對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算

2.2.1對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算(1)

問(wèn)題的提出：假若我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值為a，平均每年增長(zhǎng)8%，則經(jīng)過(guò)多少年國(guó)民生產(chǎn)總值是現(xiàn)在的兩倍？設(shè)：經(jīng)過(guò)x年國(guó)民生產(chǎn)總值是現(xiàn)在的兩倍，現(xiàn)在的國(guó)民生產(chǎn)總值是a。

根據(jù)題意得：即x=？一、引入這是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)的問(wèn)題。即指數(shù)式中，已知a

和N.求b的問(wèn)題。（這里a>0且a≠1）注意：

（1）底數(shù)的限制：a>0且a≠1；（2）對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式。對(duì)數(shù)的定義:

一般地,如果那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。二、對(duì)數(shù)的定義底數(shù)對(duì)數(shù)真數(shù)冪指數(shù)底數(shù)↓↓↓↓↓↓二、思考：為什么在定義中要規(guī)定：a＞0且a≠1，是不是所有的實(shí)數(shù)都有對(duì)數(shù)？負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)完成下表名稱axN式子底數(shù)指數(shù)冪底數(shù)對(duì)數(shù)真數(shù)（1）常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為；（2）自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為三、常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)注意：兩個(gè)重要對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)（1）負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)

（2）（3）（4）對(duì)數(shù)恒等式：

（5）對(duì)數(shù)恒等式：

四、對(duì)數(shù)的性質(zhì)例1.將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：五、范例點(diǎn)睛課堂練習(xí)1.將下列指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式：2.將下列對(duì)數(shù)式寫(xiě)成指數(shù)式：課堂練習(xí)3.求下列各式的值課堂練習(xí)求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范圍．思考：求x

的值：(1)(2)1.對(duì)數(shù)定義：

2.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互換3.理解:a＞0且a≠1；而且N>04.常用的兩種對(duì)數(shù)：5.幾個(gè)常用結(jié)論：小結(jié)2.2.1對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(2)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有哪些？你能從指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得出相應(yīng)的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)嗎？問(wèn)題提出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)和指數(shù)式怎樣互化的？指數(shù)與對(duì)數(shù)都是一種運(yùn)算，而且它們互為逆運(yùn)算，指數(shù)運(yùn)算有一系列性質(zhì)，那么對(duì)數(shù)運(yùn)算有那些性質(zhì)呢？(1)設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：∴MN=即證得證明：新課教學(xué)(2)設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：即證得∴證明：新課教學(xué)(3)設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：∴即證得證明：新課教學(xué)積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則

如果a>0，a1，M>0,N>0,則有：

上述關(guān)于對(duì)數(shù)運(yùn)算的三個(gè)基本性質(zhì)如何用文字語(yǔ)言描述？?jī)蓴?shù)積的對(duì)數(shù),等于各數(shù)的對(duì)數(shù)的和；兩數(shù)商的對(duì)數(shù),等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；冪的對(duì)數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對(duì)數(shù)．(1)(2)解：例3.用表示下列各式：范例例4.計(jì)算：

（1）范例（2）=5+14=19解：(1)（1）范例（2）新課教學(xué)換底公式:證明：設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：即證得這個(gè)公式叫做換底公式三個(gè)結(jié)論設(shè)a,b>0且均不為1,則

=3解：

范例（2）例5

（1）

(2)解：練習(xí)1.已知用a,b

表示。2.3.4.例6計(jì)算：講解范例

解法一：解法二：例7計(jì)算：講解范例

解：求下列各式的值：（4）（2）（3）（1）課堂練習(xí)

1999底我國(guó)人口為13億,人口增長(zhǎng)的年平均增長(zhǎng)率為1%,則x年后，我國(guó)的人口數(shù)為；若問(wèn)多少年后我國(guó)的人口達(dá)到18億，即解方程，則而如果計(jì)算器只能求10,e為底的對(duì)數(shù)，那該怎么辦？方法：進(jìn)行換底，把底換成以10，或者換成以e為底．或者例520世紀(jì)30年代,里克特(C.F.Richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí),地震能量越大,測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M,其計(jì)算公式為

M=lgA-lgA0

其中，A是被測(cè)地震的最大振幅,A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差).(1)假設(shè)在一次地震中,一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001,計(jì)算這次地震的振級(jí)(精確到0.1)(2)5級(jí)地震給人的震感已比較明顯,計(jì)算7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍?解：(1)因此，這是一次約為里氏4.3級(jí)的地震。(2)由M=lgA-lgA0可得當(dāng)M=7.6時(shí)，地震的最大振幅為當(dāng)M=5時(shí)，地震的最大振幅為所以，兩次地震的最大振幅之比是答：7.6級(jí)地震的最大振幅大約是5級(jí)地震的最大振幅是398倍.例6科學(xué)研究表明,宇宙射線在大氣中能夠產(chǎn)生放射性碳14,碳14的衰變極有規(guī)律,其精確性可以稱為自然界的“標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘”.動(dòng)植物在生長(zhǎng)過(guò)程中衰變的碳14,可以通過(guò)與大氣的相互作用得到補(bǔ)充,所以活著的動(dòng)植物每克組織中的碳14含量保持不變.死亡后的動(dòng)植物,停止了與外界環(huán)境的相互作用,機(jī)體中原有的碳14按確定的規(guī)律衰減,我們已經(jīng)知道其“半衰期”為5730年.

湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的76.7%,試推算馬王堆古墓的年代.解:因?yàn)樯矬w內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系為:寫(xiě)成對(duì)數(shù)的形式為：設(shè)生物體死亡時(shí)，體內(nèi)每克組織中的碳14的含量為1；湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸中碳14的殘留量約占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么所以，馬王堆古墓是近2200年前的遺址.課堂小結(jié)

(1)對(duì)數(shù)的概念：對(duì)數(shù)、底數(shù)、真數(shù)；