2函數(shù)的奇偶性教學(xué)設(shè)計

教學(xué)設(shè)計：3.2.2函數(shù)的奇偶性一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析.內(nèi)容函數(shù)的奇偶性..內(nèi)容解析函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，從“形”的角度，函數(shù)的奇偶性揭示了函數(shù)的整體圖象與函數(shù)在y軸右側(cè)的局部圖象之間的關(guān)系；從“數(shù)”的角度，函數(shù)的奇偶性刻畫了函數(shù)自變量與函數(shù)值之間存在的一種特殊的數(shù)量規(guī)律.用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.從研究方法上看，它延續(xù)了函數(shù)單調(diào)性的研究思想和方法：用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)的圖象性質(zhì)，這也為后續(xù)進(jìn)一步研究具體函數(shù)的性質(zhì)提供研究的方法與角度.從知識結(jié)構(gòu)看，它既是函數(shù)概念的拓展和深化，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的基礎(chǔ).因此，本節(jié)課起著承上啟下的重要作用.這一節(jié)利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中.從方法論的角度來看，本節(jié)教學(xué)過程中還滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想方法.奇偶性的教學(xué)無論是在知識還是在能力方面對學(xué)生的教育起著非常重要的作用，因此本節(jié)課充滿著數(shù)學(xué)方法論的滲透教育，同時又是數(shù)學(xué)美的集中體現(xiàn).奇偶性是函數(shù)的“整體性質(zhì)”，是某些函數(shù)的特殊性質(zhì).奇偶性是把函數(shù)圖象的對稱性（幾何特性）轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，并用嚴(yán)格的符號語言表示，溝通了形與數(shù)，實現(xiàn)了從定性到定量的轉(zhuǎn)化.基于以上分析，本單元的教學(xué)重點：函數(shù)奇偶性概念的形成和函數(shù)奇偶性的判斷.二、教學(xué)目標(biāo)（1）借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)奇偶性的概念及幾何意義;（2）會運用概念判斷函數(shù)的奇偶性;（3）在抽象函數(shù)奇偶性的過程中感悟數(shù)學(xué)概念的抽象過程及符號表示的作用.三、教學(xué)過程設(shè)計3.2.2函數(shù)的奇偶性（一）情景導(dǎo)入我們知道函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)性質(zhì)是“變化中的規(guī)律性，變化中的不變性”.上一節(jié)課，我們共同學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?，用符號語言準(zhǔn)確地描述了函數(shù)圖象在定義域的某個區(qū)間上“上升”（或“下降”）的性質(zhì)，本節(jié)課，我們繼續(xù)研究函數(shù)的其他性質(zhì).（二）概念的形成問題1：平面直角坐標(biāo)系中的任意一點P（a,b）關(guān)于X軸、y軸、坐標(biāo)原點的對稱點Q、R、S的坐標(biāo).追問：一般地，若兩點關(guān)于x軸對稱，它們的坐標(biāo)之間有何關(guān)系?若關(guān)于y軸對稱呢？關(guān)于原點中心對稱呢?設(shè)計意圖：從學(xué)生已學(xué)知識復(fù)習(xí)導(dǎo)入，通過具體的點引導(dǎo)學(xué)生感受對稱與坐標(biāo)的關(guān)系，為后續(xù)奇偶性定義中的任意性做一些鋪墊.問題2：畫出并觀察函數(shù)f(])=x2和式x)=2.X的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？師生活動：先由學(xué)生獨立思考，教師利用PPT展示函數(shù)圖象.學(xué)生觀察后，不難發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱.那么，如何使用符號語言精準(zhǔn)地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”這一特征？所以，教師繼續(xù)追問.追問：對于上述兩個函數(shù)，f⑴與f(-1)，f⑵與f(-2)，f(3)與f(-3)，f(x)與f(-x)有什么關(guān)系？師生活動：先由學(xué)生獨立思考，教師積極地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等.追問：對于定義域內(nèi)任意的一個x，都有f(-x)=f(x)成立嗎？如何驗證我們的猜想呢？師生活動：以f(x)=x2為例，其定義域為R.對于定義域R內(nèi)任意的一個x，都有-xeR，f(x)與f(-x)均有意義?因為f(-x)=(-x)2二x2，所以f(-x)=f(x)是成立的?同樣的，驗證函數(shù)晨x)=2-|x|，結(jié)論依然成立.設(shè)計意圖：通過觀察函數(shù)的圖象，思考問題，提高學(xué)生分析問題、總結(jié)問題的能力.從多個具體的實例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性，教師給出嚴(yán)格的定義表述.定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(X)的定義域為I,如果V%EI，都有TeI，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)?