因式分解之公式法2

8因式分解之式法8一、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、代數(shù)中常用的乘法公式有：平方差公式(a+b)(a－＝－b完全平方公式：＝±2ab+b2、因式分解的公式：將上述乘法公式反過來得到的關(guān)于因式公解的公式來分解因式的方法，主要有以下三個(gè)公式：平方差公式a－＝－b)完全平方公式：a±2ab+b＝(a±b)3、用公式來分解因式的關(guān)鍵要弄清各個(gè)公式的形式和特點(diǎn)，也就是要從它們的項(xiàng)數(shù)系數(shù)，符號(hào)等方面掌握它們的特征。明確公式中字母可以表示任何數(shù)，單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。③同時(shí)對相似的公式避免發(fā)生混淆，只有牢記公式，才能靈活運(yùn)用公式。④運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解有一定的局限性，只符合其公式特點(diǎn)的多項(xiàng)式才能用公式法來分解。二、例題分析：例1：分解因式）－9b(2)25ay+16b解）－9b＝(2a)－(3b)＝(2a+3b)(2a－3b)解）－25ay+16b＝16b－y＝(4b)－(5ay)＝(4b+5ay)(4b－5ay)注：要先將原式寫成公式左邊的形式，寫4b)－(5ay例2:分解因式）36bx－y（）(x+2y)－－2y)（）－（）－(2a+3b)分析）二項(xiàng)式有公因式9應(yīng)先提取公因式，再對剩余因式進(jìn)行分解，符合平方差公式題兩項(xiàng)式符合平方差公式x+2y和x2y分別為公式中的a和題也是兩項(xiàng)式和y公式中的a和b）題也是兩項(xiàng)式3a+2b和2a+3b是平方差公式中的和b。解）x－y＝9(4bx－y)＝9[(2bx)－y)]＝9(2bx+cy)(2bx－y)注：解題的第二步寫成公式的左邊形式一定不要丟。（）(x+2y)－－＝[(x+2y)+(x－2y)][(x+2y)－(x2y)]＝(x+2y+x－2y)(x+2y－x+2y)＝(2x)(4y)＝注：此例可以用乘法公式展開，再經(jīng)過合并同類項(xiàng)得到8xy由本例的分解過程可知，因式分解在某些情況下可以簡化乘法與加減法的混合運(yùn)算。（）x＝(9x)－)＝(9x+y)(9x－)＝(9x+y)[(3x)－)]＝(9x+y)[(3x+y)(3x－)]＝(9x+y)(3x+y)(3x－)注第一次應(yīng)用平方差公式后的二個(gè)因式9xy還以再用平方差公式分解②－內(nèi)不能分解了，因?yàn)?不化成有理數(shù)平方的形式。（）(3a+2b)－(2a+3b)＝[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)(2a+3b)]＝(3a+2b+2a+3b)(3a+2b－2a－3b)＝(5a+5b)(a－＝5(a+b)(a－

在有理數(shù)范圍

1mmm注：(5a+5b)這個(gè)因式里還有5可再1mmm例3、分解因式：(2m－－121(m+n)－4(m+n)+25(m－2n)分析）的第二項(xiàng)應(yīng)寫成11(m+n)]就以平方差公式分解2m－11(m+n)為公式中的和b，（）中將這二項(xiàng)先利用加法交換律后再將每一項(xiàng)寫成平方形式就找到公式中的a和b分別5(m2n)和2(m+n)，再應(yīng)用平方差公式解。解）－n)－121(m+n)＝(2m－－[11(m+n)]＝[(2m－n)+11(m+n)][(2m－n)11(m+n)]＝(2m－n+11m+11n)(2m－－－11n)＝(13m+10n)(－－＝－3(13m+10n)(3m+4n)注：（－－12n）項(xiàng)應(yīng)提取公因式3（）4(m+n)+25(m－＝－2n)－4(m+n)＝－2n)]－[2(m+n)]＝－2n)+2(m+n)][5(m－－2(m+n)]＝(5m－10n+2m+2n)(5m－－－2n)＝(7m－8n)(3m－12n)＝－8n)(m－注：利用平方差分解后的兩個(gè)因式要進(jìn)行整式的四則運(yùn)算，并要注意運(yùn)算時(shí)去括號(hào)法則的應(yīng)用例如－2(m+n)＝－2m≠2m+2n例4.分解因式(1)a(3)－16

