基本支撐體系數(shù)學(xué)資料數(shù)學(xué)史家中外數(shù)學(xué)家“百校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

蓋爾范德蓋爾范德，И．M．1913年9月2日生于烏克蘭奧德薩省紅窗市．?dāng)?shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、生物學(xué)．蓋爾范德出生于一個(gè)貧窮的猶太人家庭．由于家境貧寒，甚至未能完成中等教育．他在中學(xué)時(shí)就對(duì)數(shù)學(xué)極感興趣，試圖自學(xué)高等數(shù)學(xué)，但買不起書．他不得不趁得闌尾炎需動(dòng)手術(shù)之機(jī)向雙親要求，聲言如不給他買書，就不去敖德薩醫(yī)院．他終于得到了高等數(shù)學(xué)教材第一冊(cè)(父親的錢只夠買一本)，在醫(yī)院用9天時(shí)間自修了平面解析幾何和微分學(xué)．據(jù)他回憶，中學(xué)時(shí)實(shí)際上就獨(dú)立推出了歐拉-馬克勞林公式、伯努利數(shù)、前n個(gè)自然數(shù)p次冪的求和公式等，并培養(yǎng)了解題后繼續(xù)思考的習(xí)慣．1930年2月，蓋爾范德隨父去莫斯科投靠遠(yuǎn)親．起初生活困難，經(jīng)常失業(yè)，只得打工做雜活，包括在列寧圖書館做檢查員．閑暇時(shí)他都在圖書館讀書，補(bǔ)充在中學(xué)及未結(jié)業(yè)的職業(yè)技術(shù)學(xué)校沒(méi)有學(xué)到的知識(shí)．在圖書館，他結(jié)識(shí)了不少大學(xué)生，并到莫斯科大學(xué)旁聽(tīng)數(shù)學(xué)課，還參加討論班．他曾說(shuō)他平生第一所數(shù)學(xué)學(xué)校便是M．A．拉甫倫捷夫主持的復(fù)變函數(shù)討論班*年18歲時(shí)他即在夜校講授初等數(shù)學(xué)，后來(lái)也教高等數(shù)學(xué)．1932年，從未上過(guò)正規(guī)大學(xué)的蓋爾范德被莫斯科大學(xué)錄取為研究生，師從A．H．柯?tīng)柲缏宸颍髞?lái)說(shuō)，從莫斯科大學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)家那里他學(xué)到了許多知識(shí)，而從柯?tīng)柲缏宸蛏砩蠈W(xué)到最多，使他懂得當(dāng)代數(shù)學(xué)家應(yīng)該成為自然哲學(xué)家．柯?tīng)柲缏宸蜃屔w爾范德在新興的泛函分析領(lǐng)域從事研究．1935年，蓋爾范德以關(guān)于抽象函數(shù)和線性算子的論文獲副博士學(xué)位．在該文和稍早的另一篇論文中，他得到了泛函分析中不少基本結(jié)果，例如完全賦范空間的“桶型”性質(zhì)，通過(guò)二次對(duì)偶空間中的元素定義現(xiàn)稱的蓋爾范德-佩蒂斯積分等．他還在證明過(guò)程中建立了現(xiàn)在泛函分析中通用的通過(guò)連續(xù)線性泛函轉(zhuǎn)化為經(jīng)典分析中對(duì)象的方法．1940年，蓋爾范德獲蘇聯(lián)物理數(shù)學(xué)科學(xué)博士學(xué)位．在學(xué)位論文中，他創(chuàng)建了賦范環(huán)(現(xiàn)稱巴拿赫代數(shù))論．在短短2頁(yè)的論文中，他建立了賦范環(huán)論的基本框架．在緊接著發(fā)表的論文(文獻(xiàn)Vol．l，PP．172—174)中，他應(yīng)用賦范環(huán)論只用5行篇幅證明了N．維納(Wiener)早先在一篇長(zhǎng)文中證明的著名定理：如果一個(gè)不取零值的函數(shù)可展開(kāi)為絕對(duì)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)，則其倒數(shù)也可展開(kāi)為絕對(duì)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)．他還指明用類似方法可以證明一系列定理．這項(xiàng)成就顯示了賦范環(huán)論的威力，引起國(guó)際數(shù)學(xué)界極大興趣．