固體物理競(jìng)賽題目

1V000m8nn間的hcnaaa221V000m8nn間的hcnaaa221.設(shè)體中的每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能試用拜模求晶的點(diǎn)振能.明:根據(jù)子力零能是諧振子固有，與度關(guān)，故T=0K時(shí)動(dòng)能就是振0動(dòng)模點(diǎn)能和。023分有

代入積VE48

9，由于得ENkmDBD一股晶體德拜溫度102，可見零振動(dòng)能相大的，量可與溫?cái)?shù)度所需熱相比．試出二維長(zhǎng)方格子的第一、第二布里淵區(qū).證：在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的布洛赫電子，在K空間中軌積和在r空的軌跡面積qB之)Sddr解：cdrdt兩邊對(duì)t,即k=r

)Ar))qBn

24.證的倒格子為體心立方解：面立方晶格的基為a2則面立原體積V=a]

a4面立方倒格矢a

bV

a34

=a同：

2a

a然面立晶倒體立方5.證：根據(jù)倒格子的定義證明簡(jiǎn)單立方格子體積與其倒體反比解設(shè)簡(jiǎn)立方晶格常數(shù)為，則基矢為ai,aj,體積V=3文檔23n223n2其倒矢b1

a223Va

i

a，31V

j

a2，Va

則倒格體積]3

V.是與庫倫晶型，？答不在庫侖力無的型因?yàn)楣矁r(jià)結(jié)中電子雖不能離電負(fù)原但近個(gè)各一電形成電共的狀位兩子之通庫力兩原結(jié)起來離子晶體中正負(fù)離子的吸引力是庫侖力金屬晶中原子實(shí)與電云之間的作用力為侖力分結(jié)中電偶極矩原分的原結(jié)起，電偶極就庫力氫鍵合，與負(fù)大原子價(jià)結(jié)，鍵電中不重，使通庫侖力與電負(fù)大的原結(jié)..如有單晶的振動(dòng)寫成如下駐波形證格的色關(guān)系行的相d2解一維單原子列的運(yùn)動(dòng)方程為：mdt2

nnn將

題

設(shè)

中

駐

波

解

帶

入

得：

sin

taq

nsin

Asinsin

naqin

naq2sin)

2m

42(aq)m即駐波散關(guān)系與行波樣.證二正格于第布淵的隅的個(gè)自子動(dòng)能該側(cè)中心處動(dòng)能的二。再對(duì)維簡(jiǎn)單立方格,其相應(yīng)的倍數(shù)是多少？（a二維簡(jiǎn)格的晶格為，倒格基矢,B第布里淵區(qū)如圖所文檔中矢?矢?222x2m2aa2a??aaa?量;2222中矢?矢?222x2m2aa2a??aaa?量;2222222222aaa2maa

a

0

區(qū)邊波Ai,角頂點(diǎn)波

j自電能量

yz

A點(diǎn)能量K222

2

B點(diǎn)量y

2m

所以2Bb)單立方晶的晶格常為，倒格子基矢為第一里淵如7—所．A點(diǎn)能

B點(diǎn)能量2K2xy

,所以B設(shè)證應(yīng)緊縛方法于維原鏈。果計(jì)近鄰原子間相作用其S態(tài)能帶為論述霍系數(shù)測(cè)量原理及在化合物研究中應(yīng)用。將導(dǎo)體放在平面里，加上z方向磁場(chǎng)通以方向流，導(dǎo)體內(nèi)沿y向?qū)a(chǎn)電場(chǎng)當(dāng)電場(chǎng)達(dá)到定時(shí)qvxz文檔六的數(shù)DDxxxyxz六的數(shù)DDxxxyxzyxyyyz故六的數(shù)0因電流密度為為穴密度,則xx

1

jz

1中子導(dǎo)電情況類似在合半體究，爾數(shù)測(cè)可接得流密而從符可判是子電還是穴電。0證明體常為0解：設(shè)電常數(shù)為二階量，D,E分別位量場(chǎng)，則D