b－ab(2)a(m+n)－(m+n)分析：這三道題都有公因式，應(yīng)先提取公因式再應(yīng)用平方差公式。注意要分解到不能分解為止解）b－＝ab(a－＝ab(a+1)(a－1)＝ab(a－1)注：a+1在理數(shù)范圍不能分解a－可以解。（）(m+n)－(m+n)＝(m+n)(a－)＝(m+n)(a+b)(a－)＝(m+n)(a+b－（）

mm＝－(a－16)＝－

m

(a+4)(a－4)注：提取分?jǐn)?shù)公因式－便后面用公式法分解。例5、計(jì)算1.2222×9－1.3333×4分析:這是數(shù)字的計(jì)算問題，若運(yùn)算順序一步步做很繁，我們認(rèn)真觀察，尋求簡便算法，發(fā)現(xiàn)題中的兩項(xiàng)，每一項(xiàng)都可以寫成一個(gè)數(shù)的完全平方，再可以用平方差公式進(jìn)行因式分解，這樣可以使計(jì)簡化。解：1.2222×9－1.3333×4－(1.3333×2)＝(1.2222×3+1.3333×2)(1.2222×3－1.3333×2)＝(3.6666+2.6666)(3.6666－＝6.3332×1＝6.3332例6、若2－1)可以被60和70之的兩個(gè)數(shù)整除，求這兩個(gè)數(shù)。分析：首先應(yīng)分析2－的特殊式為平方差，由題意2－能被個(gè)數(shù)整除說明2－能解哪兩個(gè)數(shù)與其它因式的積，并將2－行因式分解。并注意這兩個(gè)整數(shù)的取值范圍是大于60且小70

解：2－＝)－＝+1)(2－＝+1)(2+1)(2－＝+1)(2+1)(2+1)(2－1)2+1＝為數(shù)2－＝為數(shù)2+1和+1都整數(shù)265

＝(2+1)(2+1)(2－為數(shù)

＝(2+1)(2+1)(2+1)也為整數(shù)。2－被60和70之的兩個(gè)數(shù)整除，這兩個(gè)數(shù)為65和63說明：此題雖然題目中沒有因式分解的要求，但是－1是式分解的平方差公式的基本形式。將其進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，逐步地運(yùn)用平方差公式，直到出現(xiàn)+1因式，+1＝，及出現(xiàn)2－＝。因?yàn)?+1＝，2－＝，兩個(gè)數(shù)已經(jīng)不符合本題的要求了。例9、分解因式）+6ax+9a（）－－4y+4xy（）（－）+6（a－）（）的x＝x，＝3a，且這兩項(xiàng)的符號(hào)相同，可寫成平方和。這樣x和3a就為式中的a和b了另外正是2x）公式中的2ab，這樣這題就可用和的完全平方公式分解。解）+6ax+9a＝（）+2（x）（）＝（x+3a）注：再寫第一步的三個(gè)項(xiàng)的和時(shí)實(shí)際上先寫x和3a

項(xiàng)，再寫固定的“2”常數(shù)再將式中的b數(shù)即x和3a寫二個(gè)括號(hào)內(nèi)；計(jì)算出來為6ax即原題中的中間項(xiàng)。分析題中的x－，兩項(xiàng)符號(hào)相同，提取負(fù)號(hào)后可寫成平方和，即－＝－[x（2y）

]4xy正是（）公中的2ab，此題可用完全平方公式。注意提取負(fù)號(hào)時(shí)4要變?yōu)椋?xy。解）－x－+4xy＝－（－4xy+4y）＝－[x－（）（）]＝－（－2y）分析）（－）+1可成平方[a]+1，就找到公式中的a和b項(xiàng)3（－）和1，6（－）好是2×3（－）×1為公中的2ab項(xiàng)，合完全平方公式。解）（－）+6（－）＝[3（－）+2×3（－）×1+1＝[3（－）+1]

＝（3a－3b+1）

例10、分解因式）ax－y+4xy（）－（x+y）z+36z（+4x+8x+4x+16（）

12

（－）－2（－）+2y分析）有公因式x

先提取出來，剩余因式a－y+4y）正好（a－2y解）x－xy+4xy＝（－y+4y）＝[（a）－2（）]＝（－）分析）中可將（）作個(gè)整體，那么這個(gè)多項(xiàng)式就相當(dāng)于x+y）二次三項(xiàng)式，并且降冪排列，公式中的a和b分為x+y和6z間項(xiàng)為－（x+y好合完全平方公式。解）－12（x+y）z+36z＝（x+y）－（x+y）（）＝（x+y－6z）