1943年起蓋爾范德任莫斯科大學(xué)教授，后來(lái)還領(lǐng)導(dǎo)蘇聯(lián)科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所的一個(gè)部門．1967年他主持創(chuàng)辦《泛函分析及其應(yīng)用》雜志并任主編．從20世紀(jì)30年代后期以來(lái)，蓋爾范德在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多分支進(jìn)行了大量卓有成效的研究．50年代末，他開(kāi)始研究生物學(xué)和生理學(xué)．截止到1992年，他本人或與別人合作發(fā)表論文近500篇．其中概觀性論文約占7％；關(guān)于泛函分析和調(diào)和分析的約占6％；關(guān)于群表示論的約占16％；關(guān)于積分幾何與廣義函數(shù)的約占8％；關(guān)于無(wú)窮維李代數(shù)上同調(diào)的約占6％；關(guān)于微分方程和數(shù)學(xué)物理的約占9％；關(guān)于生物學(xué)和生理學(xué)的約占23％；其他25％．他還寫作教材或?qū)Ｖ?8本．1987年至1989年，施普林格出版社出版了《蓋爾范德文選》．此文選經(jīng)作者審定，凡3卷，共收入論文167篇．蓋爾范德于1953年當(dāng)選為蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院士，1984年當(dāng)選為院士．他于1966年至1970年任莫斯科數(shù)學(xué)會(huì)主席，現(xiàn)為該會(huì)名譽(yù)會(huì)員．他是許多著名科學(xué)院或?qū)W會(huì)的成員，其中有英國(guó)皇家學(xué)會(huì)、美國(guó)國(guó)家科學(xué)院、美國(guó)科學(xué)與藝術(shù)學(xué)院、巴黎科學(xué)院、瑞典皇家科學(xué)院．他還是牛津大學(xué)、哈佛大學(xué)、巴黎大學(xué)的名譽(yù)博士．在國(guó)內(nèi)，他曾獲一次列寧獎(jiǎng)、兩次國(guó)家獎(jiǎng)．1978年首次頒發(fā)沃爾夫獎(jiǎng)時(shí)，他與C．L．西格爾(Siegel)一起榮獲數(shù)學(xué)獎(jiǎng)．蓋爾范德曾在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作過(guò)三次全會(huì)報(bào)告(1954，1962，1970)．這頗能說(shuō)明他在當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)展中的突出地位．迄今為止，只有V．沃爾泰拉(Volterra)做過(guò)4次全會(huì)報(bào)告；而做過(guò)三次的，另外也只有三位，就是E．嘉當(dāng)(Cartan)、L．阿爾福斯(Ahlfors)和A．韋伊(Weil)．巴拿赫代數(shù)、調(diào)和分析20世紀(jì)30年代中期，J．馮·諾伊曼(vonNeumann)建立了馮·諾伊曼代數(shù)的艱深理論．多少有點(diǎn)奇怪的是，雖然當(dāng)時(shí)也有人進(jìn)行過(guò)關(guān)于交換賦范代數(shù)的零碎研究，卻一直沒(méi)有建立起一般理論．直到30年代末40年代初，才由蓋爾范德完整地創(chuàng)建了巴拿赫代數(shù)的系統(tǒng)理論。在定義一般賦范環(huán)R后，蓋爾范德極富創(chuàng)造性地引進(jìn)并抓住極大理想這一基本概念．他建立了R的特征標(biāo)空間到R的極大理想的空間之間的一一對(duì)應(yīng)，定義了現(xiàn)稱為蓋爾范德變換的映射，并證明每個(gè)賦范環(huán)R都能同態(tài)地映到定義于R的極大理想構(gòu)成的豪斯多夫空間上的連續(xù)函數(shù)環(huán)中，而這一同態(tài)為同構(gòu)的必要充分條件是R中不存在廣義冪零元．他還證明賦范域必同構(gòu)于復(fù)數(shù)域(蓋爾范德-馬祖爾定理)．蓋爾范德另一極富創(chuàng)造性的思想，是把在此以前希爾伯特空間中線性算子的譜論推廣到賦范代數(shù)的元素上，從而建立了一般譜論．