高等數(shù)學復習提綱上

高等數(shù)學（一）上冊復習要點一、函數(shù)與極限

1.函數(shù)定義，函數(shù)定義域，初等函數(shù)，分段函數(shù)；

2.序列極限的直觀定義和數(shù)學定義,夾逼定理,極限的性質;2.函數(shù)的單側和雙側極限,自變量趨無窮時函數(shù)的極限;4.兩個重要極限:

5.無窮大量和無窮小量.二、連續(xù)函數(shù)

1.函數(shù)連續(xù)性的定義,連續(xù)函數(shù)的四則運算性質;2.復合函數(shù)的連續(xù)性,反函數(shù)的連續(xù)性,初等函數(shù)的連續(xù)性;3.間斷點的類型,4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質.三、一元函數(shù)微積分的基本概念

1.微商的概念,微商的四則運算;2.復合函數(shù)的微商,反函數(shù)的微商,常用初等函數(shù)的微商公式;3.微分的概念,一階微分形式的不變性;4.高階導數(shù),高階微分;5.原函數(shù)和不定積分的概念,微分和不定積分的關系;6.定積分的概念,定積分的性質;7.變上限定積分,變限定積分的導數(shù);8.微積分基本定理及其應用.四、積分的計算及應用

1.不定積分的第一換元法,第二換元法,分部積分法;2.常用函數(shù)的積分表;3.有理函數(shù)的不定積分,三角有理式的不定積分;某些根式的不定積分;4.定積分的計算方法(換元法,上下限的對應,分部積分法);5.定積分的一些應用(弧長、平面圖形面積、旋轉體體積和側面積的計算）五、微分中值定理和泰勒公式

1.羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,定理的應用;(函數(shù)單調性的判別,不等式證明,常數(shù)函數(shù)的充要條件等)2.洛必達法則,不定型極限的求法;3.泰勒公式,麥克老林公式,五個常用函數(shù)的泰勒公式;4.泰勒公式的拉格朗日余項;5.利用導數(shù)求一元函數(shù)的極值;應用;6.利用導數(shù)判定曲線的凹凸性和曲線的拐點;7.利用導數(shù)求函數(shù)圖形的漸近線.六、向量代數(shù)與空間解析幾何

1.向量概念,向量的坐標,向量的運算(加減、數(shù)乘、點積、叉積和混合積：概念和坐標表示）

2.空間平面方程（一般式，點法式，截距式和三點式）

3.空間直線方程(一般式,標準式，參數(shù)式）

4.9個典型的二次曲面及其方程;5.空間曲線的切線,方向分量和切線方程,空間曲線的弧長.七、多元函數(shù)微分學

1.二元函數(shù)的概念,二元函數(shù)的定義區(qū)域及其圖形;2.二元函數(shù)極限的概念和運算性質

3.二元函數(shù)的連續(xù)性:定義和性質,有界閉區(qū)域連續(xù)函數(shù)的性質;4.二元函數(shù)一階偏導數(shù)的定義,性質;5.高階偏導數(shù),混合偏導數(shù)的一個定理;6.復合函數(shù)偏導數(shù)的連鎖法則;7.全微分,一階全微分形式的不變性,高階微分;8.方向導數(shù),梯度;9.隱函數(shù)求導法;10.多元函數(shù)的無條件極值和條件極值;最值問題.09級一期A卷參考解答一.求下列極限:1.解注本題也可用變量代換:令也可用已知極限

于是2.解令則二.完成如下各題⒈

解

原式

⒉

原式

解令則

⒊

解

令則

而,左邊+右邊=

故

⒋求證:并求此積分.

