電磁場課件第三章

第3章恒定磁場產(chǎn)生磁場的源：a.永久磁鐵b.變化的電場

c.電流周圍，即運(yùn)動(dòng)的電荷1.什么是磁場？

存在于載流回路或永久磁鐵周圍空間，能對運(yùn)動(dòng)電荷施力的特殊物質(zhì)稱為磁場?？梢姡捍艌隽?、運(yùn)動(dòng)速度和磁感應(yīng)強(qiáng)度三者相互垂直，且滿足右手螺旋法則。2.磁感應(yīng)強(qiáng)度的定義電流元電流元在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：該式稱為畢奧—薩伐爾定律。安培力實(shí)驗(yàn)定律：

3.1磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算（安培力定理）其中：為真空磁導(dǎo)率。得到：比較例5：求如圖所示的電流線I在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：取圓柱坐標(biāo)系將電流線分成三段分別求這三段電流在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。a.閉合電流回路在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：特斯拉(T)（1）段在O點(diǎn)產(chǎn)生的（2）段在O點(diǎn)產(chǎn)生的（3）段在O點(diǎn)產(chǎn)生的O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度:例6：求長為l，載有電流I的細(xì)直導(dǎo)線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：如圖所示，選用圓柱坐標(biāo)系式中：所以：

式中：于是得：有限長度電流線磁感應(yīng)強(qiáng)度：無限長載流直導(dǎo)線周圍磁感應(yīng)強(qiáng)度：

即：b.面電流情況:電流在某一曲面上流動(dòng)。面電流密度：

定義為在與電流線垂直的方向上單位長度流過的電流。

上流過的電流量：產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：整個(gè)面電流產(chǎn)生的磁場：(A/m)c.體電流情況:電流在某一體積內(nèi)流動(dòng)。體電流密度：

定義為在與電流線垂直的方向上平面內(nèi)單位面積流過的電流。

上流過的電流量：產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：整個(gè)體電流產(chǎn)生的磁場：(A/m2)

3.2矢量磁位

1.磁通量

磁感應(yīng)強(qiáng)度對一個(gè)曲面的面積分稱為穿過該曲面的磁通量。若曲面閉合：磁感應(yīng)強(qiáng)度：根據(jù)梯度規(guī)則：則有：根據(jù)高斯定律：利用矢量恒等式：已知：和結(jié)論：

穿過空間任意閉合曲面的磁通量恒為零。這就是磁通連續(xù)性原理。它說明磁感線是連續(xù)的閉合矢線，磁場是無散場。

矢量磁位的定義

磁矢位的任意性與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即由即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。

磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。2.恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位3.矢量磁位的計(jì)算規(guī)范條件：對線電流的情況：已知：a.線電流矢量磁位計(jì)算利用矢量恒等式：則：矢量磁位：該式為線電流產(chǎn)生的磁場中的矢量磁位計(jì)算公式。為零！b.面電流矢量磁位計(jì)算面電流密度：(A/m)矢量磁位：c.體電流矢量磁位計(jì)算體電流密度：矢量磁位：(A/m2)例8：試求電流為I,半徑為a

的小圓環(huán)在遠(yuǎn)離圓環(huán)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：先求再求，選用球坐標(biāo)系，已知：在直角坐標(biāo)系中所以：如圖：其中：可得：當(dāng)：將：得：式中為圓環(huán)的面積。小電流環(huán)的磁矩：因?yàn)?，最后得?.3.安培環(huán)路定律(一)安培環(huán)路定律——麥克斯韋第一方程1.安培環(huán)路定律已知：無限長載流直導(dǎo)線周圍的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：安培環(huán)路定律：

在真空中，磁場強(qiáng)度沿任意回路的線積分，等于該回路所限定的曲面上穿過的總電流。若積分回路中包含多個(gè)電流則：

解：分析場的分布，取安培環(huán)路如圖根據(jù)對稱性，有，故

當(dāng)磁場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用安培環(huán)路定理計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度。