對(duì)于R的元素x，他定義使得x-ζe(e是R的單位元)在R中不可逆的復(fù)數(shù)ζ的集合為x的譜．他洞察到為使這個(gè)概念富有成果，應(yīng)假定R是完全的，這就是巴拿赫代數(shù)．他證明巴拿赫代數(shù)中任一元素x的譜是非空緊集．他稱以原點(diǎn)為中心、包合x的譜的最小圓的半徑為x的譜半徑，并蓋爾范德創(chuàng)建的巴拿赫代數(shù)理論，幾十年來(lái)一直是泛函分析最活躍的研究領(lǐng)域之一．他關(guān)于極大理想的觀念，不僅革新了調(diào)和分析，而且對(duì)代數(shù)幾何的發(fā)展產(chǎn)生了很大影響．他建立的一般譜論，使得20世紀(jì)前30年中由D．希爾伯特(Hilbert)和馮·諾伊曼等建立的希爾伯特空間中算子的譜論極大地簡(jiǎn)單化和一般化．在輝煌地建立賦范環(huán)論后，蓋爾范德［由M．A．奈瑪克(HaMAPK)合作］又創(chuàng)建了c*代數(shù)的一般理論．本來(lái)c*代數(shù)指的是希爾伯特空間中的一致閉算子代數(shù)，但蓋爾范德和奈瑪克在其奠基性論文中指出無(wú)須使用希爾伯特空間，只要在賦范環(huán)中引進(jìn)稱為對(duì)合的映射x→x*(滿足(x+y)*=x*+y*，(xy)*=y*x*，(λx)*=λx*，(x*)*=x，||x*x||=||x||2)，即可定義“一般的具有對(duì)合的賦范環(huán)”．文中證明了下述基本結(jié)果：每個(gè)非交換的具有對(duì)合的賦范環(huán)可實(shí)現(xiàn)為某個(gè)希爾伯特空間中線性連續(xù)算子連同其自然對(duì)合(對(duì)應(yīng)到伴隨算子)所構(gòu)成的環(huán)．具有對(duì)合的巴拿赫代數(shù)，就是現(xiàn)稱的c*代數(shù)．通過(guò)c*代數(shù)上的態(tài)，可以得到著名的GNS(蓋爾范德-奈瑪克-西格爾)構(gòu)造．運(yùn)用蓋爾范德的理論，就能得到先前F．里斯(Riesz)、馮·諾伊曼的“單位分解理論”和E．赫林格(Hellinser)、H．哈恩(Hahn)的“重?cái)?shù)理論”的現(xiàn)代描述．到了50年代，c*代數(shù)已成為泛函分析的一個(gè)基本工具．由于可以把量子系統(tǒng)的觀測(cè)量代數(shù)解釋為c*代數(shù)，而這時(shí)量子系統(tǒng)的狀態(tài)相當(dāng)于c*代數(shù)上的態(tài)，因此c*代數(shù)在60至70年代關(guān)于量子場(chǎng)論的公理化處理中起了主導(dǎo)作用．蓋爾范德［由дA．拉伊科夫(PaKOB)合作］還運(yùn)用賦范環(huán)論，把實(shí)數(shù)直線上的調(diào)和分析推廣到局部緊阿貝爾群上，同韋伊的工作一起，完整地建立了局部緊阿貝爾群上的調(diào)和分析．他指出局部緊阿貝爾群G上關(guān)于哈爾測(cè)度為可積的函數(shù)的全休L1(G)構(gòu)成一個(gè)巴拿赫代數(shù)，定義L1(G)中元素f的傅里葉變換f，建立其反演公式以及相當(dāng)于帕塞瓦爾等式和普朗切雷爾定理的命題，證明L1(G)的閉理想I等于L1(G)的必要充分條件是存在f∈L1(G)，使對(duì)G的每個(gè)特征標(biāo)x有f(x)≠0，當(dāng)G為實(shí)數(shù)直線時(shí)，這個(gè)命題包含維納的廣義陶伯型定理．他(由奈瑪克合作)用賦范環(huán)論研究帶調(diào)和函數(shù)，證明對(duì)于群G在希爾伯特空間H中的不可約酉表示T和G的子群U，H中至多含有一個(gè)關(guān)于算子Tu(u∈U)為不變的向量，從而為帶調(diào)和函數(shù)論建立了基礎(chǔ)．群表示論蓋爾范德一直十分關(guān)注分析中的代數(shù)問(wèn)題．從40年代初期起，他就研究連續(xù)群的表示理論，把它看作體現(xiàn)代數(shù)與分析緊密結(jié)合的最為激動(dòng)人心的分支．事實(shí)上，表示論也確實(shí)是40年代以來(lái)數(shù)學(xué)中最活躍的研究領(lǐng)域之一．20世紀(jì)初，F(xiàn)．