證明

令則

證畢三.完成如下各題:⒈設解

于是

在點A處沿由A到B方向的方向導數(shù),并求此函數(shù)在點A處方向導數(shù)的最大值.⒉已知及點求函數(shù)解

因此,

而在點A處方向導數(shù)的最大值為

⒊設函數(shù)由方程給出,求

解令

四.⒈已知點

解設所求夾角為α,則

⒉求經(jīng)過直線且平行于直線的平面方程.解L1的參數(shù)方程為

化為標準方程為

其方向向量為而直線L2的方向向量為故所求平面法向量為

所求平面過點(0,0,－2),故所求平面方程為五.求函數(shù)的極值.解

從而駐點為列表如下

x

1

（1，2）

2

（2，+∞）

－

0

+

0

+

f(x)

↘

極小值

↗

非極值

↗所求函數(shù)最小值為

六.設函數(shù)⑵函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點;⑶函數(shù)的漸近線.求⑴函數(shù)的單調區(qū)間與極值點;解函數(shù)的定義域為(－∞,－1)∪(－1,+∞),且從而函數(shù)的駐點為0,1/3.又二階導數(shù)為零的點為0和2/5,列表如下:x(－1,0)0(0,1/3)1/3(1/3,2/5)2/5（2/5,+∞）

+

－0

－0+++++0

－

－

－0+

凹↗

凹↘

拐

凸↘

極小

凸↗

拐

凹↗函數(shù)的單調增加區(qū)間為單調減少區(qū)間為(－1,1/3).極小值點為1/3.凹區(qū)間為(－1,0)和（2/5,+∞）,凸區(qū)間為(0,2/5),拐點有兩個,為(0,0)和(2/5,4/245).下面再求漸近線.顯然,直線x=－1是垂直漸近線.而和（1/3,+∞）,因而曲線無水平漸近線,但因而曲線有斜漸近線

七.⒈求證:

證令則當x>0時,>0,故此函數(shù)單調增加.而容易驗證故當x>0時,此即又,從而

求證:⑴存在

⑵存在兩個不同的點

⒉設函數(shù)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)內可導,且證⑴令

則于是由介值定理,存在

⑵由Largranger定理,在區(qū)間(0,α)內存在在區(qū)間(α,1)內,存在于是存在兩個不同的點09級一期B卷參考解答一.求極限:⑴

解因為

原式故⑵

解

而

故

二.求下列積分:解

解

所以

解

解

于是

而三.⑴設

解

于是

故

⑵已知在點A處沿由A到B的方向導數(shù),并求此函數(shù)在點A處方向導數(shù)的最大值.解

故,

在A點的方向導數(shù)最大值為于是

⑶設函數(shù)由方程

解令

則

于是

四.⑴給定空間三點:解根據(jù)向量積的定義，可知三角形ABC的面積由于AB

(－2，1，1)，AC(1，－3，1)，故

S

ABC

2S

ABC|AB||AC|sinA=⑵求經(jīng)過直線且平行于直線又顯然所求平面過點(1,－2,－3)故所求平面方程為2(x－1)+0(y+2)－(z+3)=0,即2x－z－5=0.

的平面方程.故平面的法向量為

解直線L1的方向向量為(2,3,4),

直線L2的方向向量為(1,1,2),五.(7分)求函數(shù)的極值.

令

當x>e時,故此駐點x=e為極大值點,極大值為

解得駐點x=e.又當0<x<e時,六.設函數(shù)⑵此函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點;⑶此函數(shù)的漸近線.

求⑴此函數(shù)的單調區(qū)間與極值點;解x(－∞,－5)

－5(－5,－1)(－1,1)1(1,+∞)+0

－+0+

－－

－

－0+凸,↗極大值-27/2凸,↘凸,↗拐點(1,0)非極值

凹,↗令上面兩個導數(shù)為0,并考慮無定義點,得分點－5,－1,1,列表如下:單調增加區(qū)間為(-∞,-5),(-1,1)和(1,+∞),單調減少區(qū)間為(-5,-1)函數(shù)在點x=－5處取到極大值,極大值為f(－5)=－27/2.曲線的凸區(qū)間為(-∞,-1)和(-1,1),凹區(qū)間為(1,+∞),曲線拐點為(1,0).顯然曲線有垂直漸近線x=－1,曲