理論力學(xué)-第2章

第1篇工程靜力學(xué)基礎(chǔ)理論力學(xué)第2章力系的等效與簡化第1篇工程靜力學(xué)基礎(chǔ)作用在實際物體上的力系各式各樣，但是，都可用歸納為兩大類：一類是力系中的所有力的作用線都位于同一平面內(nèi)，這類力系稱為平面力系；另一類是力系中的所有力的作用線位于不同的平面內(nèi)，稱為空間力系。這兩類力系對物體所產(chǎn)生的運動效應(yīng)是不同的。同一類力系，雖然其中所包含的力不會相同，卻可能對同一物體產(chǎn)生相同的作用效應(yīng)。在就是前一章中提到的力系等效的概念。第2章力系的等效與簡化

本章將在物理學(xué)的基礎(chǔ)上，對力系的基本特征量加以擴(kuò)展，引入力系主矢與主矩的概念；以此為基礎(chǔ)，導(dǎo)出力系等效定理；進(jìn)而應(yīng)用力向一點平移定理以及力偶的概念對力系進(jìn)行簡化。力系簡化理論與方法將作為分析所有靜力學(xué)和動力學(xué)問題的基礎(chǔ)。

第2章力系的等效與簡化

力系等效定理力偶與力偶系力系的簡化

結(jié)論與討論力對點之矩與力對軸之矩第2章力系的等效與簡化

返回力對點之矩與力對軸之矩力對點之矩與力對軸之矩力對點之矩力對軸之矩合力矩定理力對點之矩與力對軸之矩力對點之矩力對點之矩與力對軸之矩力對點之矩

力對點之矩（momentofaforceaboutapoint）是力作用效應(yīng)的度量之一。在物理學(xué)的基礎(chǔ)上，考察空間任意力對某一點之矩。這一點稱為力矩中心（centerofmoment），簡稱矩心。力對點之矩與力對軸之矩力對點之矩F＝Fxi+Fyj+Fzk

力對點之矩的定義rOFABr=xi+yj+zkdzxy=(Fzy-Fyz)i+(Fxz-Fzx)j+(Fyx-Fxy)kxyzFFxFyFzr力對點之矩與力對軸之矩力對點之矩力對點之矩的矢量運算

力矩矢量的方向

M=r

F按右手定則FrMO力對點之矩與力對軸之矩力對點之矩力對點之矩與力對軸之矩力對軸之矩FFFzFxFy

力對軸之矩實例力對點之矩與力對軸之矩力對軸之矩

方法一

:

將力向垂直于該軸的平面投影,力的投影與投影至軸的垂直距離的乘積。Mz(F)=Fxyd

=2(OAB)力對點之矩與力對軸之矩力對軸之矩

力對軸之矩的計算

力對軸之矩的計算方法二:將力向三個坐標(biāo)軸方向分解,分別求三個分力對軸之矩。力對點之矩與力對軸之矩力對軸之矩

力對軸之矩代數(shù)量的正負(fù)號力對點之矩與力對軸之矩力對軸之矩力對軸之矩與力對點之矩的關(guān)系Mz(F)=Fxyd

Fxy=Fcos力對點之矩與力對軸之矩力對軸之矩力對軸之矩與力對點之矩的關(guān)系結(jié)論:力對點之矩的矢量在某一軸上的投影,等于這一力對該軸之矩。力對點之矩與力對軸之矩力對軸之矩力對軸之矩與力對點之矩的關(guān)系F特殊情形力對點之矩與力對軸之矩力對軸之矩MoFr

力對軸之矩與力對點之矩的關(guān)系特殊情形

結(jié)論:

當(dāng)軸垂直于r和F所在的平面時,力對點之矩與力對軸之矩在數(shù)值上相等。

MoFr力對點之矩與力對軸之矩力對軸之矩力對點之矩與力對軸之矩合力矩定理dFR

匯交力系的合力之矩定理

匯交力系Od2F2d1F1力對點之矩與力對軸之矩合力矩定理已知:

F,l1,l2,.求:

MO(F)力對點之矩與力對軸之矩合力矩定理例題1力對點之矩與力對軸之矩合力矩定理－例題1MO

(F)=Fdd=?MO

(F)=MO

(Fcos)+MO(Fsin)力對點之矩與力對軸之矩合力矩定理－例題1第2章力系的等效與簡化

力偶與力偶系返回力偶與力偶系力偶與力偶系力偶的性質(zhì)力偶系的合成力偶與力偶系力偶與力偶系力偶的定義F2F1r1r2rBA大小相等,方向相反,不共線的兩個力所組成的力系，稱為力偶（couple）。力偶與力偶系力偶與力偶系力偶實例F1F2F1＝－F2力偶與力偶系力偶與力偶系二力作用線之間的垂直距離-力偶臂（armofacouple）。力偶的作用面與力偶臂F1F2二力所在平面-力偶作用面（actingplaneofacouple）。力偶與力偶系力偶與力偶系力偶矩矢量力偶對O點之矩等于這個力系中的兩個力對該點之矩之和.力偶與力偶系力偶與力偶系O1力偶矩矢量其方向亦可由右手定則確定。力偶與力偶系力偶對點之矩與點的位置無關(guān)。力偶與力偶系力偶與力偶系力偶的性質(zhì)