E

，（中αβ示軸分量z軸與角體重軸行與基平行設(shè)沿z軸方，則y

zxzy

0xz

，Dyz

，Ezzzz如體和電場(chǎng)同時(shí)繞zπ使x軸轉(zhuǎn)到-x軸，軸y則后

'

x

D

由于上述轉(zhuǎn)動(dòng)是六角晶體的一個(gè)對(duì)稱操D

，D'D'xy故

zx

，zyzy

，同理取場(chǎng)x軸向并x軸π，可得，從而因二張本性

，常為有體平時(shí)積為原間作μ.如相距為的原子作勢(shì)能為明體積彈性模為以格林艾森狀態(tài)近似公式發(fā)說明晶格膨脹產(chǎn)生的原畫出一緊束縛近似狀下（（k數(shù)形電定場(chǎng)作用下的動(dòng)以說明設(shè)電F=-eE,則空間，由電子能在一能，用化表示電子一移同時(shí)另一移，電子在間，電時(shí)電子度的電子在間的。文檔E(kJpE(kJp)esa試以能帶結(jié)解釋半導(dǎo)體、導(dǎo)體、絕緣體導(dǎo)體中僅有未被電子占據(jù)的空帶和被電占滿的滿帶，還有部分被電子占的導(dǎo)帶。本征半導(dǎo)雖只滿帶空帶但和空之間禁帶窄熱發(fā)很容使子入，使原的成為空成為帶。電性源價(jià)中的穴帶中電。質(zhì)半導(dǎo)體禁帶中有質(zhì)級(jí)，提供子接電形空參電。絕體只滿和空，禁帶寬難導(dǎo)電以金屬熱電子發(fā)射現(xiàn)象出發(fā)說明熱電偶測(cè)溫原如圖，、為不的金，根量子論，電子射的射電為由j與度關(guān)金A在M和發(fā)射電流不同，將A的兩端生電勢(shì)，理B的端也將生勢(shì)u2。雖然和u2兩j與Ef有，AB的Ef不同因u1不于這樣便在AB構(gòu)成的回路產(chǎn)電流，此電流與MN的度有關(guān)。測(cè)量回中的電便可到M和N的溫度關(guān)系，這就是熱電偶測(cè)溫原理。解釋自由電和近自由電子能態(tài)密度函數(shù)自由電能態(tài)密度函數(shù)為g(w)=cE^1/2近由電只里區(qū)界產(chǎn)生較畸。離里區(qū)界，態(tài)度數(shù)與自電接近，量接邊界處，隨著的加，面一比一更烈的，的體來的，，能態(tài)密在近時(shí)，比由電子大。EEa，由等面不到Ec時(shí)，面將，由Ea到Ec,g(w)將0.的兩個(gè)為，。出面的體理原出。

體的體性量K使原子，加的大。出一原子的分布函數(shù)。熱，為的度T的子數(shù)說明在溫為一原原子間為a為Na近出原子S態(tài)能級(jí)的函數(shù)，出態(tài)密度數(shù)。解(1),E)

(e)s0s

cosJcoska0010s

LdkN()2dE

NJakasin11(3),

2Nak2)0FkF

2(k0)EJcosNE)FFssina文檔

N

2E格0介電02E格0介電0.設(shè)有一維晶體的電子能帶可寫成)

a

(

78

ka)

，a為晶格常，是電子質(zhì)量。試求（）帶寬；（）電波矢狀的速度；（）頂和底的有效。解：（1）

a

(

78

ka)=

2

7－+(288

ka－＝4a當(dāng)＝(2n+1),n=0,E

(k)

22當(dāng)=2nE()能帶度＝Emin

2a21()1（2）dk

sinka)(3)

*

2ka)

當(dāng)時(shí),帶，*當(dāng)時(shí),帶頂，*a00明晶常證：設(shè)電常數(shù)為二階張，別位量場(chǎng)，

E

，文檔DDxxxyxzyxyyyzDDDDxxxyxzyxyyyzDDzz3x'Dzzz（中αβ示軸分量z軸與方體重軸行與基平行設(shè)沿z軸方向，

=

zxzy

0xz

，

Dyz

，

Ezzzz如體和電場(chǎng)同時(shí)繞zπ使x軸轉(zhuǎn)到-x軸，軸y則后

'

