2016屆遼寧省實(shí)驗(yàn)分校高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題

遼寧省實(shí)驗(yàn)分校2015—2016學(xué)年度上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科（文）高三年級(jí)命題人：譚志剛校對(duì)人：田霞第=1\*ROMANI卷（選擇題）1．設(shè)A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B?A，則x的值為()A．0 B．－2C．0或－2 D．0或±22．設(shè)函數(shù)，則滿(mǎn)足f(x)＝4的x的值是()A．2 B．16C．2或16 D．－2或163．已知平面向量a＝(2m＋1,3)，b＝(2，m)，且a∥b，則實(shí)數(shù)mA．2或－eq\f(3,2) C．－2或eq\f(3,2)B.eq\f(3,2) D．－eq\f(2,7)4．設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，則a、b、c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)<b<cC．b<a<c D．a(chǎn)<c<b5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝()A．63 B．45C．43 D．276．命題：“若x2<1，則－1<x<1”A．若x2≥1，則x≥1，或x≤－1B．若x≥1，且x≤－1，則x2>1C．若－1<x<1，則x2<1D．若x≥1，或x≤－1，則x2≥17．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(1,2) B．(2,3)C．(2,3] D．(2，＋∞)8．在下列各函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是()A．y＝x＋eq\f(1,x)B．y＝cosx＋eq\f(1,cosx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))C．y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))D．y＝ex＋eq\f(4,ex)－29．在△ABC中，若cosA＝eq\f(4,5)，cosB＝eq\f(5,13)，則cosC的值是()A.eq\f(16,65) B.eq\f(56,65) C.eq\f(16,65)或eq\f(56,65) D．－eq\f(16,65)10．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線(xiàn)4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－3)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋(y－1)2＝111．若函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥0 B．a(chǎn)≤0C．a(chǎn)≥－4 D．a(chǎn)≤－412．定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(4)＝1，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示．若兩正數(shù)a，b滿(mǎn)足f(2a＋b)<1，則eq\f(b＋2,a＋2)的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(3，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))D．(－∞，－3)第=2\*ROMANII卷（非選擇題）二．13．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝eq\f(3,5)，則cos2θ＝________.14．已知e1與e2是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2e1－5e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝λe1－e2，若三點(diǎn)A、B、D共線(xiàn)，則λ＝________.15．已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ax的圖象在x＝1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＋2y－1＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．16．已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________三．17．（10分）在△ABC中a,b,c為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大?。?2)若sinB+sinC=1,試判斷△ABC的形狀.18．（12分）數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn＝3n·eq\r(an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.19．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax3＋cx(a≠0)，其圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x－6y＋21＝0垂直，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最小值為－12.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在x∈[－2,2]的值域．20．（12分）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－cos2x－eq\f(1,2)，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期；(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且c＝eq\r(3)，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)與向量n＝(2，sinB)共線(xiàn)，求a，b的值．21．（12分）已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圓C的切線(xiàn)在x軸和y軸上的截距相等，求此切線(xiàn)的方程．(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．（12分）已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx(a∈R).(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)x∈(0,e］時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值為3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.

遼寧省實(shí)驗(yàn)分校2015—2016學(xué)年度上學(xué)期期中考試文數(shù)答案一、選擇CCBCBDCDABDC二、填空13、－eq\f(7,25)14、815、116、－4<m<2.1、[解析]當(dāng)x2＝4時(shí)，x＝±2，若x＝2，則不滿(mǎn)足集合中的元素的互異性，∴x≠2；若x＝－2，則A＝{1,4，－4}，B＝{1,4}，滿(mǎn)足題意，當(dāng)x2＝2x時(shí)，x＝0或2(舍去)，x＝0滿(mǎn)足題意，∴x＝0或－2.2、[解析]當(dāng)f(x)＝2x時(shí).2x＝4，解得x＝2.當(dāng)f(x)＝log2x時(shí)，log2x＝4，解得x＝16.∴x＝2或16.3、[解析]∵a∥b，∴(2m＋1)m∴2m2＋m－6＝0，∴m＝－2或eq\f(3,2).4、[解析]y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函數(shù)，1>eq\f(1,2)>0.3，∴1>a>b，又y＝log0.3x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴l(xiāng)og0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1，∴b<a<c5、[解析]由等差數(shù)列的性質(zhì)知，S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝45.6．