快速學(xué)習(xí)奈氏圖判斷穩(wěn)定性

快速學(xué)習(xí)奈氏圖判斷穩(wěn)定性1第一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日一、幅角定理(Kauthy幅角定理)

幅角定理又稱映射定理，它是建立在復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)上的。由于奈氏判據(jù)是以幅角定理為依據(jù)的，因此有必要先簡(jiǎn)要地介紹幅角定理。 設(shè)有一復(fù)變函數(shù)稱之為輔助函數(shù)，其中是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù).通常可寫(xiě)成如下形式

式中是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，將式（4-106）代入式（4-105）得

比較式（4—107）和式（4—106）可知，輔助函數(shù)的零點(diǎn)即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，即系統(tǒng)特征方程的根。因此，如果輔助函數(shù)的零點(diǎn)都具有負(fù)的實(shí)部，即都位于S平面左半部，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)便不穩(wěn)定。2第二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)復(fù)變函數(shù)為單值，且除了S平面上有限的奇點(diǎn)外，處處都為連續(xù)的正則函數(shù),也就是說(shuō)在S平面上除奇點(diǎn)外處處解析，那么，對(duì)于S平面上的每一個(gè)解析點(diǎn)，在平面上必有一點(diǎn)（稱為映射點(diǎn)）與之對(duì)應(yīng)。例如，當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

則其輔助函數(shù)是除奇點(diǎn)和外，在S平面上任取一點(diǎn)，如則（一）S平面與平面的映射關(guān)系

3第三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日如圖4—37所示，在平面上有點(diǎn)與S平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng),

就叫做在平面上的映射點(diǎn)。圖4-37S平面上的點(diǎn)在F（S）平面上的映射4第四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日如圖4—38所示，如果解析點(diǎn)在S平面上沿封閉曲線（不經(jīng)過(guò)的奇點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化一周，那么輔助函數(shù)在平面上的映射也是一條封閉曲線，但其變化方向可以是順時(shí)針的，也可以是逆時(shí)針的，這要依據(jù)輔助函數(shù)的性質(zhì)而定。

圖4-38S平面到F(s)平面的映射5第五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日（二）幅角定理（映射定理）

設(shè)在S平面上，除有限個(gè)奇點(diǎn)外，為單值的連續(xù)正則函數(shù)，若在S平面上任選一封閉曲線s，并使s不通過(guò)的奇點(diǎn)，則S平面上的封閉曲線s映射到F(s)平面上也是一條封閉曲線F。當(dāng)解析點(diǎn)s按順時(shí)針?lè)较蜓豷變化一周時(shí)，則在平面上，F(xiàn)

曲線按逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)的周數(shù)N等于封閉曲線s內(nèi)包含F(xiàn)(s)的極點(diǎn)數(shù)P與零點(diǎn)數(shù)Z之差。即

N=P-Z

（4—108）式中，若N>0，則F按逆時(shí)針?lè)较蚶@F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)N周；若N<0，則F按順時(shí)針繞

F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)N周；且若N=0，則F不包圍F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)。在圖4—38中,在S平面上有三個(gè)極點(diǎn)P1、P2、P3和三個(gè)零點(diǎn)Z1、Z2、Z3

。被s曲線包圍的零點(diǎn)有Z1、Z2兩個(gè)，即Z=2，包圍的極點(diǎn)只有P2

，即P=1，由式（4—108）得

N=P-Z=1-2=-1

說(shuō)明s映射到F(s)平面上的封閉曲線F順時(shí)針繞F(s)平面原點(diǎn)一周。由幅角定理，我們可以確定輔助函數(shù)被封閉曲線s所包圍的極點(diǎn)數(shù)P與零點(diǎn)數(shù)Z的差值P-Z。

6第六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日前面已經(jīng)指出，的極點(diǎn)數(shù)等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)，因此當(dāng)從平面上確定了封閉曲線F

的旋轉(zhuǎn)周數(shù)N以后，則在S平面上封閉曲線s包含的零點(diǎn)數(shù)Z（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)）便可簡(jiǎn)單地由下式計(jì)算出來(lái)