2.利用安培環(huán)路定理計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度

例2.3.2

求電流面密度為的無限大電流薄板產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

解選用圓柱坐標(biāo)系，則應(yīng)用安培環(huán)路定理，得

例2.3.3

求載流無限長同軸電纜產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。取安培環(huán)路，交鏈的電流為應(yīng)用安培環(huán)路定律，得3.4磁介質(zhì)的磁化磁場強(qiáng)度1.磁介質(zhì)的磁化

介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)形成分子電流，形成分子磁矩?zé)o外加磁場外加磁場B

在外磁場作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介質(zhì)的磁化。

無外磁場作用時(shí)，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。B2.磁化強(qiáng)度矢量

磁化強(qiáng)度是描述磁介質(zhì)磁化程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即單位為A/m。3.磁化電流

磁介質(zhì)被磁化后，在其內(nèi)部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流。

考察穿過任意圍線C所圍曲面S的電流。只有分子電流與圍線相交鏈的分子才對電流有貢獻(xiàn)。與線元dl相交鏈的分子，中心位于如圖所示的斜圓柱內(nèi)，所交鏈的電流BC穿過曲面S的磁化電流為（1）磁化電流體密度由，即得到磁化電流體密度

在緊貼磁介質(zhì)表面取一長度元dl，與此交鏈的磁化電流為（2）磁化電流面密度則即的切向分量4.磁場強(qiáng)度介質(zhì)中安培環(huán)路定理

分別是傳導(dǎo)電流密度和磁化電流密度。

將極化電荷體密度表達(dá)式代入，有,即

外加磁場使介質(zhì)發(fā)生磁化，磁化導(dǎo)致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應(yīng)強(qiáng)度，兩種相互作用達(dá)到平衡，介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)是所有電流源激勵(lì)的結(jié)果：定義磁場強(qiáng)度為：則得到介質(zhì)中的安培環(huán)路定理為：磁通連續(xù)性定理為小結(jié)：恒定磁場是無源有旋場，磁介質(zhì)中的基本方程為

（積分形式）

（微分形式）其中，稱為介質(zhì)的磁化率（也稱為磁化系數(shù)）。這種情況下其中稱為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，稱為介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率（無量綱）。順磁質(zhì)抗磁質(zhì)鐵磁質(zhì)磁介質(zhì)的分類5.磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

磁化強(qiáng)度

和磁場強(qiáng)度

之間的關(guān)系由磁介質(zhì)的物理性質(zhì)決定，對于線性各向同性介質(zhì)，與之間存在簡單的線性關(guān)系：磁場強(qiáng)度磁化強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度

例2.4.1

有一磁導(dǎo)率為μ

，半徑為a的無限長導(dǎo)磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流I，圓柱外是空氣（μ0），試求圓柱內(nèi)外的、和的分布。

解磁場為平行平面場,且具有軸對稱性，應(yīng)用安培環(huán)路定律，得3.4.4.恒定磁場的標(biāo)量磁位一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，則有即在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。

標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位

磁標(biāo)位的微分方程(均勻線性各向同性介質(zhì)

標(biāo)量磁位的邊界條件在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中和靜電位 磁標(biāo)位

磁標(biāo)位與靜電位的比較靜電位

磁標(biāo)位

m

3.5.磁場法向分量的邊界條件

在兩種媒質(zhì)分界面處做一小柱形閉合面，如圖在該閉合面上應(yīng)用磁場的高斯定律則：該式表明：磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量在分界面處是連續(xù)的。因?yàn)槿裘劫|(zhì)Ⅱ?yàn)槔硐雽?dǎo)體時(shí),由于理想導(dǎo)體中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，故:因此，理想導(dǎo)體表面上只有切向磁場，沒有法向磁場。5.磁場切向分量的邊界條件

在兩種媒質(zhì)分界面處做一小矩形閉合環(huán)路，如圖在此環(huán)路上應(yīng)用安培環(huán)路定律于是：或：若：即：在理想鐵磁質(zhì)表面上只有法向磁場，沒有切向磁場。