x

D

由于上述轉(zhuǎn)動(dòng)是立方晶體的一個(gè)對(duì)稱操D

，

D''xy故

zx

，

zyzy

，

同理取場(chǎng)x軸向并x軸π，可電場(chǎng)111]向則=

，而

2繞111]動(dòng)π,使z軸動(dòng)到原x，軸到y(tǒng)，y軸原z軸;電位移量轉(zhuǎn)動(dòng)后應(yīng)寫成y

=

由于上述操作對(duì)稱操，故D即

0命題證圖并出方晶（）面與（）面交線向金剛石晶胞常數(shù)為。求最鄰原子的距離和平均每立方厘米原子數(shù)有晶格一格點(diǎn)上一原基其中k為yz單量1）這種格屬哪布拉菲格子（）原胞體積和胞體積各是多少試出自由電子在穩(wěn)定磁場(chǎng)中的回轉(zhuǎn)頻率如何通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定載子電子還空？根霍爾效應(yīng)，將半導(dǎo)體放在平面，上方向的磁場(chǎng)通以方向電流，定霍爾系，霍爾系數(shù)為，是空穴；為負(fù)，是電子文檔26F3326F33晶體膨脹時(shí)費(fèi)米能級(jí)如何變化？解：體電數(shù)目)Q"()(K)FB

2

,

下量子總數(shù)(E)F

N(EdE

,以自電子例，(E)(

2m

)

E2

,

82()()2FF

,晶體膨時(shí)，變，E不變V上則晶體膨脹時(shí)，費(fèi)米能級(jí)降低。F33.倒格子矢Ghbb112233

垂直密勒數(shù)為(h的晶面系。123證：aaa因?yàn)?,hhh132

，Gb1利

ijij

容易明

hhhhhh

所以倒格矢量Gb112233電子周期場(chǎng)中的能．

垂于密指數(shù)為hh的面123V)

m

x)2

當(dāng)x,，x其中，常數(shù)．畫此曲線求其均值及此晶的一個(gè)和第二個(gè)禁度解題勢(shì)能曲線如下圖所示文檔V(xVxdx2x2V(xVxdx2x2g(bg勢(shì)的平均值：由圖可，(x)個(gè)以a為周期的期函數(shù)，所以V(x)

111aLLab

V(x)dx題設(shè)故分上應(yīng)為，但在(x，故在，，是V

x)2

(2)dx

1

m

。（3能區(qū)間是個(gè)偶數(shù)，可以展開成傅立葉級(jí)數(shù)(x

cos,Vx)cosxdx0

x

2b

xdx第一個(gè)禁帶寬度E,以m入式,

b

(b

2

dx利用積公

cos

u22m

sinmu

得16E1

第二禁帶寬

以m式代入上gE

m2b0b

2再次用分式E2

求種一價(jià)子組成的一維晶格的馬德常數(shù)和庫侖相互作用能設(shè)離子數(shù)為。解設(shè)一個(gè)由正負(fù)種離子相間列的無限長(zhǎng)的離子鍵，取任一負(fù)離子作參考離子（這樣馬德常中正號(hào)以樣取即正子正，負(fù)子取號(hào)r表示相鄰離間的距離，于是文檔2[252d33kTkT3332[252d33kTkT333D011rrr2rr4rjij前的因子是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€(gè)相距離的離子，一個(gè)在參考離左面，一個(gè)在其右面，i故一邊求和后要乘馬常為111...]23434(1)341當(dāng)時(shí)有122

n

2有個(gè)同子成積為的二維晶格在德拜近似下計(jì)算比熱論在低溫極限下比熱比于證明：在到間的獨(dú)立振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)于平面中半徑到間圓環(huán)的面積2ndn

，且kdk即2

2

則E

BBB222DkT22

dxex，時(shí)，T3)

237.為什晶格子…除有吸力還有斥力并說吸引和斥力來源。晶格粒子于衡置能最，離衡位置時(shí)會(huì)平位移。粒小于平衡位置時(shí)需要斥力使距離變得，反之要有吸引使之變小。吸力來自正離子和負(fù)離子以及正離子和負(fù)電子云之間的庫侖排斥來臨離或子的電云顯重時(shí)于泡利不相容原理而產(chǎn)生的重排斥。半屬的帶為：E(k)(0)1

M

,0.18

EE2

M

(k0.062式中帶帶，k10

為的帶交分為(0)E(12

.文檔(E(E(E(E由能帶交疊，能帶中分轉(zhuǎn)帶而帶形空，論時(shí)費(fèi)米能級(jí)數(shù)解：于k)和

)只的絕對(duì)值

k

關(guān)，此空等面為面能帶中的能密N()

V

dsk

VdsEkkVMM(k

能中能態(tài)密()

V

V)EEk

VMM)(k)

能帶中電移帶構(gòu)費(fèi)面，能帶中以的子與帶中E以F下的子相。

(0EF()F

，M

kFF

，M

()