問題3：從偶函數(shù)的定義出發(fā)，如何證明函數(shù)丁=f(%)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱.師生活動：先由學(xué)生獨立思考完成，再組織全班交流.教師積極地引導(dǎo)學(xué)生嘗試探索，在充分交流的基礎(chǔ)上，教師給出嚴(yán)格的定義表述.充分性：設(shè)p(%，y)是函數(shù)f(%)圖象上任意一點，則y=f(%).因為函數(shù)f(X)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以點P關(guān)于y軸的對稱點2(_%，y)也在函數(shù)f(%)圖象上，即y=f(-%).所以對任意的%，都有f(_%)=f(%)，所以函數(shù)y二f(%)是偶函數(shù).必要性：設(shè)P(%，y)是函數(shù)f(%)圖象上任意一點，則y=f(%).記點P關(guān)于y軸的對稱點為Q，則Q(_%，y).因為函數(shù)f(%)是偶函數(shù)，所以f(-%)=f(%)，即y=f(-%)，所以點Q在函數(shù)f(%)圖象上，所以函數(shù)y二f(%)的圖象關(guān)于y軸對稱.問題4：畫出并觀察函數(shù)f(%)=%和g(%)=1的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這%兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？師生活動：教師利用PPT展示函數(shù)圖象，學(xué)生觀察圖象后回答問題.不難發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于原點成中心對稱圖形.那么，如何使用符號語言精準(zhǔn)地描述“函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱”這一特征？所以，教師繼續(xù)追問.追問：對于上述兩個函數(shù)，")與｛1)—(2)與f(-2)，f(3)與f(-3)，f(x)與f(-x)有什么關(guān)系？師生活動：先由學(xué)生獨立思考完成，再組織全班交流.教師積極地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)與f(-x)也是一對相反數(shù).追問：對于定義域內(nèi)任意的一個x，都有f(-x=-f(x)成立嗎？如何驗證我們的猜想呢？師生活動：以f(x)=x為例，定義域為R.對于定義域R內(nèi)任意的一個x，-xeR，f(x)與f(-x)均有意義?因為f(-x)=-x，所以f(-x=-f(x)是成立的.同樣的，驗證函數(shù)g(x)=1，結(jié)論依然成立.x設(shè)計意圖：通過觀察函數(shù)的圖象，思考問題，提高學(xué)生分析問題、總結(jié)問題的能力.從多個具體的實例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性，教師給出嚴(yán)格的定義表述.定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果VxeI，都有-xeI，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)?當(dāng)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)或奇函數(shù)時，稱f(x)具有奇偶性.問題5：從奇函數(shù)的定義出發(fā)，如何證明函數(shù)丁=f(x)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱.師生活動：先由學(xué)生獨立思考完成，再組織全班交流.教師積極地引導(dǎo)學(xué)生嘗試探索，在充分交流的基礎(chǔ)上，教師給出嚴(yán)格的定義表述.該問題類比問題2的證明過程.充分性：設(shè)p(一)是函數(shù)f(X)圖象上任意一點，則y:f(X).因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，所以點P關(guān)于原點的對稱點為Q(.X,.y)也在函數(shù)f(X)圖象上，即.y=f(-X).所以對任意的X，都有f(-X二一f(X)，所以函數(shù)y二f(X)是奇函數(shù)?必要性：設(shè)p(x，y)是函數(shù)f(X)圖象上任意一點，則y:f(x).記點P關(guān)于原點的對稱點為Q，則Q(_x,-y).因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(—x1-f(X)，即-y^f(-X)，所以點Q在函數(shù)f(X)圖象上，所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱.(三)概念的辨析問題6：判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(X)=X2； (2)f(X)=X2，XG(-2,0]；(3)f(x)=x3，xg(-2，2]； (4)f(x)=x3，xg(-2，-1]U[1，2),師生活動：先由學(xué)生獨立思考，教師再組織全班交流.答案：(1)偶函數(shù)；(2)非奇非偶函數(shù)；(3)非奇非偶函數(shù)；(4)奇函數(shù).設(shè)計意圖：從同一個函數(shù)出發(fā)，學(xué)生更為容易進(jìn)行探究活動，得出結(jié)論.我們不難發(fā)現(xiàn)，(1)、(4)中每一個X、-X同時屬于定義域，所以f(-X)與f(X)都有意義?而(2)、(3)中則無法滿足每一個X、-X同時屬于定義域，所以f(-x)與f(x)無法滿足都有意義.師生共同得出結(jié)論：函數(shù)具有奇偶性的前提是函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，如不對稱，則可直接判斷其為非奇非偶函數(shù).