基于MATLAB自動控制系統(tǒng)時域頻域分析與仿真

word文檔可編輯復(fù)制word文檔可編輯復(fù)制word文檔可編輯復(fù)制基于MATLAB的自動控制系統(tǒng)時域頻域分析與仿真摘要自動控制系統(tǒng)就是在無人直接操作或干預(yù)的條件下，通過控制裝置使控制對象自動的按照給定的規(guī)律運行，使被控量按照給定的規(guī)律去變化的系統(tǒng)。在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，自動控制系統(tǒng)已經(jīng)遍布每一個角落，對于線性時不變控制系統(tǒng)，可以通過時域、頻域分析法來分析系統(tǒng)的性能，但是對于多輸入多輸出的控制系統(tǒng)，時域、頻域分析已經(jīng)無能為力，鑒于這樣的控制系統(tǒng)，可以通過線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法來分析。本文針對自動控制系統(tǒng)的設(shè)計很大程度上還依賴于實際系統(tǒng)的反復(fù)實驗，結(jié)合具體的實例,介紹了利用先進的MATLAB軟件對自動控制系統(tǒng)進行時域、頻域分析與仿真和線性系統(tǒng)狀態(tài)空間分析的方法，通過快速直觀的仿真和分析達到自動控制系統(tǒng)的優(yōu)化。關(guān)鍵詞:MATLAB自動控制系統(tǒng)時域頻域狀態(tài)空間

ABSTRACTAutomaticcontrolsystemmakesobjectoperateaccordingtoacertainlawautomatletthecontrolledquantitychangebygivenlawontheconditionthatnobodyoperatedirectly.Automaticcontrolsystemexistseverycorneroftheworldinthemoderninproduction,whichcananalyzetheperformanceofthesystembytimedomainandfrequencydomainforthelineartime-invariantcontrolsystems.However,tothesystemwithmultipleinputsandmultipleoutputs,thewaytoanalyzethroughtimedomainandfrequencydonotdoanything.Duetothecontrolsystem,itcananalyzethroughlinearsystemsttothispointthatthedesignofautomaticcontrolsystemlargelydependsonrepeatedmodification,combinedwiththeconcreteexample,thispaperintroducesthewaystoansimulatethetimedomainandfrequencydomainandlinearsystemstatespaceofautomaticcontrolsystembyadvancedMATLAB,itcanreachtheoptimalofautomaticcontrolsystdirectandfast.Keywords:MATLABAutomaticcontrolsystemTimedomainFrequencydomainStatespace目錄一緒論..........................................................1.1題目背景、研究意義.................................................1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀.....................................................1.3研究內(nèi)容...........................................................二自動控制系統(tǒng)基礎(chǔ)..............................................2.1自動控制系統(tǒng)的概述.................................................2.2開環(huán)、閉環(huán)控制系統(tǒng).................................................2.3控制系統(tǒng)的性能要求.................................................三MATLAB基礎(chǔ)介紹............................................3.1MATLAB簡介......................................................3.2Simulink簡介.......................................................3.3Simulink仿真過程...................................................3.4Simulink仿真實例...................................................四自動控制系統(tǒng)的時域分析........................................4.1時域分析簡介....................................................4.2動態(tài)過程與動態(tài)性能.................................................4.3穩(wěn)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)性能.................................................4.