G．弗羅貝尼烏斯(Frobenius)和I．舒爾(Schur)研究了有限群的有限維表示．后來(lái)E．嘉當(dāng)和H．外爾(Weyl)對(duì)緊李群的有限維酉表示進(jìn)行了基礎(chǔ)性研究．由于物理學(xué)發(fā)展的需要，E．P．威格納(Wigner)在其關(guān)于非齊次洛倫茨群的論文中首次研究了無(wú)限維酉表示．在1943年的論文中，蓋爾范德(由拉伊科夫合作)首先正確地提出表示論的基本問(wèn)題：“表示為酉矩陣的自然推廣是表示為希爾伯特空間中的酉算子”．文中基于酉表示與正定函數(shù)之間的聯(lián)系，證明每個(gè)局部緊群具有不可約酉表示的完全系．這是抽象調(diào)和分析和群表示論中最重要的定理之一，為以后大量研究提供了基礎(chǔ)．接著，從1944至1948年，蓋爾范德(由奈瑪克合作)在一系列論文(文獻(xiàn)，Vol．2，PP．41—137；；)中，構(gòu)造了經(jīng)典復(fù)李群的無(wú)窮維表示．他們從簡(jiǎn)單明顯的公式，給出2階幺模復(fù)矩陣群SL(2，C)的所有不可約酉表示，把它們分為主系列和補(bǔ)系列，證明SL(2，C)的任一酉表示可分解為主系列和補(bǔ)系列中表示的直和．由于SL(2，C)局部同構(gòu)于洛倫茨群，所以這一工作也首次給出了洛倫茨群的全部酉表示，從而也是對(duì)理論物理的一個(gè)貢獻(xiàn)．這項(xiàng)工作同1947年V．巴格曼(Bargmann)關(guān)于SL(2，R)不可約酉表示的研究一起，成為酉表示論的真正起點(diǎn)．蓋爾范德進(jìn)一步研究了復(fù)半單李群的不可約酉表示．以n階幺模復(fù)個(gè)參數(shù)的函數(shù)構(gòu)成的空間中．他引進(jìn)“廣義線性元素”z，在z的空間中引進(jìn)適當(dāng)?shù)臏y(cè)度，考慮關(guān)于此測(cè)度為平方可積的函數(shù)的空間H．對(duì)于g∈G，由Tgf(z)=f(zg)α(zg)確定G到H中的算子Tg(α由Tg1g2=Tg1Tg2和Tg為酉算子來(lái)確定)．這樣定義的酉表示都是不可約的．按照在H上引進(jìn)內(nèi)積的不同方式，把這些表示分為主系列和補(bǔ)系列；考慮“具有刪節(jié)的廣義線性元素”，得到退化主系列和退化補(bǔ)系列．他對(duì)每種不可約表示求出相應(yīng)的特征標(biāo)的具體形式．他定義了經(jīng)典群不可約酉表示的跡，得到其顯式表示，并證明在不計(jì)等價(jià)意義下表示為其跡唯一決定．對(duì)于k為任意局部緊非離散域時(shí)SL(2，k)的酉表示，他[由M．И．戈拉葉夫(ΓpaeB)合作]建立了統(tǒng)一的理論，完整列舉了SL(2，k)的不可約酉表示，指出除主系列和補(bǔ)系列外，還有3個(gè)離散表示系列和1個(gè)奇異表示系列，并用特征標(biāo)給出普朗切雷爾公式(文獻(xiàn)Vo1．2，pp．450—456；文獻(xiàn)，VI，第2章)．由于數(shù)學(xué)與流體力學(xué)、量子場(chǎng)論中常出現(xiàn)無(wú)窮維李群，蓋爾范德[由戈拉葉夫、A．M．韋爾?？?BepШИk)等合作]對(duì)無(wú)窮維酉表示也進(jìn)行了很多研究．例如，對(duì)于具有規(guī)范理論背景的群Gx(黎曼流形X上取值于緊半單李群G中的光滑函數(shù)組成的群)，借助毛瑞爾-嘉當(dāng)閉上鏈，構(gòu)造出Gx在?？丝臻gexpX上的表示系列，證明當(dāng)dimX≥4時(shí)這些表示是不可約的．(后來(lái)別人證明dimX=3時(shí)是不可約的而dimX=1時(shí)則是可約的．)蓋爾范德對(duì)自守形式作了重要研究，他認(rèn)為自守函數(shù)論中幾乎所有問(wèn)題都可陳述為把給定半單李群G在函數(shù)空間中的表示分解為不可約表示．在1952年關(guān)于常負(fù)曲率流形上測(cè)地流的論文(文獻(xiàn)，Vo1．2，PP．321—327，由C．B．福明(ФOMИH)合作)中，他證明自守形式的空間的維數(shù)等于離散序列的表示在給定表示中出現(xiàn)的重?cái)?shù)．后來(lái)他又由И．И．