追問：奇函數(shù)f(X)若在X=0處有定義，f(0)=?師生活動：因為了(%)為奇函數(shù),所以/(-0)=-/(0)，2/(0)=0，f(0)=0?(四)概念的深化例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)/(X)=X4； (2)/⑴=兀5；(3)〃%)=%+2； (4)/(x)=—;% X2(5)/(%)=(%—1)2； (6)y(x)=—?x師生活動：本例由學(xué)生獨立思考、小組討論，可讓幾個學(xué)生進(jìn)行板書，完成后再進(jìn)行點評完善.解：(1)函數(shù)〃X)=陋的定義域為R因為VxeRf都有reH，且f(-x)=(一％)4=%4=/(x)，所以，函數(shù)/(x)=x4為偶函數(shù).(2)函數(shù)〃X)=￡的定義域為凡因為V%eR9都有.xeH，且f(-X)=(―x)5=-X5=-f(x)，所以,函數(shù)/(1)=￡為奇函數(shù).(3)函數(shù)〃%)=%+1的定義域為｛^"。｝,X因為Vxe[%w0｝，都有w。｝，且1 1/(—X)=—X-\ 二_(x+_)=_/(1)，-x X所以，函數(shù)/(%)=%+工為奇函數(shù).(4)函數(shù)/(%)=上的定義域為M%wo｝?%2因為V%e%%w0｝，都有—xe%woK且/(-%)=J=—=/(x)1(r)2 %2所以，函數(shù)f(%)--1為偶函數(shù)?%2(5)函數(shù)f(%)-(%.1)2的定義域為R.因為V%eR，都有—％eR，且f(-%)=(-%—1)2=(%+1)2豐土f(%)，所以，函數(shù)f(%)=(%-1)2為非奇非偶函數(shù).另解：函數(shù)f(%)=(%-1)2為初中階段所學(xué)的二次函數(shù)，顯然，其對稱軸為%二1.故函數(shù)f(%)=(%-1)2為非奇非偶函數(shù)?(6)由函數(shù)解析式可得定義域為{%%,0}.因為V%eR，都有-%eR，且f(-%)-H--%--f(%)，-% %所以，函數(shù)f(%)為奇函數(shù).另解：f(%)-%”，％>。；% 〔-1,%<0.函數(shù)圖象如下：jflV3■2■- _3 _2 _1 0 1 2 3 *-2'從圖可知，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故f(X)是奇函數(shù).追問：你能總結(jié)例題的解題過程，歸納一下利用定義判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟嗎？設(shè)計意圖：通過追問，師生共同總結(jié)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟，教師給出解答示范.第一步，首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；第二步，確定f(_X)與f(X)的關(guān)系；第三步，作出相應(yīng)結(jié)論：若f(_X)二f(X)或f(-X)-f(X)=0，則〃X)是偶函數(shù)；若f(-X=-f(X)或f(-X)+f(X)=0，則f(X)是奇函數(shù)?通過具體的函數(shù)，深化學(xué)生對判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟的理解，尤其是“首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱”三是通過例題讓學(xué)生能夠了解有些函數(shù)是非奇非偶函數(shù).例2(1)判斷函數(shù)f(X)=X3+X的奇偶性. 1I(2)如右圖，是函數(shù)f(X)=X3+X圖象的一部分，你能根據(jù)f(x)的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖——「‘’—3■象嗎？ 7T'(3)一般地，如果知道y二f(X)為偶(奇)函數(shù)，那么我們可以怎樣簡化對它的研究？師生活動：本例由學(xué)生獨立思考，完成后教師再進(jìn)行點評完善.(1)奇函數(shù)；(2)圖象如下

設(shè)計意圖：通過思考，讓學(xué)生根據(jù)奇（偶）函數(shù)的圖象的對稱性畫函數(shù)的圖象，進(jìn)一步理解函數(shù)的奇偶性。所以，我們在研究函數(shù)性質(zhì)時，只需要研究定義域的一半部分.知一半則可知全部，即縮小研究的范圍，從而達(dá)到“事半功倍”的效果，提高解題效率.解析：B選項函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,1解析：B選項函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,1.下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是（）所以該函數(shù)是偶函數(shù).其他選項的函數(shù)圖象都不具有奇偶性.答案：B設(shè)計意圖：讓學(xué)生直觀地通過函數(shù)圖象的對稱性判斷偶（奇）函數(shù)..判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1(1)f(%)=2%4+3%2；(2)f(%)=%3一2%；(3(3)f(%)= ；(4)f(%)=%2+|%|,%2答案：（1）偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)；（4）偶函數(shù).設(shè)計意圖：考查學(xué)生對判斷函數(shù)奇偶性的理解，提高學(xué)生的解題能力..函數(shù)LfQ），xGja］（a〉一1）是奇函數(shù)，則a等于（）A._1 B.0C.i D.無法確定解：???奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，?一?,