力偶對剛體的作用效應(yīng)，只取決于力偶矩矢量。力偶的性質(zhì)性質(zhì)一:力偶無合力，即主矢FR=0。力偶與力偶系力偶的性質(zhì)

性質(zhì)二：只要保持力偶矩矢量不變，力偶可在作用面內(nèi)任意移動和轉(zhuǎn)動，其對剛體的作用效果不變。FF′FF′力偶與力偶系力偶的性質(zhì)FF′性質(zhì)三：保持力偶矩矢量不變，分別改變力和力偶臂大小，其作用效果不變。2F2F′FF′力偶與力偶系力偶的性質(zhì)力偶與力偶系力偶系的合成

力偶系及其合成

力偶系:由兩個或兩個以上力偶組成的特殊力系力偶與力偶系力偶系的合成力偶系及其合成yxzMxMzMy力偶與力偶系力偶系的合成力偶系及其合成M力偶與力偶系力偶系的合成力偶系合成的結(jié)果仍然是一個力偶，其力偶矩矢量等于原力偶系中所有力偶矩矢量之和。即例題1試:

畫出AB和BDC桿的受力圖；

求:A、C二處的約束力。已知:

結(jié)構(gòu)受力如圖所示,圖中M,r均為已知,且l=2r.力偶與力偶系例題11.AB桿為二力桿;解：受力分析:2.

BDC桿的A、B二處分別受有一個方向雖然未知、但可以判斷出的力。力偶與力偶系怎樣確定B、C二處的約束力例題1力偶與力偶系解：討論:第2章力系的等效與簡化

力系等效定理返回物理學(xué)中，關(guān)于質(zhì)點系運動特征量已有明確論述，這就是：質(zhì)點系的線動量和對某一點的角動量。力系等效定理物理學(xué)中還指明線動量對時間的變化率等于作用在質(zhì)點系上外力的矢量和；角動量對時間的變化率等于作用在質(zhì)點系上外力對同一點之矩的矢量和。力系等效定理力系的主矢和主矩

力系等效定理力系等效定理力系的主矢和主矩力系等效定理力系的主矢和主矩

主矢的分量表達(dá)式為力系的主矢主矢僅與各力的大小和方向有關(guān)，主矢不涉及作用點和作用線,因而主矢是自由矢。力系主矢的特點

對于給定的力系，主矢惟一；力系等效定理力系的主矢和主矩

力系的主矢力系等效定理力系的主矢和主矩

力系的主矩主矩的分量式為力系主矩的特點力系主矩是定位矢，其作用點為矩心。力系主矩MO與矩心(O)的位置有關(guān);力系等效定理力系的主矢和主矩

力系的主矩力系等效定理力系等效定理對于運動效應(yīng)二者等效力系等效的含義FPFP'FPFP'力系等效定理力系等效定理力系等效的含義對于變形效應(yīng)二者不等效對于運動效應(yīng)二者依然等效FPFP′FPFP′力系等效定理力系等效定理怎樣判斷不同力系的運動效應(yīng)是否相同？如何判斷力系等效力系等效定理力系等效定理MCFBFA力系1FCMEMD力系2力系等效定理力系等效定理所謂力系等效是指不同的力系對于同一物體所產(chǎn)生的運動效應(yīng)是相同的，即：不同的力系使物體所產(chǎn)生的線動量對時間的變化率以及角動量對時間的變化率分別對應(yīng)相等。亦即：不同力系的主矢以及對于同一矩心的主矩對應(yīng)相等。這就是力系等效定理（theoremofequivalentforcesystems）。兩個力系對剛體運動效應(yīng)相等的條件是：

主矢相等和對同一點的主矩相等。力系等效定理力系等效定理力系等效定理第2章力系的等效與簡化

力系的簡化

返回力系的簡化

力向一點平移定理空間一般力系的簡化力系簡化在固定端約束力分析中的應(yīng)用力系的簡化

所謂力系的簡化，就是將由若干力和力偶所組成的一般力系，變?yōu)橐粋€力，或一個力偶，或者一個力和一個力偶的簡單的、但是等效的情形。這一過程稱為力系的簡化(reductionofaforcesystem)。力系的簡化

