淺析高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——淺析高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)本文通過對高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)方式的闡述,希望能在數(shù)學(xué)建模課程的設(shè)計(jì)上給高中教師以幫助,同時(shí)為他人研究高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)設(shè)計(jì)打下基礎(chǔ)。

高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)

前言

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是一個(gè)系統(tǒng)性的活動(dòng),其教學(xué)活動(dòng)一般可以分為三個(gè)階段:第一階段為簡單建模。結(jié)合教材,在適當(dāng)?shù)沫h(huán)節(jié)切入數(shù)學(xué)建模的教學(xué),以應(yīng)用性問題和研究性課題為突破口,選擇一些簡單的實(shí)例師生共同進(jìn)行建模。目的是讓學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)建模的方法,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。其次階段為典型案例建模。教師給出問題情境,師生共同分析,將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,讓學(xué)生親自參與問題假設(shè)、建模、求解、檢驗(yàn)及評(píng)價(jià)的過程。目的是讓學(xué)生初步把握建模的常用方法。第三階段為綜合建模,學(xué)生以小組為單位完成教師指定的問題(或者讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題),要求學(xué)生自己搜集材料,提出假設(shè),解決問題。方法及問題的結(jié)果都不唯一。目的是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維方法,提高創(chuàng)新能力。以下每個(gè)環(huán)節(jié)均按這三個(gè)階段來設(shè)計(jì)。

1、教學(xué)對象的分析

1.1第一階段:簡單建模

這是數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的開始階段,“學(xué)生們中間平均有1/5的同學(xué)對數(shù)學(xué)建模有所了解,但并不深刻,重點(diǎn)中學(xué)開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的比例比普通中學(xué)稍高,平均多出10%。因此對建模學(xué)習(xí)的興趣重點(diǎn)和普通中學(xué)相比也是稍高?！还苁窃谥攸c(diǎn)或者普通中學(xué)都只有20%的同學(xué)了解,大部分同學(xué)都未曾聽說,也沒有再書店看到此類相關(guān)資料和書籍。盡管如此,學(xué)生們對‘?dāng)?shù)學(xué)建?！琅f抱有一定的好奇心和學(xué)習(xí)興趣〞。由此不難看出,大多數(shù)的同學(xué)對數(shù)學(xué)建模還沒有什么認(rèn)識(shí),但是他們對數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)十分有興趣,這就為數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)奠定了比較好的基礎(chǔ)。

1.2其次階段:典型案例建模

要進(jìn)入這一階段的教學(xué),對學(xué)生有兩點(diǎn)要求:1、了解數(shù)學(xué)建模的概念,2、把握數(shù)學(xué)建模的過程(五步建模法)。學(xué)生學(xué)習(xí)的效果對學(xué)生的熱心有很大的影響,學(xué)生們往往對自己做得比較好的領(lǐng)域有更多地興趣。因此,只有達(dá)到了這兩個(gè)要求才能進(jìn)入這一階段的教學(xué),否則會(huì)對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的熱心產(chǎn)生負(fù)面的影響,進(jìn)而影響數(shù)學(xué)建模的教學(xué)效果。

1.3第三階段:綜合建模

經(jīng)歷了典型案例建模的積累與磨練,要求學(xué)生們不僅能把握并熟練運(yùn)用五步建模法,而且要積累大量的數(shù)學(xué)建模的典型模型,這使他們有能力進(jìn)行獨(dú)立活動(dòng)和解決比較繁雜的建模問題。同時(shí),高中階段的學(xué)生性格多數(shù)都比較活潑、開朗,喜歡與人交流,小組合作研究的方式會(huì)很適合他們。在綜合建模階段,有時(shí)候一些比較繁雜的問題無法一個(gè)人獨(dú)立完成,與他人合作也成為這一階段中的必需。因此,這一階段可以采取競賽或者課外活動(dòng)的方式進(jìn)行,既能保證學(xué)生的興趣、提高學(xué)生的能力,又能儉約有限的教學(xué)時(shí)間。

