統(tǒng)計案例 新高考 數學一輪 復習專項提升精講精練 （含答案解析）

8.5統(tǒng)計案例（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現考點呈現例題剖析例題剖析考點一獨立性檢驗【例1】（2022·吉林·梅河口市第五中學高三開學考試）某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生進行了問卷調查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了100名學生的問卷成績（單位：分）進行統(tǒng)計，將數據按照分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.(1)根據已知條件完成下面2×2列聯表，并據此判斷是否有99.5%的把握認為“文科方向”與性別有關？理科方向文科方向總計男40女45總計100(2)將頻率視為概率，現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取4次，記被抽取的4人中“文科方向”的人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列和數學期望.參考公式：，其中.參考臨界值：【答案】(1)列聯表答案見解析，有的把握認為“文科方向”與性別有關(2)分布列答案見解析，數學期望【解析】（1）由題意可得分數在之間的學生人數為（名），在之間的學生人數為（名），所以低于60分的學生人數為（名）.所以列聯表如下：理科方向文科方向總計男401555女202545總計6040100所以，所以有的把握認為“文科方向”與性別有關.（2）易知從該校高一學生中隨機抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為.的所有可能取值為，所以，，所以的分布列為：01234所以.【一隅三反】1．（2022·白山模擬）十三屆全國人大四次會議表決通過了關于國民經濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標綱要的決議，決定批準這個規(guī)劃綱要，綱要指出：“加強原創(chuàng)性引領性科技攻關”．某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術，已成功實現離子注入機全譜系產品國產化，包括中束流、大束流、高能、特種應用及第三代半導體等離子注入機，工藝段覆蓋至28nm，為我國芯片制造產業(yè)鏈補上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機一站式解決方案．此次技術的突破可以說為國產芯片的制造做出了重大貢獻．該企業(yè)使用新技術對某款芯片進行試生產，在試產初期，生產一件該款芯片有三道工序，每道工序的生產互不影響，這三道工序的次品率分別為，，．附：，．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828（1）①求生產一件該芯片的次品率．②試產100件該芯片，估計次品件數的期望．（2）某手機生產廠商將該款芯片投入到某新款手機上使用，并對部分芯片做了技術改良，推出了兩種型號的手機，甲型號手機采用沒有改良的芯片，乙型號手機采用改良了的芯片，現對使用這兩種型號的手機用戶進行回訪，就他們對開機速度進行滿意度調查．據統(tǒng)計，回訪的100名用戶中，使用甲型號手機的有30人，其中對開機速度滿意的有15人；使用乙型號手機的有70人，其中對開機速度滿意的有55人．完成下列列聯表，并判斷是否有99.5%的把握認為該項技術改良與用戶對開機速度的滿意度有關．甲型號乙型號合計滿意不滿意合計【答案】見解析【解析】（1）解：①因為生產一件芯片為次品的對立事件為“芯片在三道工序中都為合格品”，所以．②生產的100件該款芯片中次品的件數，則，所以，所以估計試產的100件該芯片中次品有15件．（2）解：列聯表如下：甲型號乙型號合計滿意155570不滿意151530合計3070100因為，所以有99.5%的把握認為該項技術改良與用戶對開機速度滿意度有關．2．（2022·陜西咸陽·三模（理））2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會和冬殘奧會經濟遺產報告（2022）》顯示，北京冬奧會已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會贊助成為一項跨度時間較長的營銷方式．為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時間之間的相關關系，某平臺對45家贊助企業(yè)進行跟蹤調查，其中每天線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計后得到如下列聯表：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計線上銷售時間不少于8小時1720線上銷售時間不足8小時合計45(1)請完成上面的列聯表，能否有99%的把握認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關？