力系簡化的基礎(chǔ)是力向一點平移定理力系的簡化

力向一點平移定理F:力;O:簡化中心;

:F與O所在平面;n

:

平面的法線;en

:n

方向的單位矢。力向一點平移力系的簡化

力向一點平移定理

er力系的簡化

力向一點平移定理

FAOd力向一點平移erOdA力向一點平移在O點作用什么力系才能使二者等效?力系的簡化

力向一點平移定理

FAOdrF?dOAr力向一點平移加減平衡力系(F,-F)二者等效力系的簡化

力向一點平移定理

FdOrAFF－F力向一點平移

力向一點平移的結(jié)果:

一個力和一個力偶,力偶的力偶矩等于原來力對平移點之矩。力系的簡化

力向一點平移定理

dOArFF－FOArFM力向一點平移FFF-F力系的簡化

力向一點平移定理

力向一點平移FMxMyFF-FFMz力系的簡化

力向一點平移定理

力系的簡化

空間一般力系的簡化一般力系的簡化力系的簡化

空間一般力系的簡化

FnF2F1F1F2FnM1M2Mn一般力系的簡化力系的簡化

空間一般力系的簡化

F1F2FnM1M2MnFRMO將每個力向簡化中心平移F1F2F3Fn力系的簡化

空間一般力系的簡化

一般力系的簡化yF1F2FnM1M2Mn力系的簡化

空間一般力系的簡化

一般力系的簡化FRzFRxFRyyF1F2FnM1M2Mn力系的簡化

空間一般力系的簡化

一般力系的簡化MyMxMzyF1F2FnM1M2Mn力系的簡化

空間一般力系的簡化

一般力系的簡化FRzFRxFRyMyMxMz力系的簡化

空間一般力系的簡化

FRMOyxz一般力系的簡化一般力系匯交力系

合力

FR=Fi力系的簡化

空間一般力系的簡化

力偶系合力偶

MO=MO(Fi)一般力系的簡化一般力系簡化的結(jié)果

一般力系向任意簡化中心簡化的結(jié)果，得到一個合力和一個合力偶。因此，可以說：力和力偶是構(gòu)成一般力系的基本單元；匯交力系和力偶系都是基本力系，是一般力系的特殊情形。力系的簡化

空間一般力系的簡化

一般力系簡化的結(jié)果

一般力系向任意簡化中心簡化，所得力的矢量等于力系的主矢(請注意合力與主矢的區(qū)別)。力系的簡化

空間一般力系的簡化

一般力系簡化的結(jié)果

一般力系向任意簡化中心簡化，所得力偶的力偶矩，在數(shù)值上等于該力系中所有力對簡化中心的主矩(請注意主矩與合力偶矢量的區(qū)別)。力系的簡化

空間一般力系的簡化

一般力系簡化的結(jié)果

力系的主矢不隨簡化中心的改變而改變，所以稱為力系的不變量。主矩則隨簡化中心的改變而改變。力系的簡化

空間一般力系的簡化

一般力系簡化的結(jié)果力系的簡化

空間一般力系的簡化

一般力系向任意簡化中心簡化，所得力偶的力偶矩，在數(shù)值上等于該力系中所有力對于簡化中心的主矩(請注意主矩與合力偶矢量的區(qū)別)。

一般力系向任意簡化中心簡化，所得力的矢量等于力系的主矢(請注意合力與主矢的區(qū)別)。

一般力系向任意簡化中心簡化的結(jié)果，得到一個力和一個力偶。力系的簡化

空間一般力系的簡化

力系的主矢不隨簡化中心的改變而改變，所以稱為力系的不變量。主矩則隨簡化中心的改變而改變。一般力系簡化的結(jié)果例題2力系的簡化

空間一般力系的簡化

由F1、F2組成的空間力系，已知：F1=F2=F。試求力系的主矢FR以及力系對O、A、E三點的主矩。

解：1.計算主矢令i、j、k為x、y、z方向的單位矢量，則力系中的二力可寫成于是，力系的主矢為力系的簡化

空間一般力系的簡化－例題2

解：2.計算主矩應(yīng)用矢量叉乘方法，力系對O、A、E三點的主矩分別為：

力系的簡化

空間一般力系的簡化－例題2

解：2.計算主矩應(yīng)用矢量叉乘方法，力系對O、A、E三點的主矩分別為：

力系的簡化

空間一般力系的簡化－例題2

3.本例討論：平面力系（所有力的作用線位于同一平面內(nèi)）作為為空間力系的特殊情形，向平面內(nèi)的任意一點簡化，同樣得到一主矢和一主矩，主矢位于平面力系所在平面，主矩則與平面力系作用平面垂直。例題3力系的簡化