2、教學(xué)內(nèi)容的確定

2.1第一階段:簡單建模

這一階段的目的是使同學(xué)們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模,會(huì)用五步建模法解決簡單的問題。故其主要內(nèi)容包括:①數(shù)學(xué)建模的含義;②五步建模法;③相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)建模的含義和五步建模法在緒論中已作論述,故在此只對第三條“相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)〞進(jìn)行探討。學(xué)生們大部分是初次接觸數(shù)學(xué)建模,問題不宜過于隱蔽,也不宜過于繁瑣,最好是稍加分析就可以找到問題的數(shù)學(xué)背景,然后就能解決的問題。此時(shí)可以選擇一些比較簡單的問題,直接用數(shù)學(xué)知識(shí)就能解決,例如:函數(shù)、數(shù)列、線性規(guī)劃、不等式、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容中就可以根據(jù)應(yīng)用題改編來進(jìn)行簡單建模的教學(xué)。

2.2其次階段:典型案例建模

知道了數(shù)學(xué)建模的一般步驟和方法,自然要開始實(shí)踐和練習(xí)。這一階段的主要內(nèi)容就是典型案例的建模方法和完整的建模程序。

這時(shí)的問題需要比第一階段更有深度,但是綜合性不宜過強(qiáng)。這就是打基礎(chǔ)的階段,只有先把典型案例建模理解并把握了,才能進(jìn)行下一步的綜合建模。假使現(xiàn)在就用綜合性很強(qiáng)的案例,會(huì)使學(xué)生感覺接受很困難,從而影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的積極性,也不利于下一步綜合建?；顒?dòng)的進(jìn)行。此時(shí)的案例可以來源于大學(xué)數(shù)學(xué)建模中的初等模型,或者中學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽,例如:四足動(dòng)物身長與體重關(guān)系模型、建筑物的震動(dòng)研究模型、新產(chǎn)品銷售模型、土地承包問題、均衡價(jià)格與市場穩(wěn)定模型、不允許缺貨的存儲(chǔ)問題、代表名額分派問題等。

2.3第三階段:綜合建模

綜合建模是數(shù)學(xué)建模的最高層次和最終目標(biāo),需要我們解決實(shí)際生活中遇到的真實(shí)的問題,它可能會(huì)比典型案例建模要繁雜一些,與典型案例建模階段最大的不同在于要求學(xué)生能夠提出問題并解決問題。這一階段是無法在課內(nèi)完成的,主要以數(shù)學(xué)課外活動(dòng)的形式出現(xiàn),解決問題的數(shù)學(xué)工具也不必局限于中學(xué)階段,只要是學(xué)生們能學(xué)會(huì)并應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具都可以。問題的來源相應(yīng)比較廣泛,可以是學(xué)生們自己在生活中發(fā)現(xiàn)的問題,也可以是數(shù)學(xué)建模競賽的問題,例如:紅綠燈問題、圖形剪裁問題、投資決策問題、酒店清潔問題、圖書館添書問題、下降傘開傘問題等。

3、教學(xué)方式的選擇

3.1第一階段:簡單建模

在簡單建模階段,一般可以選擇的教學(xué)方式有:講授式、講練式、探練式等。根據(jù)教學(xué)對象的基礎(chǔ)和教學(xué)內(nèi)容的難易可以適當(dāng)調(diào)整。

(1)講授式。其優(yōu)點(diǎn)是可以儉約好多時(shí)間,缺點(diǎn)是學(xué)生動(dòng)手參與的機(jī)遇就少了。

(2)探練式。這種方法可以使學(xué)生們充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性,切實(shí)體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程,更好的理解數(shù)學(xué)建模,但是時(shí)間需要的相對多,對學(xué)生的要求也相對高。

(3)講練式。介于前兩者之間,首先由教師講授,然后學(xué)生動(dòng)手操作,既可以儉約一些時(shí)間,又可以讓學(xué)生有動(dòng)手參與的機(jī)遇。

3.2其次階段:典型案例建模

有了簡單建模的基礎(chǔ),學(xué)生們對數(shù)學(xué)建模和五步建模法已經(jīng)有了一定的了解,教師可以根據(jù)學(xué)生的狀況,適當(dāng)放手讓學(xué)生們?nèi)ンw會(huì)摸索,這樣既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,又能為下一階段的教學(xué)做好鋪墊,讓學(xué)生不至于到自己操作的時(shí)候不知所措?？梢圆扇〉慕虒W(xué)方式主要有:講授探練式、導(dǎo)學(xué)摸索式、論文研讀式、專題教學(xué)式等。

