2021版北師大版文科數(shù)學一輪復習核心考點·精準研析 9.5 平行、垂直的綜合問題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2021版高考北師大版文科數(shù)學一輪復習核心考點·精準研析9.5平行、垂直的綜合問題含解析溫馨提示:此套題為Word版，請按住Ctrl，滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例,答案解析附后.關(guān)閉Word文檔返回原板塊.核心考點·精準研析考點一平行、垂直關(guān)系的判斷

1.一條直線l上有相異的三個點A，B，C到平面α的距離相等,那么直線l與平面α的位置關(guān)系是 （)A.l∥α B。l⊥αC.l與α相交但不垂直 D。l∥α或lα2.(2019·全國卷Ⅰ)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點,PC=2，點P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為3，那么P到平面ABC的距離為.

3.如圖,邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G,已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形（A′不與A，F(xiàn)重合),則下列說法中正確的是 （)①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱錐A′-FED的體積有最大值。A.①B.①②C.①②③D。②③【解析】1.選D.l∥α時，直線l上任意點到α的距離都相等;l?α時,直線l上所有的點到α的距離都是0；l⊥α時,直線l上有兩個點到α距離相等；l與α斜交時，也只能有兩個點到α距離相等。2。作PD,PE分別垂直于AC,BC于點D，E,PO⊥平面ABC,連接OD,CO,知CD⊥PD，CD⊥PO,PD∩PO=P,所以CD⊥平面PDO，OD平面PDO，所以CD⊥OD,因為PD=PE=3，PC=2.所以sin∠PCE=sin∠PCD=32所以∠PCB=∠PCA=60°,所以PO⊥CO，CO為∠ACB的平分線，所以∠OCD=45°,所以O(shè)D=CD=1，OC=2,又PC=2,所以PO=4-2=答案：23。選C。①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC,所以點A′在平面ABC上的射影在線段AF上.②BC∥DE，BC?平面A′DE，DE平面A′DE，所以BC∥平面A′DE。③當平面A′DE⊥平面ABC時，三棱錐A′-FED的體積達到最大。1.靈活應(yīng)用幾何特征證明線面位置關(guān)系不僅要考慮線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，更要注意幾何體中幾何特征的靈活應(yīng)用。2.靈活進行位置關(guān)系轉(zhuǎn)化證明的依據(jù)是空間線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，根據(jù)線線、線面、面面的平行與垂直進行相互轉(zhuǎn)化.也可以通過計算得到線線垂直的關(guān)系.【拓展】空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法（1）根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題.(2）必要時可以借助空間幾何模型,如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進行判斷.考點二存在性問題

【典例】如圖，在四面體P—ABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D,E,F，G分別是棱AP,AC，BC,PB的中點。 世紀金榜導學號(1）求證:DE∥平面BCP。（2）是否存在點Q,到四面體P—ABC六條棱的中點的距離相等？說明理由.【解題導思】序號聯(lián)想解題（1）由D，E分別為AP，AC的中點，想到利用三角形中位線證明平行.（2)要求是否存在點Q，到四面體P—ABC六條棱的中點的距離相等,想到作四邊形DEFG的對角線,若四邊形DEFG為矩形，則有QD=QE=QF=QG，問題得到初步解決，再取PC，AB的中點,同理可得結(jié)論?！窘馕觥?1）因為D,E分別為AP,AC的中點,所以DE∥PC.又因為DE?平面BCP,PC平面BCP，所以DE∥平面BCP。（2）存在點Q滿足條件，理由如下：因為D，E，F(xiàn),G分別為AP,AC，BC，PB的中點，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四邊形DEFG為平行四邊形,因為PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四邊形DEFG為矩形,連接DF,EG，設(shè)Q為EG的中點,則DF∩EG=Q且QD=QE=QF=QG=12EG,分別取PC,AB的中點為連接ME，EN,NG，MG，MN，同理可證MENG為矩形。其對角線交點為EG的中點Q且QM=QN=12所以Q為滿足條件的點.存在性問題一般是探求點的位置,多為線段的中點或某個三等分點，一般點的情形很少,然后給出符合要求的證明,注意書寫格式要規(guī)范,一般有兩種格式:第一種書寫格式：探求出點的位置→證明→符合要求→寫出明確答案；第二種書寫格式:從結(jié)論出發(fā)“要使什么成立”，“只需使什么成立",尋求使結(jié)論成立的充分條件,類似于分析法。如圖,在四棱錐S—ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四邊形ABCD為正方形,且P為AD的中點,Q為SB的中點.（1）求證：CD⊥平面SAD.（2）求證:PQ∥平面SCD。（3)若SA=SD,M為BC的中點,在棱SC上是否存在點N，使得平面DMN⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論?！窘馕觥浚?)因為四邊形ABCD為正方形，所以CD⊥AD。又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD。（2)取SC的中點R，連接QR，DR。由題意知：PD∥BC且PD=12在△SBC中,Q為SB的中點,R為SC的中點，所以QR∥BC且QR=12所以QR∥PD且QR=PD，則四邊形PDRQ為平行四邊形,所以PQ∥DR.又PQ?平面SCD，DR平面SCD,所以PQ∥平面SCD.（3）存在點N為SC的中點,使得平面DMN⊥平面ABCD。連接PC,DM交于點O，連接PM，SP,NM，ND，NO,因為PD∥CM,且PD=CM，所以四邊形PMCD為平行四邊形,所以PO=CO.又因為N為SC的中點,所以NO∥SP。易知SP⊥AD，因為平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD.又因為NO平面DMN,所以平面DMN⊥平面ABCD.考點三折疊問題