Z=P-N

（4-109）封閉曲線s和F

的形狀是無(wú)關(guān)緊要的，因?yàn)樗挥绊懮鲜鼋Y(jié)論。

關(guān)于幅角定理的數(shù)學(xué)證明請(qǐng)讀者參考有關(guān)書(shū)籍，這里僅從幾何圖形上簡(jiǎn)單說(shuō)明。 設(shè)有輔助函數(shù)為

（4-110）其零、極點(diǎn)在S平面上的分布如圖4—39所示，在S平面上作一封閉曲線s,s不通過(guò)上述零、極點(diǎn)，在封閉曲線s

上任取一點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的輔助函數(shù)的幅角應(yīng)為

(4-111)7第七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)解析點(diǎn)s1沿封閉曲線s按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周后再回到s1

點(diǎn)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，所有位于封閉曲線s外面的輔助函數(shù)的零、極點(diǎn)指向s1

的向量轉(zhuǎn)過(guò)的角度都為0，而位于封閉曲線s內(nèi)的輔助函數(shù)的零、極點(diǎn)指向s1

的向量都按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)2pi弧度（一周）。這樣，對(duì)圖4—39（a），Z=1，P=0，，即N=－1，繞平面原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周；對(duì)圖4—39（b），Z=0，P=1，，即N=1，繞平面原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周；對(duì)圖4—39（c），Z=1，P=1，，即N=0，不包圍平面原點(diǎn)。將上述分析推廣到一般情況則有

（4-112）由此得到幅角定理表達(dá)式為

N=P-Z（4-113）圖4-39Fs8第八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4-39圖4-399第九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

二、基于輔助函數(shù)的奈氏判據(jù)

為了分析反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只須判斷是否存在S平面右半部的閉環(huán)極點(diǎn)。為此，在S平面上作一條完整的封閉曲線s，使它包圍S平面右半部且按順時(shí)針環(huán)繞。如圖4—40所示，該曲線包括S平面的整個(gè)虛軸（由到）及右半平面上以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮大的半圓弧組成的封閉軌跡。這一封閉無(wú)窮大半圓稱作奈氏軌跡。顯然，由奈氏軌跡包圍的極點(diǎn)數(shù)P和零點(diǎn)數(shù)Z，就是F(s)位于S平面右半部的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)。圖4-40Nyquist軌跡前面已經(jīng)指出，輔助函數(shù)的極點(diǎn)等于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，的零點(diǎn)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。因此，如果奈氏軌跡中包圍的零點(diǎn)數(shù)Z=0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，此時(shí)由映射到平面上的封閉曲線F

逆時(shí)針繞坐標(biāo)原點(diǎn)的周數(shù)應(yīng)為

N=P

（4-114）由此得到應(yīng)用幅角定理分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)如下：s第十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日若輔助函數(shù)的解析點(diǎn)s沿奈氏軌跡s按順時(shí)針連續(xù)環(huán)繞一周，它在平面上的映射F

按逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞其原點(diǎn)P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。若開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0。此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是不包圍平面坐標(biāo)原點(diǎn)，即

N=0。三、基于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏判據(jù)用輔助函數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性仍然不大方便，實(shí)際上，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)與輔助函數(shù)之間的關(guān)系非常簡(jiǎn)單，即

（4-115）上式意味著將平面的縱軸向右平移一個(gè)單位后構(gòu)成的平面即為GH平面（如圖4-41）。平面的坐標(biāo)原點(diǎn)是GH平面的點(diǎn)。因此，F(xiàn)

繞平面原點(diǎn)的周數(shù)等效于繞GH平面點(diǎn)的周數(shù)。(-1,j0)00[GH][F]1圖4-41第十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日由分析，得到基于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏判據(jù)如下：

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏軌跡映射在GH平面上的封閉曲線逆時(shí)針包圍點(diǎn)P周，其中P為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在S平面右半部的極點(diǎn)數(shù)。當(dāng)在S平面右半部沒(méi)有極點(diǎn)時(shí)，即P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在GH平面上不包圍點(diǎn)。12第十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日四、基于開(kāi)環(huán)頻率特性的奈氏判據(jù)（一）與之間的關(guān)系

前面曾經(jīng)指出，頻率特性是特定情況下的傳遞函數(shù)。下面分兩種情況來(lái)研究與之間的關(guān)系。

1、當(dāng)在S平面虛軸上（包括原點(diǎn)）無(wú)極點(diǎn)時(shí)，奈氏軌跡可分成三個(gè)部分如圖4—42所示，（1），s沿負(fù)虛軸變化；（2），s沿正虛軸變化；（3）

