離散型隨機變量及其分布函數(shù)

離散型隨機變量及其分布函數(shù)第一頁，共33頁。一、離散型隨機變量的分布函數(shù)離散型(1)離散型若隨機變量所有可能的取值為有限個或可列無窮個，則稱其為離散型隨機變量.

觀察擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù).隨機變量X

的可能值是:隨機變量連續(xù)型實例11,2,3,4,5,6.非離散型其它第二頁，共33頁。實例2

若隨機變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時的射擊次數(shù)”,則X

的可能值是:實例3設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機變量X記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,

則X

的所有可能取值為:第三頁，共33頁。實例2

隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測誤差”.則X的取值范圍為(a,b)內(nèi)的任一值.實例1

隨機變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型若隨機變量所有可能的取值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,則稱其為連續(xù)型隨機變量.則X的取值范圍為

第四頁，共33頁。說明定義第五頁，共33頁。離散型隨機變量的分布律也可表示為或第六頁，共33頁。例1設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過四盞信號燈.每盞燈以的概率禁止汽車通過.以表示汽車首次停下時已經(jīng)過的信號燈盞數(shù)（信號燈的工作是相互獨立的），求的分布律.第七頁，共33頁。分布函數(shù)分布律離散型隨機變量的分布函數(shù)與其分布律之間的關(guān)系：也就是：第八頁，共33頁。二、常見離散型隨機變量的概率分布設(shè)隨機變量X只取0與1兩個值,它的分布律為1.兩點分布則稱X服從(0-1)分布或兩點分布或伯努利分布.第九頁，共33頁。

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.說明第十頁，共33頁。2.二項分布若X的分布律為：稱隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布。記為,其中q＝1－p二項分布兩點分布第十一頁，共33頁。分析

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例2第十二頁，共33頁。解第十三頁，共33頁。圖示概率分布第十四頁，共33頁。解因此例3第十五頁，共33頁。3.泊松分布

第十六頁，共33頁。泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放射出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)，發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X

服從泊松分布.第十七頁，共33頁。地震

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等都服從泊松分布.火山爆發(fā)特大洪水第十八頁，共33頁。電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.第十九頁，共33頁。泊松定理證明第二十頁，共33頁。第二十一頁，共33頁。二項分布

泊松分布n很大,p

很小上面我們提到第二十二頁，共33頁。

：設(shè)1000輛車通過,出事故的次數(shù)為X,則可利用泊松定理計算所求概率為解例4

有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車,在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?第二十三頁，共33頁。4.幾何分布

若隨機變量X的分布律為則稱X服從幾何分布.實例

設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為p,對該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查,直到第一次抽到一只次品為止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)目X

是一個隨機變量,求X的分布律.第二十四頁，共33頁。所以X服從幾何分布.說明

幾何分布可作為描述某個試驗“首次成功”的概率模型.解第二十五頁，共33頁。5.超幾何分布設(shè)X的分布律為

超幾何分布在關(guān)于廢品率的計件檢驗中常用到.說明第二十六頁，共33頁。1.常見離散型隨機變量的分布兩點分布二項分布泊松分布幾何分布三、內(nèi)容小結(jié)超幾何分布第二十七頁，共33頁。第二十八頁，共33頁。二項分布泊松分布兩點分布第二十九頁，共33頁。例1

為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費,配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況),問至少需配備多少工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?解所需解決的問題使得合理配備維修工人問題備份題第三十頁，共33頁。由泊松定理得故有即個工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01.故至少需配備8第三十一頁，共33頁。例2

(人壽保險問題)有2500個同年齡同社會階層的人在保險公司里參加了人壽保險,在每一年里每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日付12元保險費,而在死亡時,家屬可在公司里領(lǐng)取2000元.問

(1)保險公司虧本的概率是多少?