皮亞捷茨基-沙皮羅合作，對(duì)半單李群G在空間G／T(T是G子群)中表示的譜進(jìn)行了系統(tǒng)研究((959)，pp．171—194；；，VI))，得到了蓋爾范德-皮亞捷茨基-沙皮羅互反律(G／T上正則表示中不可約表示U的重?cái)?shù)等于U的所有自守形式構(gòu)成的線性空間的維數(shù))和跡公式．蓋爾范德對(duì)表示論的研究歷時(shí)40余年，幾乎對(duì)這個(gè)領(lǐng)域的所有方面都有建樹(shù)．例如，他在研究李代數(shù)的包絡(luò)代數(shù)時(shí)提出的現(xiàn)稱為蓋爾范德-基里洛夫維數(shù)的概念(文獻(xiàn)，Vo1．2，pp．613—630)，導(dǎo)致V．卡茨(Kac)對(duì)這種維數(shù)為有限的代數(shù)進(jìn)行分類，進(jìn)而提出在理論物理中很有用的卡茨-穆迪代數(shù)．蓋爾范德關(guān)于經(jīng)典群的無(wú)窮維表示可以與有限維表示一樣具有清晰優(yōu)美的描述的基本觀點(diǎn)，已被證明是十分深邃的．盡管像E．嘉當(dāng)、外爾、A．賽爾伯格(Selberg)、韋伊這樣的大師都對(duì)表示論進(jìn)行過(guò)研究，但按A．A．基里洛夫的范圍廣闊、方法深刻、結(jié)果完善而言，蓋爾范德是無(wú)與倫比的(文獻(xiàn)，Vo1．2，PP．V)．積分幾何f積分幾何的系統(tǒng)研究始自W．J．E．布拉施克(Blaschke)．但蓋爾范德認(rèn)為，20世紀(jì)50年代以前它的研究領(lǐng)域相當(dāng)狹窄，主要是對(duì)某些齊性空間計(jì)算不變測(cè)度．他提出積分幾何的基本課題應(yīng)當(dāng)是：在空間X內(nèi)給定依賴于參數(shù)λ1，…，λk的解析流形M=M(λ)=M(λ1，…，λk)，對(duì)于X上滿足一定條件的函數(shù)f(x)，作沿所給流形的；如是，求出通過(guò)I(λ)表達(dá)f(x)的公式，并研究λ的何種函數(shù)可表示為上述形式的積分．對(duì)于Cn中的平面復(fù)形，他解決了積分幾何的基本問(wèn)題．蓋爾范德(由戈拉葉夫合作)在積分幾何研究中創(chuàng)造了強(qiáng)有力的“極限球面’方法．設(shè)X是作用在變換群G上的齊性空間，則對(duì)每個(gè)g∈G，群G在X上的函數(shù)f(x)的空間E中有由Tgf(x)=f(xg)定義的表示，這種表示須分解為不可約表示，于是積分幾何就與表示論自然地聯(lián)系在一起．在對(duì)半單李群解決分解問(wèn)題時(shí)，他提出在X中挑出稱為“極限球面”的子流形(它是Rn中超平面概念的推廣，當(dāng)X是羅巴切夫斯基空間、G是X中的運(yùn)動(dòng)群時(shí)，就是經(jīng)典的極限球面)，把G看成作用于極限球面構(gòu)成的空間X＇上．一般地說(shuō)，G在X＇上的函數(shù)的空間E＇

他發(fā)現(xiàn)對(duì)于復(fù)半單李群解調(diào)和分析中許多問(wèn)題都可歸結(jié)為用極限球面方法解積分幾何問(wèn)題．他還給出通過(guò)積分幾何方法構(gòu)造纏結(jié)算子的一般原理．廣義函數(shù)蓋爾范德是充分看出C．索伯列夫和隨后L．施瓦爾茨(Schwartz)關(guān)于廣義函數(shù)的理論的重要性和遠(yuǎn)大前景的第一位蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家．在50年代后廣義函數(shù)論的發(fā)展中，蓋爾范德及其合作者起了帶頭作用．早在1953年，他就提出能夠而且必須在各種基本函數(shù)空間上構(gòu)造廣義函數(shù)并對(duì)不同問(wèn)題選取最適合的函數(shù)空間的思想(8(1953)，pp．3—54)這個(gè)思想使廣義函數(shù)成為具有廣泛適應(yīng)性的工具，得以應(yīng)用于微分方程、表示論、積分幾何、隨機(jī)過(guò)程論等領(lǐng)域．1958年至1966年，蓋爾范德與F．E．希洛夫、H．維列金、戈拉葉夫、皮亞捷茨基-沙皮羅合版了以《廣義函數(shù)》為總標(biāo)題的6卷巨著．第一卷討論廣義函數(shù)的定義及基本性質(zhì)，廣義函數(shù)的傅里葉變換和各種特殊類型的廣義函數(shù)．