[答案]D7、[解析]∵f(x)在R上單調(diào)增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,a－2>0,a－2×1－1≤loga1))∴2<a≤3，8、[解析]x<0時(shí)，y＝x＋eq\f(1,x)≤－2，故A錯(cuò)；∵0<x<eq\f(π,2)，∴0<cosx<1，∴y＝cosx＋eq\f(1,cosx)≥2中等號(hào)不成立，故B錯(cuò)；∵eq\r(x2＋2)≥eq\r(2)，∴y＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))≥2中等號(hào)也取不到，故C錯(cuò)，9、[解析]在△ABC中，0<A<π，0<B<π，cosA＝eq\f(4,5)，cosB＝eq\f(5,13)，∴sinA＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(12,13)，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)－eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(16,65)，10、[解析]依題意設(shè)圓心C(a,1)(a>0)，由圓C與直線(xiàn)4x－3y＝0相切得，eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故選B.11、[解析]∵函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＝2x＋2＋eq\f(a,x)＝eq\f(2x2＋2x＋a,x)≤0，∴g(x)＝2x2＋2x＋a≤0在x∈(0,1)時(shí)恒成立，∴g(0)≤0，g(1)≤0，即a≤－4.12、[解析]由y＝f′(x)的圖象知，x>0時(shí)，f′(x)>0，x<0時(shí)，f′(x)<0，∴y＝f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∵兩正數(shù)a，b滿(mǎn)足f(2a＋b)<1且f(4)＝1，∴2a＋b<4，如圖，eq\f(b＋2,a＋2)表示點(diǎn)A(－2，－2)與線(xiàn)段BC上的點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，其中B(2,0)，C(0,4)，∵kAB＝eq\f(1,2)，kAC＝3，a>0，b>0，∴eq\f(1,2)<eq\f(b＋2,a＋2)<3.13、[解析]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝eq\f(3,5)，∴cosθ＝eq\f(3,5)，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(7,25).14、[解析]∵A、B、D共線(xiàn)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))共線(xiàn)，∴存在實(shí)數(shù)μ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝μeq\o(BD,\s\up6(→))，∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(λ－2)e1＋4e2，∴3e1＋2e2＝μ(λ－2)e1＋4μe2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μλ－2＝3,4μ＝2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(1,2),λ＝8))，故填8.15、[解析]∵f′(x)＝eq\f(1,1＋x)－a，∴f′(1)＝eq\f(1,2)－a.由題知eq\f(1,2)－a＝eq\f(1,2)，解得a＝1.16、[解析]∵x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y時(shí)取等號(hào)，又eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m，即8>m2＋2m，解得17、在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大?。?2)若sinB+sinC=1,試判斷△ABC的形狀.答案：（1）---------------6分（2）等腰三角形---------------12分18、數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn＝3n·eq\r(an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解(1)證明：由已知可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)＋1，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以eq\f(a1,1)＝1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．---------------4分(2)由(1)得eq\f(an,n)＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2，從而bn＝n·3n---------------6分Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n①3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1②①－②得：－2Sn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝eq\f(3×1－3n,1－3)－n·3n＋1＝eq\f(1－2n·3n＋1－3,2)---------------10分所以Sn＝eq\f(2n－1·3n＋1＋3,4)---------------12分19、已知函數(shù)f(x)＝ax3＋cx(a≠0)，其圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x－6y＋21＝0垂直，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最小值為－12.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在x∈[－2,2]的值域．[解析](1)f′(x)＝3ax2＋c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝－6,c＝－12))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,c＝－12))，所以f(x)＝2x3－12x.---------------4分(2)f′(x)＝6x2－12，令f′(x)＝0得，x＝±eq\r(2).---------------6分所以函數(shù)y＝f(x)在(－2，－eq\r(2))和(eq\r(2)，2)上為增函數(shù)，在(－eq\r(2)，eq\r(2))上為減函數(shù)．f(－2)＝8，f(2)＝16－24＝－8，f(eq\r(2))＝－8eq\r(2)，f(－eq\r(2))＝8eq\r(2)，---------10分所以y＝f(x)在x∈[－2,2]上的值域?yàn)閇－8eq\r(2)，8eq\r(2)]．---------------12分20、已知函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－cos2x－eq\f(1,2)，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期；(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且c＝eq\r(3)，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)與向量n＝(2，sinB)共線(xiàn)，求a，b的值．[解析](1)因?yàn)閒(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝sin(2x－eq\f(π,6))－1，所以f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝eq\f(2π,2)＝π.---------------4分(2)由題意得f(C)＝sin(2C－eq\f(π,6))－1＝0，則sin(2C－eq\f(π,6))＝1，∵0<C<π，∴0<2C<2π，∴－eq\f(π,6)<2C－eq\f(π,6)<eq\f(11,6)π，∴2C－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，C＝eq\f(π,3)，---------------6分∵向量m＝(1，sinA)與向量n＝(2，sinB)共線(xiàn)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(sinA,sinB)，由正弦定理得，eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)①由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)，即3＝a2＋b2－ab②---------------10分由①②解得，a＝1，b＝2.---------------12分21.已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圓C的切線(xiàn)在x軸和y軸上的截距相等，求此切線(xiàn)的方程．(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)．[解析](1)將圓C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①當(dāng)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y＝kx，由直線(xiàn)與圓相切得eq\f(|－k－2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，即k＝2±eq\r(6)，從而切線(xiàn)方程為y＝(2±eq\r(6))x.---------------2分②當(dāng)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為x＋y－a＝0，由直線(xiàn)與圓相切得x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.∴所求切線(xiàn)的方程為y＝(2±eq\r(6))xx＋y＋1＝0或x＋