(1)講授探練式。這是講授式與探練式的結(jié)合。

(2)導(dǎo)學(xué)摸索式。就是在教師的適當(dāng)指導(dǎo)下,由學(xué)生進(jìn)行摸索式學(xué)習(xí)。

(3)論文研讀式。這是一種課下閱讀、課內(nèi)交流的形式。通過對成品論文的閱讀和研究,讓學(xué)生學(xué)習(xí)相應(yīng)案例的建模也是一種不錯(cuò)的教學(xué)方式。通過對論文的研讀,學(xué)生不僅可以學(xué)到建模的方法,也可以學(xué)習(xí)寫數(shù)學(xué)建模論文的方法。

(4)專題教學(xué)式。專題式教學(xué)就是將相像知識(shí)背景或者方法的問題組成一個(gè)學(xué)習(xí)專題來進(jìn)行學(xué)習(xí),如:工程網(wǎng)絡(luò)圖及有關(guān)排序問題、初等應(yīng)用概率、資源分派模型與線性規(guī)劃等。

3.3第三階段:綜合建模

此時(shí),學(xué)生積累了大量的數(shù)學(xué)建模的典型案例,大可放手讓他們自己去做?？刹扇〉慕虒W(xué)方式主要有:論文研讀式、研究報(bào)告式、調(diào)查報(bào)告式、微型科研式等。

4、實(shí)例講解

例:某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品,其中有的產(chǎn)品是次品。問:從中連續(xù)抽兩次都抽不到次品的概率是多少?(已知產(chǎn)品總數(shù)是100件,次品有2件)

解:把次品記為A1、A2,其余產(chǎn)品記為B1、B2、……、B98。

假設(shè)每次抽完后還把產(chǎn)品放回,那么:

基才能件為:(A1,A1)、(A1,A2)、…、(A1,B98),(A2,A1)、(A2,A2)、…(A2,B98),……,(B98,A1)、(B98,A2)、…、(B98,B98),總數(shù)為100×100;

連續(xù)兩次抽到非次品所包含的基才能件為:(

B1,B1)、(B1,B2)、…、(B1,B98),(B2,B1)、(B2,B2)、…(B2,B98),……,(B98,B1)、(B98,B2)、…、(B98,B98),個(gè)數(shù)為98×98。

連續(xù)兩次都抽到非次品的概率為:

P(連續(xù)兩次抽到的不是次品)=“連續(xù)兩次抽到的不是次品〞所包含的基才能件的個(gè)數(shù)/基才能件總數(shù)=98×98/(100×100)=0.9604

分析:這個(gè)結(jié)論成立的前提是“假設(shè)每次抽完后還把產(chǎn)品放回〞,假使每次抽完不放回,那么下面的運(yùn)算都不對了,需要重新修正。

總結(jié):像這樣,運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問題的過程,就是數(shù)學(xué)建模。具體的說,數(shù)學(xué)建模就是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題提煉、抽象,做出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,然后求出模型的解,驗(yàn)證模型的合理性,并能用該數(shù)學(xué)模型的解來解釋一類現(xiàn)實(shí)問題的過程。數(shù)學(xué)建模的一般步驟為:

(1)根據(jù)對象的實(shí)際背景和要求進(jìn)行“問題分析〞;

(2)根據(jù)問題分析和建立數(shù)學(xué)模型的目的作出合理簡化的“模型假設(shè)〞;

(3)在問題分析與模型假設(shè)的基礎(chǔ)上“建立數(shù)學(xué)模型〞;

(4)選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具“求解數(shù)學(xué)模型〞;

(5)對模型結(jié)果進(jìn)行“模型分析〞。假使貼合實(shí)際要求就用來解決實(shí)際問題;假使不貼合實(shí)際要求就回到(2)繼續(xù)。

終止語

在日常教學(xué)中適當(dāng)?shù)那腥霐?shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)應(yīng)