第二卷考察各種類型基本函數(shù)空間和其上的廣義函數(shù)以及相應(yīng)的傅里葉變換．第三卷應(yīng)用廣義函數(shù)研究偏微分方程組柯西問(wèn)題解的唯一性類和適定性類以及自伴微分算子按特征函數(shù)的展開(kāi)．第四卷主要研究核空間及其應(yīng)用并引進(jìn)裝備希爾伯特空間，后者使許多結(jié)果更加完備優(yōu)美．此卷還討論正定廣義函數(shù)、廣義隨機(jī)過(guò)程與線性拓?fù)淇臻g上的測(cè)度論．第五卷以積分幾何為基礎(chǔ)，研究洛倫茨群以及與之有關(guān)的齊性空間上的調(diào)和分析．第六卷中研究表示論與自守函數(shù)．這套書享有國(guó)際盛譽(yù)，有中、英、法、德文譯本，已成為訓(xùn)練分析學(xué)家的基本教材和經(jīng)典著作．無(wú)窮維李代數(shù)的上同調(diào)C．謝瓦萊(Chevally)和S．艾倫伯格(Eilenberg)于1948年給出了李代數(shù)上同調(diào)的形式定義．在其后20年中，有限維李代數(shù)的上同調(diào)論得到了廣泛發(fā)展．1968年起，蓋爾范德[主要由Д．B．富克斯(ФyKC)合作]寫了一系列論文，研究無(wú)窮維李代數(shù)的上同調(diào)．這一理論現(xiàn)稱為蓋爾范德-富克斯上同調(diào)．他們證明，如果M是n維閉可走向微分流形，u(M)是M上光滑切向量構(gòu)成的李代數(shù)，以泊松括號(hào)為換位運(yùn)算，則對(duì)任何q，同調(diào)空間Hq(u(M)；R)是有限維的；當(dāng)0≤q≤n

R)由一個(gè)2維生成子和一個(gè)3維生成子生成，這兩個(gè)生成子都有簡(jiǎn)單的顯式表示．對(duì)于Rn中形式向量場(chǎng)的李代數(shù)Wn，蓋爾范德等通過(guò)格拉斯曼流形的骨架引進(jìn)空間Xn，證明對(duì)所有q，n，Hq(Wn；R)同構(gòu)于Hq(Xn；R)；環(huán)H*(Wn；R)中的乘法是平凡的，即兩個(gè)正維數(shù)元素之積為零．空間Xn的上同調(diào)可以用標(biāo)準(zhǔn)的拓?fù)浞椒ㄓ?jì)算，例如，當(dāng)0＜q≤2n和q＞n(n+2)時(shí)它是平凡的．他在研究Wn的上同調(diào)中所建立的許多引理，后來(lái)表明與葉狀結(jié)構(gòu)示性類的構(gòu)造有密切聯(lián)系，具有重要的意義．由于蓋爾范德-富克斯上同調(diào)與代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、分析、量子場(chǎng)論以及幾何中許多問(wèn)題有關(guān)，因而這項(xiàng)研究在國(guó)際上引起了很大反響，激發(fā)了大量的后繼研究，例如C．戈德比隆(Godbillon)和J．維伊(Vey)的工作．微分方程微分算子的譜與該算子中系數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)于應(yīng)用是一個(gè)重要問(wèn)題．考慮在(0，+∞)上給定的二階微分方程y＂+(λ-q(x))y=0及邊界條件y(0)=1，y＇(0)＝h，其中q(x)在任一有限區(qū)間上連續(xù)．熟知這時(shí)存在譜函數(shù)ρ(λ)．蓋爾范德[由M．列維坦合作]于1951年研究其反問(wèn)題：給定函數(shù)ρ(λ)，定是否存在上述形式的微分方程，以所給ρ(λ)為其譜函數(shù)；如果存在，確定計(jì)算q(x)的方法．雖然此前已有人在這方面從事過(guò)研究，但蓋爾范德用了獨(dú)創(chuàng)的方法即轉(zhuǎn)化為積分方程的方法．他通過(guò)積分方程表述了ρ(λ)是所給問(wèn)題的譜函數(shù)的必要充分條件．對(duì)于有限區(qū)間上的同類方程及邊界條件，他證明對(duì)于滿足漸近等式的任一數(shù)列，都能構(gòu)造q(x)，使所給數(shù)列是相應(yīng)的特征值序列對(duì)于[0，π]上的微分方程y＂+(λ-q(x))y=0-hy(0)＝0，y＇(π)＋Hy(π)＝0的特征值序列｛λｎ｝，他們得到十分簡(jiǎn)單的等式其中｛μn｝是方程y＂+μy=0連同上述邊界條件的特征值序列．