.掌握中位數(shù)、眾數(shù)等數(shù)據(jù)代表的概念，能根據(jù)所給信息求出相應(yīng)代表。2.能結(jié)合具體情境體會(huì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者的差別，能初步選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)做出自己的評判。二.設(shè)計(jì)意圖 單純從計(jì)算角度看，中位數(shù)和眾數(shù)非常簡單.只要知道數(shù)的大小，會(huì)數(shù)數(shù)，就能夠計(jì)算它們，但作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，它就不那么簡單了.因此教學(xué)的重點(diǎn)不能夠放在怎樣找（計(jì)算）中位數(shù)與眾數(shù)上，而應(yīng)放在對概念含義的理解上.三.教學(xué)過程1.教師呈現(xiàn)問題情境：第五十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度某公司員工的月工資如下

員工

經(jīng)理

副經(jīng)理

職員A

職員B

職員C職員D

職員E

職員F

雜工

月工資/元

6000

4000

1700

1300

1200

1100

1100

1100

500

你怎樣看待該公司員工的收入情況?2.學(xué)生討論3.教師提供信息:經(jīng)理、職員C、職員D從不同角度描述了該公司員工的收入情況。

經(jīng)理說：我公司員工收入很高，月平均工資2000元.

月平均工資2000元，指所有員工工資的平均數(shù)是2000元，說明公司每月將支付工資總計(jì)2000×9元 職員C:我的工資是1200元，在公司算是中等收入.C的工資是1200元，恰好居于所有員工工資的正中間(恰有4人的工資比他高，有4人的工資比他低)，我們稱它為中位數(shù).第五十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度職員D:我們好幾個(gè)人的工資為1100元。9個(gè)員工中有3個(gè)人的工資為1100元，出現(xiàn)的次數(shù)最多，我們稱它為眾數(shù)4.學(xué)生思考你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)據(jù)表示該公司員工收入的“平均水平”更合適？為什么該公司員工收入的平均數(shù)比中位數(shù)高得多？5.呈現(xiàn)概念一般地，數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).如一組數(shù)據(jù)1.5，1.5，1.6，1.65，1.7，1.7，1.75，1.8的中位數(shù)是1/2(1.65+1.7)，即1.675;這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.5和1.7第五十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的集中趨勢與離中程度6.學(xué)生討論平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自特征是什么?如果要選用它們代表一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，你認(rèn)為它們各自在什么場合下使用比較合理?設(shè)計(jì)思路分析:顯然，學(xué)習(xí)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)概念，主要目的不是會(huì)計(jì)算它們的值，那樣做是把統(tǒng)計(jì)當(dāng)作算術(shù)(代數(shù))來教了.重要的是讓學(xué)生理解為什么需要它們;它們各自的含義是什么;在什么樣的場合下能夠有效地使用它們等，而這一切只能在情境中學(xué)，只能讓學(xué)生在對現(xiàn)實(shí)問題情境分析的過程中逐漸理解這些概念的意義.第五十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的幾個(gè)誤區(qū)誤區(qū)一：以“平均數(shù)”為標(biāo)準(zhǔn)確定“中等偏上”片斷一：教學(xué)平均數(shù)師:誰能舉一個(gè)平均數(shù)的例子?生:這次單元測驗(yàn)我們班的數(shù)學(xué)平均分是84分師:想一想，你自己考了多少分?你的成績處于什么水平?生:我考了86分，我的成績在班上處于中等偏上師:你的成績在班上處于中等偏上，還要繼續(xù)努力哦！……………第六十頁，共七十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的幾個(gè)誤區(qū)剖析：高于平均數(shù)的一定表示中上水平嗎?我們舉個(gè)例子來看看，10個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績?yōu)?2個(gè)0分，1個(gè)84分，6個(gè)88分，還有一位王同學(xué)的分?jǐn)?shù)是82分，這10個(gè)同學(xué)的平均成績是69.4分，王同學(xué)高出平均分12.6分，但王同學(xué)在10人中卻處于倒數(shù)第3名，可見平均數(shù)不一定能代表中等水平，而中位數(shù)的特征是比它大的數(shù)據(jù)和比它小的數(shù)據(jù)一樣多，所以要問某個(gè)數(shù)據(jù)處于什么水平，要以中位數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，如上述片斷，在班級(jí)數(shù)學(xué)成績中位數(shù)以上的分?jǐn)?shù)，才能說是“中等偏上”，顯然，在這里，教師把比較的標(biāo)準(zhǔn)搞錯(cuò)了。第六十一頁，