注：此題中的多項(xiàng)式，切不可用乘法公式展開后再分解，而要注意觀察、分析，根據(jù)多項(xiàng)式本身形式特點(diǎn)，善于將多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)（或一部分）作為整體與因式分解公式中的字母對應(yīng)起來。此題中將（x+y）換完全平方公式中的a6z換公中的。

解+4x）+8（x+4x）＝（x+4x）+2（+4x＝(x+4x+4)＝（x+2）＝x+2）解：（－）－（－）+2y＝[（x－）－（－y+4y]＝[（x－）－（－）（]＝（－－2y）＝（－）＝[（x+2y－）＝（x+2y）（－2y）例11、分解因式）9（－）+12a－）（a+b（）－6a+3（３）+a－（4+n+1－n分析）中的9（a－）＝（a－）]，4（a+b）＝（a+b）

而中間項(xiàng)12（a－）12（a+b－）＝2×3a）×2（a+b正好是公式中的2ab項(xiàng)解）（－）+12（－）+4a+ｂ）＝（－）+12（a+b－）+[2a+b＝（－）+2×3（－）×2（a+b+[2a+b＝（－）（）

＝（－3b+2a+2b）＝（－）

解）－6a+3＝（－2a+1）＝（－）＝（－）＝（）（－）解）+a－2a＝－+a＝（－2a+1）＝（－）解+n－）－n＝（m+n－1+2mn+n－－）＝[(m+2mn+n）1][（－）－＝（m+n）－][（－）－]＝（m+n+1－－n+1－－1）例12：分解因式－－1）+4mn.解－－）+4mn＝（mn－－+1）＝（mn+1）－（+m）+4mn＝（mn+2mn+1）－（－2mn+n）＝（mn+1）－（－）＝（mn+1+m－mn+1－m+n）在線測試A組選擇題。1、下列各式從左到右的變形錯(cuò)的是（

(A)(y－＝(x－(B)－－＝－(a+b)(C)(a－＝－(b－(D)－＝－(m+n)2、下列各式是完全平方式的是（）+2xy+4y（）25a（）p+pq+q（）2mn+3、(x+y)+6(x+y)+9的解結(jié)果

14

n（－（(x+y+3)2（－y+3)2（－－3)4、－1+0.09x分因的結(jié)果是（（1+0.3x）（）1)(C)不能進(jìn)行（）(0.09x+1)(0.09x－1).5、49a－112ab+64b

因式分解為（）（）－8b)2（）(7a－8b（）－8b)（）(7a+8b)B．因式分解1.

)

2

a)2.

a

n

n3.

4

b3b5.

x

2

2

6.7.8、

x22)bc)xx9、

(

2)mna

)10、

a

4a2b211、12、

(x(xxx4)13、

(x

2xx2

x答案：、2、3、B．、B5、8.2運(yùn)公式法考題例析1貴陽市）因式分解x－＝.考點(diǎn)：公式法因式分解評(píng)析要確使用公式注先多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為公式并分解x－＝－(2y)＝(x+2y)(x－2y)2.（1999福）－xy＝________.考點(diǎn)：提公因式法和運(yùn)用公式法分解因式評(píng)析思路：先觀察多項(xiàng)式的特征，主要看它的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)，然后嘗試選擇因式分解的方法，此根據(jù)題目的特點(diǎn)，首先要采用提公因式法，然后利用公式法進(jìn)行最后分解。32000長市）分解因式：+2ma+m.

552222考點(diǎn)：提公因式，公式法分解因式。552222評(píng)析：對于三項(xiàng)式的因式分解，首先觀察有無公因式，提出公因式后，再觀察是否符合完全平方式或十字相乘法，直至不能再分解為止。4年河省）分解因：

xyy

3

＝_____________________。52001北市東城區(qū)）分解式2ab+8ab+8ab＝；6.(1998遼)方2x(x－＝5(x3)的根為（）Ax＝；Bx＝；Cx3，x＝；D＝－真題實(shí)戰(zhàn)

521蘇市）分解因式：－4ma+4m。2揚(yáng)市）分解因式：

x

。3石莊市）等式a成的件是。4山?。┫铝懈魇街姓_的是（）A．+2ab+4b＝(a+2b)

B．(0.1)+(0.1)

1110C．

ac

D．a(chǎn)+