對(duì)于最簡(jiǎn)單的邊界條件y(0)=y(π)=0，就有(Vo1．1，PP．457—461．)蓋爾范德建立的通過(guò)轉(zhuǎn)化為線性積分方程解逆譜問(wèn)題的方法，后來(lái)為L(zhǎng)．S．伽德納(Gardner)等在研究kdV方程孤立子解時(shí)所采用，以后由P．D．拉克斯(Lax)等發(fā)展為求解非線性微分方程初值問(wèn)題的一種系統(tǒng)方法——散射反演方法．1960年，蓋爾范德提出了橢圓型偏微分方程的同倫分類問(wèn)題(文獻(xiàn)，Vo1．1，pp．65—75；其實(shí)他于1945至1946年已在討論班上提出過(guò)這一問(wèn)題)．他給出兩個(gè)方程或問(wèn)題為同倫的定義，指出尋找同倫不變量并用方程的系數(shù)加以描述具有重要意義，并特別指明“可以預(yù)期的一個(gè)同倫不變量是問(wèn)題的指標(biāo)，即給定齊次問(wèn)題線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)與相應(yīng)的伴隨齊次問(wèn)題線性無(wú)關(guān)解個(gè)數(shù)之差”．這篇短文影響深遠(yuǎn)，啟發(fā)了關(guān)于指標(biāo)理論的持久研究．M．F．阿蒂亞(Atiyah)和I．M．辛格(Singer)在牛津考慮他們著名的指標(biāo)定理時(shí)，該文是他們最早接觸到的論文．70年代后半期，蓋爾范德[由ДA．狄基合作]再次研究逆譜問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)第k個(gè)拉克斯算子正是其中D2+q是希爾方程，(D2+q)是其s復(fù)冪，(D2＋q)是其按D作偽微分展開(kāi)時(shí)的正部．這個(gè)結(jié)果在以后R．B．艾德勒(Adler)等的研究中起了重要作用．蓋爾范德還發(fā)展了一種形式變分法理論，揭示了孤立子方程的哈密頓特征，并為代數(shù)地計(jì)算其積分提供了形式工具．生物學(xué)和生理學(xué)蓋爾范德于1958年開(kāi)始研究生物學(xué)和生理學(xué)．他先開(kāi)設(shè)一個(gè)有關(guān)的討論班，然后與其他領(lǐng)域?qū)＜医M織了一個(gè)使生理學(xué)家、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家在研究的各個(gè)階段都能互相交流合作的實(shí)驗(yàn)室．該室實(shí)施了關(guān)于運(yùn)動(dòng)控制和小腦生理學(xué)的許多研究項(xiàng)目．他同M．瓦西列夫合作，在莫斯科大學(xué)建立了生物學(xué)數(shù)學(xué)方法系際實(shí)驗(yàn)室．蓋爾范德與M．采特林等合作，用獨(dú)創(chuàng)的“深谷法”研究運(yùn)動(dòng)的操作控制(文獻(xiàn)，Vo1．3，pp．686—702)．他與И．阿爾沙夫斯基等合作，提出了非個(gè)體控*制多層系統(tǒng)的觀念，通過(guò)對(duì)可控制運(yùn)動(dòng)的標(biāo)本的實(shí)驗(yàn)，證實(shí)脊髓中存在信號(hào)傳遞途徑，還研究了通過(guò)不同路徑進(jìn)入小腦信號(hào)之間的差別(1969)，pp．167—176；2(1970)，PP．581—586；pp．375—383)．在蓋爾范德等研究肝肌腹水腫瘤細(xì)胞復(fù)合體的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)肝腹水有兩類新的細(xì)胞間接觸作用——有絲分裂圈的同步化和增殖的接觸加速．他們通過(guò)成纖維細(xì)胞培養(yǎng)，揭示了兩組形態(tài)發(fā)生過(guò)程——?dú)蛹?xì)胞質(zhì)的產(chǎn)生和細(xì)胞的極化(2(1971)*pp．138—144；Ц，13(1971)，pp．1362—1377)．*蓋爾范德與另外幾位學(xué)者合寫了關(guān)于培養(yǎng)中的腫瘤細(xì)胞與正常細(xì)胞，關(guān)于正常細(xì)胞、腫瘤細(xì)胞與培養(yǎng)基的相互作用以及關(guān)于小腦與有節(jié)奏運(yùn)動(dòng)的控制等三部專著．