，s沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮大的右半圓弧變化，其中，對(duì)應(yīng)由順時(shí)針繞。圖4-42Nyquist軌跡s

（1）當(dāng)s在S平面負(fù)虛軸上變化時(shí)，，（4-117）在[GH]平面上的映射如圖4—43中曲線（1）。第十三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4-43s

在GH平面上的映射（2）當(dāng)s在S平面正虛軸上變化時(shí)，如圖4-43中的曲線（2），這正是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性。由于正負(fù)虛軸在S平面上以實(shí)軸為對(duì)稱，它們?cè)贕H平面上的映射曲線（1）、（2）兩部分也對(duì)稱于實(shí)軸。14第十四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)s

過(guò)平面原點(diǎn)時(shí)，，它在GH平面上的映射為 （4-118）即S平面的原點(diǎn)在GH平面上的映射為常數(shù)K（K為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益）。

（3）當(dāng)s在s

的第三部分上的變化時(shí)，，

當(dāng)n=m時(shí)，

奈氏軌跡的第三部分（無(wú)窮大半圓?。┰贕H平面上的映射為常數(shù)k（根軌跡增益），如圖4—43（a）所示。

當(dāng)n>m時(shí)，（4-121）s的第三部分在GH平面上的映射是它的坐標(biāo)原點(diǎn)（圖4—43（b））。奈氏軌跡s在GH平面上的映射稱為奈奎斯特曲線或奈氏曲線。(4-120)(4-119)第十五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

2、當(dāng)在S平面的虛軸上（包括原點(diǎn)）有極點(diǎn)時(shí)，由于奈氏軌跡不能經(jīng)過(guò)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，s必須避開(kāi)虛軸上的所有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。增加第4部分曲線，如圖4-44所示。其中（1）（2）和（3）部分的定義與圖4—42相同.

第（4）部分的定義是：表明s沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮小的右半圓弧上逆時(shí)針變化（）。這樣，s既繞過(guò)了原點(diǎn)上的極點(diǎn)，又包圍了整個(gè)右半S平面，如果在虛軸上還有其它極點(diǎn)，亦可采用同樣的方法，將s繞過(guò)這些虛軸上的極點(diǎn)。設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （4-122）其中v稱為無(wú)差度，即系統(tǒng)中含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)或位于原點(diǎn)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)。當(dāng)時(shí)，(4-123)16第十六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日式(4-123)表明，s的第（4）部分無(wú)窮小半圓弧在GH平面上的映射為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)窮大圓弧，旋轉(zhuǎn)的弧度為弧度。圖4—45（a）、（b）分別表示當(dāng)

v=1和v=2時(shí)系統(tǒng)的奈氏曲線，其中虛線部分是s的無(wú)窮小半圓弧在GH平面上的映射。圖4-44虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)的奈氏軌跡圖4-45時(shí)的奈氏曲線s17第十七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，可能會(huì)遇到下列三種情況：

(i)當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)都位于S平面左半部時(shí)（P=0），如果系統(tǒng)的奈氏曲線

不包圍GH平面的點(diǎn)（N=0），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的；（ii)當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有p個(gè)位于S平面右半部的極點(diǎn)時(shí)，如果系統(tǒng)的奈氏曲線逆時(shí)針包圍點(diǎn)的周數(shù)等于位于S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)（N=P），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的；

(iii)如果系統(tǒng)的奈氏曲線順時(shí)針包圍點(diǎn)（N>0），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定（Z=P-N>0）。（iv）當(dāng)

曲線恰好通過(guò)GH平面的點(diǎn)（注意不是包圍），此時(shí)如果系統(tǒng)無(wú)位于S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。綜上，奈氏曲線

是否包圍GH平面的點(diǎn)是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要依據(jù)。18第十八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日五、奈氏判據(jù)的應(yīng)用

例4—6試用奈氏判據(jù)分析例4—1系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其對(duì)應(yīng)的頻率特性是當(dāng)時(shí)系統(tǒng)的奈氏曲線如圖4-46所示。該系統(tǒng)的兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和均在S平面左半部，即S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0，由圖4-46可知，系統(tǒng)的奈氏曲線不包圍點(diǎn)