空間一般力系的簡化

圖示空間力系中，力偶作用在Oxy平面內(nèi)，力偶矩M=24N·m。試求此力系向O點簡化的結(jié)果。

解：首先，將已知的力和力偶都表示為矢量的形式

M=(-24k)N?mF1=(4j)NF2=(6i,-8j)NF3=(-6i,-8k)N

力系的簡化

空間一般力系的簡化－例題3

解：M=(0,0,-24)N?m

同時將O點至各力的矢徑也表示為矢量的形式

力系的簡化

空間一般力系的簡化－例題3

解：然后，將力和力偶向O點簡化，根據(jù)主矢和主矩的表達(dá)式，采用矢量運算，得到力系的主矢為：M=(0,0,-24)N?m力系的簡化

空間一般力系的簡化－例題3

解：然后，將力和力偶向O點簡化，根據(jù)主矢和主矩的表達(dá)式，采用矢量運算，得到力系的主矩為：M=(0,0,-24)N?m力系的簡化

力系簡化在固定端約束力分析中的應(yīng)用一般力系簡化結(jié)果的應(yīng)用固定端約束的約束力平面載荷作用的情形力系的簡化

力系簡化在固定端約束力分析中的應(yīng)用

FA

x；FAy；MA平面分布約束力簡化結(jié)果:力系的簡化

力系簡化在固定端約束力分析中的應(yīng)用一般力系簡化結(jié)果的應(yīng)用固定端約束的約束力FAxFAy力系的簡化

力系簡化在固定端約束力分析中的應(yīng)用固定端約束的約束力一般力系簡化結(jié)果的應(yīng)用第2章力系的等效與簡化

結(jié)論與討論返回

結(jié)論與討論幾個不同力學(xué)矢量的性質(zhì)合力之矩定理及其應(yīng)用力系簡化的幾種最后結(jié)果實際約束的簡化模型力偶性質(zhì)推論的應(yīng)用限制

結(jié)論與討論幾個不同力學(xué)矢量的性質(zhì)請判斷力矢量、力矩矢量、力偶矩矢量、主矢、主矩分別屬于下列矢量中的哪一種：

結(jié)論與討論幾個不同力學(xué)矢量的性質(zhì)

自由矢;

滑動矢;

定位矢。請分析合力與主矢、合力偶矩矢量與主矩的相同點和不同點。

結(jié)論與討論力系簡化的幾種最后結(jié)果幾種特殊情形零力系(平衡力系)還可以再簡化合力偶合力

結(jié)論與討論力系簡化的幾種最后結(jié)果一般情形下的簡化結(jié)果

FR垂直于MO

FR平行于MO

FR既不平行也不垂直于MO三種結(jié)果都還可以再簡化

結(jié)論與討論關(guān)于力系簡化的最后結(jié)果xyzFR最后結(jié)果xyzMOFRd=M/FR

結(jié)論與討論關(guān)于力系簡化的最后結(jié)果FRMOxyzFRxyzMOxd=M/FRxyzMOxMOyFR

結(jié)論與討論力系簡化的幾種最后結(jié)果最后結(jié)果FRxyzMOxd=M/FR力螺旋

結(jié)論與討論力系簡化的幾種最后結(jié)果力系如圖所示,若FT、FQ、h、e等為已知。研究：

1.向

C

點簡化結(jié)果2.最后簡化結(jié)果

結(jié)論與討論力系簡化的幾種最后結(jié)果heCFQFT－FT

結(jié)論與討論合力之矩定理及其應(yīng)用

如果力系有合力(FR)，在匯交力系合力之矩定理的基礎(chǔ)上，即:

加以擴(kuò)展,合力不僅包含力，而且包含力偶，于是有:

結(jié)論與討論合力之矩定理及其應(yīng)用應(yīng)用合力之矩定理以及微積分方法，可以確定工程中一些復(fù)雜載荷的合力。

應(yīng)用合力之矩定理不難求得其合力F的大小及作用點位置：例如，單位厚度水壩承受力側(cè)向靜水壓力的模型，側(cè)向靜水壓力自水面起為零至壩基處取最大值，中間呈線性分布。

結(jié)論與討論合力之矩定理及其應(yīng)用FRdFR其中：ρ為水的密度；g為重力加速度；d為水深；d1為合力作用點至水面的距離。

應(yīng)用合力之矩定理不難求得其合力FR的大小及作用點位置：

結(jié)論與討論合力之矩定理及其應(yīng)用

結(jié)論與討論實際約束的簡化模型

結(jié)論與討論實際約束的簡化模型第1章和本章中分別介紹了鉸鏈約束與固定端約束。這兩種約束的差別就在于前者允許被約束物體轉(zhuǎn)動，后