應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，除最早幾篇論文外，蓋爾范德完全是以生物學(xué)專家的面貌，同有關(guān)專家合作做大量實(shí)驗(yàn)并進(jìn)行理論探討，而不是把數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于生物學(xué)，也不是開(kāi)發(fā)生物學(xué)的數(shù)學(xué)模型．其他領(lǐng)域蓋爾范德對(duì)計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)．他與別的學(xué)者合作，提出研究一類差分問(wèn)題穩(wěn)定性的有效方法和解隱式差分格式的復(fù)搜索法(文獻(xiàn)，Vo1．3，pp．617—647)；提出梯度法不能奏效時(shí)可用的“深谷法”(文獻(xiàn)，Vo1．3，PP．648—670)，并把此法用于質(zhì)子散射的相位分析與晶體結(jié)構(gòu)辨認(rèn)．他與物理學(xué)家合作進(jìn)行了世界上關(guān)于穩(wěn)定磁流體動(dòng)力學(xué)的最早幾個(gè)數(shù)值計(jì)算之一．蓋爾范德與伊藤清同為廣義隨機(jī)過(guò)程論的奠基者．他定義了廣義隨機(jī)過(guò)程，研究其特征泛函，建立了獨(dú)立值廣義隨機(jī)過(guò)程理論(文獻(xiàn)，Vo1．3，PP．529—533；文獻(xiàn)，IV，第三章)．這項(xiàng)工作為白噪聲分析提供了精確的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．蓋爾范德還研究醫(yī)學(xué)診斷．他同有關(guān)專家合作于1971年研制成功出血后果預(yù)后機(jī)，可在病人進(jìn)院后6小時(shí)的信息基礎(chǔ)上判斷該用保守療法抑或動(dòng)手術(shù)．他發(fā)展了稱為診斷博弈的方法，并把它成功地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)的許多問(wèn)題．70年代中期以來(lái)，蓋爾范德的注意力部分轉(zhuǎn)向幾何學(xué)．他得到第一龐特里亞金有理類的組合公式，對(duì)格拉斯曼流形的幾何進(jìn)行了研究并在任意正規(guī)龐特里亞金類的公式上取得顯著進(jìn)展(文獻(xiàn)，Vo1．3；Bull．Amer．Math．Soc，26(1992)，pp．304—309)．蓋爾范德與地球物理學(xué)家、應(yīng)用數(shù)學(xué)家合作，提出了識(shí)別強(qiáng)烈地震潛在震源的一種方法．他同蘇、美一些學(xué)者聯(lián)名發(fā)表的關(guān)于模式識(shí)別應(yīng)用于加利福尼亞地震震中的論文(Phys．EarthPlanetInter.，(1976)，pp．277—283)，是強(qiáng)震模式識(shí)別的奠基性論著．他與另外四位學(xué)者合寫了關(guān)于中亞和東亞地區(qū)可能的強(qiáng)震震源識(shí)別的專著．1986年，73高齡的蓋爾范德發(fā)表關(guān)于超幾何函數(shù)一般理論的論文(文獻(xiàn)，Vo1．3，pp．877—881)；以后他又同人合作展開(kāi)了廣泛的研究．他觀察到高斯超幾何函數(shù)可以自然地用約翰變換來(lái)解釋，由此推廣到多維情形，并對(duì)超幾何函數(shù)各種表面上互不關(guān)聯(lián)的特例提供統(tǒng)一的闡述，開(kāi)創(chuàng)了一種富有前景的新理論．研究工作的特點(diǎn)從上面關(guān)于蓋爾范德科學(xué)成就的簡(jiǎn)略介紹中，可以看到他研究領(lǐng)域之廣泛，令人驚嘆．B．科斯坦特(Kostant)認(rèn)為，在20世紀(jì)后半期，蓋爾范德比任何別的數(shù)學(xué)家在更多的領(lǐng)域發(fā)表了大量開(kāi)拓性論著．在這方面，20世紀(jì)前半期中也只有希爾伯特和外