6.矢量磁位的邊界條件矢量磁位在分界面處也應(yīng)是連續(xù)的，即7.標(biāo)量磁位的邊界條件在無源區(qū)域，安培環(huán)路定律的積分和微分形式為:引入一標(biāo)量函數(shù)，令標(biāo)量磁位根據(jù)標(biāo)量磁位定義和磁場的邊界條件可得：和兩種理想介質(zhì)分界面上的邊界條件3.5.2

兩種常見的情況

在兩種理想介質(zhì)分界面上，通常沒有電荷和電流分布，即JS＝0、ρS＝0，故

的法向分量連續(xù)

的法向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)媒質(zhì)1媒質(zhì)2

、的法向分量連續(xù)媒質(zhì)1媒質(zhì)2

、的切向分量連續(xù)2.理想導(dǎo)體表面上的邊界條件

理想導(dǎo)體表面上的邊界條件設(shè)媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體，則E2、D2、H2、B2均為零，故

理想導(dǎo)體：電導(dǎo)率為無限大的導(dǎo)電媒質(zhì)

特征：電磁場不可能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體表面上的電荷密度等于的法向分量理想導(dǎo)體表面上的法向分量為0理想導(dǎo)體表面上的切向分量為0理想導(dǎo)體表面上的電流密度等于的切向分量1.磁通與磁鏈

3.6電感

單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過該回路的磁通量

多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI細(xì)回路

粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量o

；另一部分是磁力線穿過導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路

設(shè)回路C中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。

自感的特點(diǎn)：

解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS=d的磁通為

例3.3.4

求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為則與dΦi相應(yīng)的磁鏈為因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則故單位長度的外自感為單位長度的總自感為

例3.3.5

計(jì)算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的間距為D，且D>>a。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ0。穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L度的面積的外磁鏈為

解

設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為I

。由于D>>a

，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為PII于是得到平行雙線傳輸線單位的長度的外自感兩根導(dǎo)線單位的長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位的長度的自感為

對兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2

，當(dāng)回路C1中通過電流I1時(shí)，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈12也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對回路C2的互感系數(shù)，簡稱互感。3.互感同理，回路C2對回路C1

的互感為C1C2I1I2Ro

互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。

滿足互易關(guān)系，即M12=M21

互感的特點(diǎn)：4.紐曼公式

如圖所示的兩個(gè)回路C1和回路C2

，回路C1中的電流I1在回路C2上的任一點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場與回路C2交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro故得同理紐曼公式由圖中可知長直導(dǎo)線與三角形回路穿過三角形回路面積的磁通為

解

設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定律，得到

例3.3.6

如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。因此故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為

例3.3.7

如圖所示，兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈C1和C2，半徑分別為a1和a2，中心相距為d。求它們之間的互感。于是有

解利用紐曼公式來計(jì)算，則有兩個(gè)平行且共軸的線圈式中θ=2－1為與之間的夾角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且

若d>>a1，則于是

一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d>>a1或d>>a2時(shí)，可進(jìn)行近似計(jì)算。3.7恒定磁場的能量1.

磁場能量

在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢作功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。

電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運(yùn)動(dòng)，表明恒定磁場具有能量。

磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從零開始增加時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢。

假定建立并維持恒定電流時(shí)，沒有熱損耗。

假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻射損耗。

設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為I、交鏈的磁鏈為。在時(shí)刻t的電流為i=αI、磁鏈為ψ=α。(0≤α≤1)

根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為I

的載流回路具有的磁場能量Wm，即對α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為所做的功當(dāng)α增加為(α+dα)時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢:

對于多個(gè)載流回路，則有對于體分布電流，則有例如，兩個(gè)電流回路C1和回路C2回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能2.磁場能量密度

從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個(gè)空間。

磁場能量密度：

磁場的總能量：積分區(qū)域?yàn)閳鏊诘?/p>