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性...................................................4.5時域分析法的MATLAB實現(xiàn).........................................4.5.1控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析............................................ 4.5.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析 ........................................4.5.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析..............................................11五自動控制系統(tǒng)的頻域分析........................................5.1頻域分析法簡介.................................................5.2有關(guān)頻率分析法的幾個概念...........................................5.3頻率特性的性能指標.................................................5.4頻域分析法的MATLAB實現(xiàn).........................................5.4.1Bode圖的繪制....................................................5.4.2Bode圖分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性......................................六線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析........................................6.1狀態(tài)空間模型.......................................................6.2狀態(tài)反饋...........................................................6.3控制系統(tǒng)的可控性和可觀性........................................... 6.3.1控制系統(tǒng)的可控性 ..................................................6.3.2控制系統(tǒng)的可觀性..................................................6.4極點配置...........................................................6.4.1極點配置簡介......................................................6.4.2單輸入單輸出系統(tǒng)的極點配置........................................七總結(jié)..........................................................參考文獻..........................................................word文檔可編輯復(fù)制word文檔可編輯復(fù)制word文檔可編輯復(fù)制一緒論1.1題目背景、研究意義自動控制技術(shù)在航空航天、機器人控制、導(dǎo)彈制造及等高新技術(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越深入廣泛，自動控制理論和技術(shù)必將進一步發(fā)揮更加重要的作用。由于有些系統(tǒng)不可能直接進行實驗，只能對其進行仿真，MATLAB語言的出現(xiàn)為控制系統(tǒng)的仿真和分析帶來全新的手段，MATLAB仿真已經(jīng)成為控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的重要應(yīng)用手段，利用MATLAB軟件中的仿真工具箱來實現(xiàn)自動控制系統(tǒng)時域和頻域分析、狀態(tài)空間分析，能夠直觀、快速地分析達到系統(tǒng)的正確評價。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀自動控制理論是隨著人類的發(fā)展而發(fā)展的，并隨著生產(chǎn)力的提高和科技的進步而不斷完善的。1868年，麥克斯韋開辟了用數(shù)學(xué)途徑研究控制系統(tǒng)的方法，奠定了時域分析法的基礎(chǔ)。1932年，美國物理學(xué)家建立了穩(wěn)定性判斷準則，奠定了頻率分析法的基礎(chǔ)。隨后伯德進一步加以發(fā)展，形成了經(jīng)典控制理論中的頻域分析法。到20世紀60年代，以狀態(tài)方程為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，最優(yōu)控制為核心的控制方法確定，現(xiàn)代控制理論由此而產(chǎn)生，控制理論目前還在向更深的領(lǐng)域發(fā)展，在控制科學(xué)研究中注入了蓬勃的生命力[1]。MATLAB是一種面向科學(xué)和工程計算的高級軟件，它提供了豐富的函數(shù)和矩陣處理功能，使用極其方便，因而很快引起控制理論領(lǐng)域研究人員的重視。