(2)按銷售額在上述贊助企業(yè)中采用分層抽樣方法抽取5家企業(yè)．在銷售額不足30萬元的企業(yè)中抽取時，記“抽到線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)數”為X，求X的分布列和數學期望．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參考公式：，其中．【答案】(1)表格見解析，有99%的把握認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天的線上銷售時間有關．(2)分布列見解析，【解析】(1)解：由題意，可得下面的列聯表：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計線上銷售時間不少于8小時17320線上銷售時間不足8小時101525合計271845根據上面的列聯表得，故有99%的把握認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天的線上銷售時間有關．(2)解：企業(yè)總數為45，樣本容量與總體容量之比為，所以從銷售額不少于30萬元、銷售額不足30萬元的企業(yè)中應分別抽取的企業(yè)個數為3、2，則隨機變量的可能取值為0，1，2，可得，，，所以隨機變量的分布列為：X012P所以數學期望．考點二線性回歸方程【例2-1】（2022·齊齊哈爾模擬）某單位為了解夏季用電量與月份的關系，對本單位2021年5月份到8月份的日平均用電量y（單位：千度）進行了統(tǒng)計分析，得出下表數據：月份（x）5678日平均用電量（y）1.93.4t7.1若y與x線性相關，且求得其線性回歸方程，則表中t的值為（）A．5.8 B．5.6 C．5.4 D．5.2【答案】B【解析】由表格中的數據可得，，將點代入回歸直線方程得，解得。故答案為：B．【例2-2】（2022·湖南模擬）《中共中央國務院關于全面推進鄉(xiāng)村振興加快農業(yè)農村現代化的意見》，這是21世紀以來第18個指導“三農”工作的中央一號文件.文件指出，民族要復興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺為某地的農副特色產品開設直播帶貨專場.為了對該產品進行合理定價，用不同的單價在平臺試銷，得到如下數據：單價（元/件）88.28.48.68.89銷量（萬件）908483807568附：參考公式：回歸方程，其中，.參考數據：，.（1）（i）根據以上數據，求關于的線性回歸方程；（ii）若該產品成本是7元/件，假設該產品全部賣出，預測把單價定為多少時，工廠獲得最大利潤.（2）為了解該產品的價格是否合理，在試銷平臺上購買了該產品的顧客中隨機抽了400人，閱讀“購買后的評價”得知：對價格滿意的有300人，基本滿意的有50人，不滿意的有50人.為進一步了解顧客對該產品價格滿意度形成的原因，在購買該產品的顧客中隨機抽取4人進行電話回訪，記抽取的4人中對價格滿意的人數為隨機變量，求隨機變量的分布列和數學期望.（視頻率為相應事件發(fā)生的概率）【答案】見解析【解析】（1）解：i），，∴.∴，∴回歸直線方程為.（ii）設工廠獲得的利潤為萬元，則，∴該產品的單價定為9.75元時，工廠獲得利潤最大，最大利潤為151.25萬元（2）解：由題設可知對價格滿意的頻率為，基本滿意和不滿意的頻率為，隨機變量，，隨機變量的分布列如下表：01234隨機變量的數學期望為【一隅三反】1．（2022·安徽三模）對某位同學5次體育測試的成績（單位：分）進行統(tǒng)計得到如下表格：第x次12345測試成績y3940484850根據上表，可得y關于x的線性回歸方程為，下列結論不正確的是（）A．B．這5次測試成績的方差為20.8C．y與x的線性相關系數D．預測第6次體育測試的成績約為54【答案】C【解析】由已知，，所以這5次測試成績的方差為，B正確，又y關于x的線性回歸方程為，點在直線上，所以，所以，所以，取可得，，所以A，D對，因為，所以與成正相關關系，故相關系數，C錯，故答案為：C.2．（2022·安徽模擬）新冠疫情期間，口罩的消耗量日益增加，某藥店出于口罩進貨量的考慮，連續(xù)9天統(tǒng)計了第天的口罩的銷售量（百件），得到的數據如下：，．參考公式：相關系數；對于一組具有線性相關關系的數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為（1）若用線性回歸模型擬合y與x之間的關系，求該回歸直線的方程；（2）統(tǒng)計學家甲認為用（1）中的線性回歸模型（下面簡稱模型1）進行擬合，不夠精確，于是嘗試使用非線性模型（下面簡稱模型2）得到與之間的關系，且模型2的相關系數，試通過計算說明模型1，2中，哪一個模型的擬合效果更好．【答案】見解析【解析】（1）解：由題意得，，，故所求回歸直線的方程為；（2）解：模型1的相關系數故模型2的擬合性更好．3．（2022·湖南模擬）《中共中央國務院關于全面推進鄉(xiāng)村振興加快農業(yè)農村現代化的意見》，這是21世紀以來第18個指導“三農”工作的中央一號文件.