范德蒙行列式的證明及其應用

范德蒙德行列式的證明及其應用摘要：介紹了n階范德蒙行列式的定義,用遞推法和拉普拉斯定理兩種方法證明了范德蒙行列式,輔以實例研究了它在高等代數(shù)中的一些應用.向量空間理論用來解決線性問題;在線性變換理論、多項式理論和微積分理論中,主要用它構(gòu)造線性方程組,進而應用克拉默法則或相關定理判斷根的情況;在行列式計算中,主要運用范德蒙行列式的結(jié)論簡化n階行列式的計算過程.探究范德蒙行列式的歷史及相關應用,為更進一步鉆研其相關性質(zhì)與應用奠定了良好的基礎.關鍵詞：范德蒙德行列式;向量空間;線性變換;應用行列式本身有著長遠的歷史發(fā)展過程.它的理論最早可追溯到十七世紀末,在十九世紀末,其理論體系已基本形成.開始使用指標數(shù)的系數(shù)集合來表示有三個未知數(shù)的三個一次方程組的系數(shù).他這種解決方程組的思維方式為行列式理論的深入研究工作打下了堅實地基礎.1771年,范德蒙創(chuàng)的精神為大家所認可,被公認為行列式的奠基人.他以現(xiàn)在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相關知識為理論基礎,進行了反復的鉆研,為后來研究群的概念奠定了良好的基的科研態(tài)度給出了現(xiàn)代代數(shù)書中二階子式及余子式的定義,經(jīng)過推理,演繹這一系列嚴.拉普拉斯在范德蒙著作和自身靈感的啟示下,思維方法發(fā)生了變化,得出了子類型的概悟數(shù)學的魅力.如果我們能夠深入探索范德蒙行列式并靈活運用它,未來將更廣泛的應用在數(shù)學各個領域.1a1：an11a2：an2……．…1ann．稱為n階的范德蒙(Vandermonde)行列式.．由范德蒙行列式的定義,我們可以得出結(jié)論:對任意的n(n2)錯誤!未找到引用源。階范德蒙行列式等于a,a,…a這n個數(shù)的所有可能的差aa(1j<in)錯12nij0aa21a(aa)—2212211aa21：an1an2an21aa32a(aa)331：331……………．…1aa：a1aa：an1an2ann1a(aaa(aa)n1nn1：nn1上式=(aa)(aa)…(aa)D2132n1n1仿上做法,有D=(aa)(aa)…(aa)Dn13242n2n21D=(aa)(aa)…(aa)(aa)(aa)…(aa)…(aa)=nn2(a1a)31n13242n2nn1ij1j<incei1 a 11 ： i1中,除第i…．…．…a1j：aij：nj…．…．…aainijLaplaceaA源。的乘ijij積D=aA,在ijij．．．．D=n1a11：11a22：21a33：an13…………1annn中，從最后一行開始，每一行減去它相鄰前一行的aD=n根據(jù)上述定理10001aaa(aa)21：1aa31a(aa)331：331倍,得…1…aan1…a(aa)nn1…an2(aa)nn1D=naa21a(aa)221：221aa31a(aa)331：331………aan1a(aa)n：nn1把每列的公因子提出來,得12D=(aa)(aa)…(aa)2n2131n12未找到引用源。1a33……．…1ann錯誤!未找到引用源。錯誤!階行列式,用D表示,則上式中D=(aa)(aa)…(aa)Dn2131n1n1D=(aa)(aa)…(aa)Dn13242n2n2此處D是一個n2階范德蒙行列式,一直繼續(xù)下去,得D=(aa)(aa)…(aa)(aa)…(aa)…(aa)n2131n132n2nn1=n(aa)ij1j<inD時,就沒有直接的現(xiàn)實意義,但在高等代數(shù)這門課程中,n維向量空間卻是很常見的.當涉及線性相關問題時,通常我們通過構(gòu)造同構(gòu)映射的方法,將其轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式的問題,進而利用該行列式是否為零判斷線性相關性.D12……m令錯誤!未找到引用源。nknnknknn且D豐0,所以a,a,…,a線性無關.12nn12n線性變換是代數(shù)學中的一個重要概念,它的抽象性使我們在掌握這個概念時比較困難.此時,我們可以應用線性變換的定義及性質(zhì),考慮構(gòu)造新函數(shù),運用方程思想解決此類問題.12niii入iiii(2)(2)〈2012n-12n01nn-1n在多項式理論中,許多題目涉及求根問題.一般情況下,我們可以用綜合除法解決這類問題,但是在不知道多項式函數(shù)最高次項系數(shù)和常數(shù)項系數(shù)的條件下,我們可根據(jù)題意列出線性方程組.通過計算該線性方程組對應的系數(shù)矩陣的行列式是否為零判斷根的情況,進而得出結(jié)論.x11nn證明:取x,x,…,x為f(x)的n+1個不同的根.則有由齊次線性方程組12n+1(c+cx+cx2…+cxn=001n且D=n(x-x)豐0.由于該方程組的等式右端的數(shù)均為零,由變形后的ij01nf(x)-f(a)-f(b)-f(a)=1f''(c).這里c=(a,b)x-ab-a21yy2f(y)1aa2f(a)1xx2f(x)1bb2f(b)1201110axb2b2f''(cf''(c)f(a)f(x)f(b)涉及行列式計算問題時,經(jīng)常運用行列式的性質(zhì)解決問題,但其復雜多變的形式給行列式的計算增加了難度.對于具體的行列式,我們可以根據(jù)它的性質(zhì)和定義解決.但對解決問題.D=n123n1…122…2n…3nn2…nn解:由觀察得到:該行列式中每行元素都分別是同一個數(shù)的不同方冪,并且其方冪次1222…2n11222…2n1n1nn2…nn1數(shù)的零次冪的形式,則它為n階范德蒙行列式,故n次序．D．D=n1n：b1：1……．……：1分析:遇到這類問題,我們經(jīng)?？紤]運用行列式的六條性質(zhì)來解決.為此,我們可以調(diào)換該行列式的次序,將它化為標準形式.1bn+1bn1bn1：…………1：n(n+1)=nnk!(3)用拆行(列)計算行列式n階行列式中的i行(列)由兩個互異元素構(gòu)成,且任意相鄰兩行(列)都含有共同元素,那么我們可以利用行列式的初等變換原則,通過消去一些分行中某一元素的方法,巧妙運用范德蒙行列式結(jié)論.D=1111122221333314444分析:觀察此行列式,我們可以看出:該行列式滿足拆項行(列)計算行列式的特點,個問題.1a111a22221a33331a4444消去行列式(4)第三行中加號前的元素,得:1a1111a2221a3331a4441a11a311a22a321a33a331a44a34=123=123123a3a3a3123=n(aa)ij1j<i41a44a34行列式的各行(或列)有明顯范德蒙行列式定義的特點,但共同元素的方冪并不是按連續(xù)的自然數(shù)的順序依次增加,此時我們可以考慮用加邊法.abb4cc41abcdxD=abcdxD=a2b2c2d2x25a3b3c3d3x3a4b4c4d4x4-8-D=A+Ax+Ax2+Ax3+Ax445555范德蒙德行列式還可以應用于數(shù)學其他科目上.例如:在數(shù)學分析中,我們可以用它來構(gòu)造高階無窮小量,在線性代數(shù)中,我們可以用它來解決向量組線性相關性的證明問題.范德蒙行列式廣泛的作用更加激