命題精解讀1.考什么：（1）考查折疊條件下的證明與求值問題.（2)考查直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。2.怎么考：常見題型為由平面圖形折疊為立體圖形,證明線面的位置關(guān)系或求線段長與角的大小。新趨勢:折疊后證明平行或垂直關(guān)系.學霸好方法1。解決折疊問題的關(guān)鍵是弄清折疊前后的不變量。2.交匯問題:折疊實際是一種命題形式,其核心問題還是解決平行、垂直問題，平行與垂直的判定與性質(zhì)定理是解題的有力依據(jù).證明問題【典例】（2019·全國卷Ⅲ）圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2，∠FBC=60°。將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG,如圖2。 世紀金榜導學號(1)證明圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE。(2）求圖2中的四邊形ACGD的面積?！窘馕觥?1）由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個平面，從而A，C,G,D四點共面.由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因為AB平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE。（2)取CG的中點M,連接EM,DM。因為AB∥DE，AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知，四邊形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM。因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE=1，EM=3，故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4。本題中折疊前后的三個“不變量”:AB⊥BE，AB⊥BC，AB∥DE對解本題起到了什么作用？提示:作為證明問題的潛在條件。求值問題【典例】如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC,CD的中點,現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個四面體,使B,C,D三點重合,重合后的點記為P，則四面體P—AEF的高為 世紀金榜導學號(）A.13 B。23 C。34【解析】選B。如圖，由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直,所以PA⊥平面PEF,所以VA-PEF=13S△PEF·PA=13×12設(shè)P到平面AEF的距離為h,又S△AEF=22-12×1×2—12×1×2—12所以VP—AEF=13×32×h=所以h2=13,故h=對于不能直接求解的點到平面的距離問題常常用什么方法可以解決？提示:等積法.1。如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC=1,將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD,則折疊后BC=.

【解析】因為AD⊥BC,所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B—AD—C的平面角。因為平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC=90°。在△BCD中∠BDC=90°，BD=CD=22所以BC=(2答案：12。梯形ABCD中,AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC和AD的中點，將平面DCEF沿EF翻折起來,使CD到C′D′的位置,G，H分別為AD′和BC′的中點。求證:四邊形EFGH為平行四邊形?！咀C明】因為梯形ABCD中,AB∥CD,E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點,所以EF∥AB且EF=12又C′D′∥EF，EF∥AB,所以C′D′∥AB.因為G,H分別為AD′，BC′的中點,所以GH∥AB且GH=12(AB+C′D′)=1所以GH∥EF，且GH=EF，所以四邊形EFGH為平行四邊形.1.如圖,在長方形ABCD中，AB=2，BC=1,E為DC的中點,F為線段EC（端點除外）上一動點?，F(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB，K為垂足。設(shè)AK=t,則t的取值范圍是。

【解析】如圖，過D作DG⊥AF。垂足為G,連接GK,BF。因為平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，所以DK⊥平面ABC，所以DK⊥AF.又DG⊥AF，DG∩DK=D，所以AF⊥平面DKG,所以AF⊥GK，易得當F運動到E點時，K為AB的中點,t=AK=AB2當F運動到C點時,在Rt△ADF中，易得AF=5，且AG=15，GF=4又因為Rt△AGK∽Rt△ABF,則AGAK=ABAF,則t=12，所以t的范圍為1答案：12.如圖所示，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°,AB=2，AD=4,將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.(1）求證:AB⊥DE.(2）求三棱錐E—ABD的側(cè)面積。【解析】（1）在△ABD中,因為AB=2，AD=4，∠DAB=60°，所以BD=AB2+AD2-2AB·ADcos平面EBD∩平面ABD=BD,AB平面ABD，所以AB⊥平面EBD，因為DE平面EBD，所以AB⊥DE。（2）由(1）知AB⊥BD，CD∥AB，所以CD⊥BD,從而DE⊥BD。在Rt△DBE中,因為DB=23,DE=DC=AB=2,所以S△DBE=12DB·DE=23又因為AB⊥平面EBD，BE平面EBD，所以A