文件指出，民族要復興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺為某地的農副特色產品開設直播帶貨專場.為了對該產品進行合理定價，用不同的單價在平臺試銷，得到如下數據：單價（元/件）88.28.48.68.89銷量（萬件）908483807568附：參考公式：回歸方程，其中，.參考數據：，.（1）（i）根據以上數據，求關于的線性回歸方程；（ii）若該產品成本是7元/件，假設該產品全部賣出，預測把單價定為多少時，工廠獲得最大利潤.（2）為了解該產品的價格是否合理，在試銷平臺上購買了該產品的顧客中隨機抽了400人，閱讀“購買后的評價”得知：對價格滿意的有300人，基本滿意的有50人，不滿意的有50人.為進一步了解顧客對該產品價格滿意度形成的原因，在購買該產品的顧客中隨機抽取4人進行電話回訪，記抽取的4人中對價格滿意的人數為隨機變量，求隨機變量的分布列和數學期望.（視頻率為相應事件發(fā)生的概率）【答案】見解析【解析】（1）解：i），，∴.∴，∴回歸直線方程為.（ii）設工廠獲得的利潤為萬元，則，∴該產品的單價定為9.75元時，工廠獲得利潤最大，最大利潤為151.25萬元（2）解：由題設可知對價格滿意的頻率為，基本滿意和不滿意的頻率為，隨機變量，，隨機變量的分布列如下表：01234隨機變量的數學期望為考點三非線性回歸方程【例3】（2022·福建·三明一中模擬預測）當前，新一輪科技革命和產業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術迅猛發(fā)展，現收集某地近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數量相關數據，如下表年份20172018201920202021編號x12345企業(yè)總數量y（單位：千個）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根據表中數據判斷，與（其中…為自然對數的底數），哪一個回歸方程類型適宜預測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數量？（給出結果即可，不必說明理由），并根據你的判斷結果求y關于x的回歸方程；(2)為了促進公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯合總部決定進行一次信息化技術比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽．比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率．參考數據：，，，（其中）．附：樣本的最小二乘法估計公式為，．【答案】(1)適宜；(2)【解析】(1)根據表中數據適宜預測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數量．∵，∴，令，則，,，由公式計算可知∴，即.(2)設事件“甲公司獲得“優(yōu)勝公司””，事件“在一場比賽中，甲勝乙”，事件“在一場比賽中，甲勝丙”，事件“在一場比賽中，乙勝丙”，則，因為兩兩獨立，兩兩互斥，由概率的加法公式與乘法公式得，所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為．【一隅三反】1．（2022·山西二模）數據顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，下表為2017－2021年中國在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年－2021年對應的代碼依次為1－5．年份代碼x12345市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36參考數據：，，，其中．參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．（1）由上表數據可知，可用函數模型擬合y與x的關系，請建立y關于x的回歸方程（，的值精確到0.01）；（2）已知中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率為p，現從中國在線直播購物用戶中隨機抽取4人，記這4人中選擇在品牌官方直播間購物的人數為X，若，求X的分布列與期望．【答案】見解析【解析】（1）解：設，則，因為，，，所以．把代入，得．即關于的回歸方程為（2）解：由題意知，，，由得所以，的取值依次為0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列為X01234P2．（2022·廣東廣州·一模）人們用大數據來描述和定義信息時代產生的海量數據，并利用這些數據處理事務和做出決策，某公司通過大數據收集到該公司銷售的某電子產品1月至5月的銷售量如下表.月份x12345銷售量y（萬件）4.95.86.88.310.2該公司為了預測未來幾個月的銷售量，建立了y關于x的回歸模型