MATLAB中的Simulink使復(fù)雜系統(tǒng)的仿真成為可能，MATLAB把一般目的的應(yīng)用和高深的專業(yè)應(yīng)用完美的結(jié)合在一起，成為國際性的計算軟件。1.3研究內(nèi)容熟悉自動控制系統(tǒng)理論和MATLAB軟件。了解MATLAB軟件的編程思路與方法，并熟悉Simulink建模和仿真過程。完成使用MATLAB軟件對自動控制系統(tǒng)進行時域、頻域分析與仿真和線性系統(tǒng)狀態(tài)空間分析的方法，編寫相關(guān)程序。對仿真結(jié)果進行分析，評價控制系統(tǒng)的性能。二自動控制系統(tǒng)基礎(chǔ)2.1自動控制系統(tǒng)的概述在現(xiàn)代社會生產(chǎn)過程中，為了提高產(chǎn)品的質(zhì)量，需要對生產(chǎn)設(shè)備和生產(chǎn)過程進行自動控制，使被控的量按照期望的規(guī)律去變化。這些被控制的設(shè)備稱為控制對象，被控制的量稱為被控量或輸出量。生產(chǎn)設(shè)備或生產(chǎn)過程中，一般只考慮對輸出量影響最大的物理量，這些量稱為輸入量。輸入量可以分為兩種類型,一種保證對象的行為達到所要求的目標，這類輸入量稱為控制量。另一種是妨礙對象的行為達到目標，這一類輸入量稱為擾動量。自動控制系統(tǒng)是在無人直接參與的情況下，可使生產(chǎn)過程按照期望的運行規(guī)律去運行的控制系統(tǒng)。系統(tǒng)是完成要求和任務(wù)的部分的組合[2]。2.2開環(huán)、閉環(huán)控制系統(tǒng)如果控制系統(tǒng)的輸出量對系統(tǒng)運行過程或結(jié)果沒有控制作用，這種系統(tǒng)稱為開環(huán)控制系統(tǒng)。圖2-1表示了開環(huán)控制系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系。輸入量輸入量輸出量擾動量控制器控制對象圖2-1開環(huán)控制系統(tǒng)示意圖這里，輸入量直接作用于控制對象，不需要將輸出量反饋到輸入端與輸入量進行比較，所以只有輸入量影響輸出量。當(dāng)出現(xiàn)擾動時，若沒有人的干預(yù)，輸出量將不能按照輸入量所希望的狀態(tài)工作。閉環(huán)控制系統(tǒng)是把輸出量檢測出來，再反饋到輸入端與輸入量進行相減或者相加，利用比較后的偏差信號，經(jīng)過控制器對控制對象進行控制的系統(tǒng)。圖2-2表示了閉環(huán)控制系統(tǒng)輸入量、輸出量和反饋量之間的關(guān)系。 擾動量擾動量——反饋量輸出量輸入量偏差控制器控制對象檢測裝置圖2-2閉環(huán)控制系統(tǒng)示意圖這種系統(tǒng)把輸出量經(jīng)檢查后，變成輸入量相同的物理量反饋到輸入端形成閉環(huán)，參與系統(tǒng)的控制，所以稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)。由于系統(tǒng)是根據(jù)負反饋原理按偏差進行控制的，所以也稱為反饋系統(tǒng)或偏差控制系統(tǒng)。2.3控制系統(tǒng)的性能要求在控制過程中，當(dāng)擾動量發(fā)生變化時，通過反饋控制的作用，經(jīng)過短暫的過渡過程，被控量又恢復(fù)到原來的穩(wěn)定值，或按照新的給定量穩(wěn)定下來，這時系統(tǒng)從原來的平衡狀態(tài)過渡到新的平衡狀態(tài)，我們把被控量處于變化的狀態(tài)稱為動態(tài)或暫態(tài)，而把被控量在相對穩(wěn)定的狀態(tài)稱為靜態(tài)或穩(wěn)態(tài)。對控制系統(tǒng)性能有三個方面的要求[3]。穩(wěn)定性穩(wěn)定性定義為系統(tǒng)受到外擾或內(nèi)擾作用以后，恢復(fù)原來狀態(tài)或形成新的平衡狀態(tài)的能力。穩(wěn)定是系統(tǒng)正常工作的首要條件?？焖傩宰詣涌刂葡到y(tǒng)不僅要滿足動態(tài)性能的要求，還應(yīng)能滿足暫態(tài)性能的要求。為了滿足生產(chǎn)過程中的要求，往往要求系統(tǒng)暫態(tài)過程不但是穩(wěn)定的，而且進行得越快越好，振蕩程度越小越好。準確性穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)達到穩(wěn)定時，輸出量的實際值和期望值之間的誤差。這一性能反映了穩(wěn)定時系統(tǒng)的控制精度，穩(wěn)態(tài)誤差越小，系統(tǒng)性能越好。給定穩(wěn)態(tài)誤差是在參考輸入信號的作用下，當(dāng)系統(tǒng)達到穩(wěn)定后，其穩(wěn)態(tài)輸出與參考輸入所要求的期望輸出之差。三MATLAB基礎(chǔ)介紹3.1MATLAB簡介MATLAB程序設(shè)計語言是MathWorks公司于20世紀80年代推出的高性能的數(shù)值矩陣計算軟件。其功能強大，適用范圍廣泛，提供了豐富的庫函數(shù)，編程簡單、易懂、效率高。MATLAB無論作為科學(xué)研究與工程運算的工具，還是作為控制系統(tǒng)方陣的教學(xué)工具，都是必不可少的。目前，MATLAB已經(jīng)成為國際學(xué)術(shù)界公認的最流行的科學(xué)計算軟件。MATLAB主要由以下三個部分組成，下面分別加以介紹[4]。MATLAB圖形處理系統(tǒng)這是MATLAB圖形系統(tǒng)的基礎(chǔ)，它包括生成二維數(shù)據(jù)和三維數(shù)據(jù)可視化、圖像處理、動畫及演示圖形和創(chuàng)建完整的圖形用戶接口的命令。MATLAB數(shù)學(xué)函數(shù)庫MATLAB提供了非常豐富的數(shù)學(xué)計算函數(shù)，可以進行簡單和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算，比如矩陣求逆、級數(shù)求和、貝塞爾函數(shù)和快速傅里葉變換等。MATLAB應(yīng)用程序接口MATLAB用戶能夠在MATLAB環(huán)境中使用其它程序，也可以從MATLAB中調(diào)用其它程序。3.2Simulink簡介MATLAB除了在工具箱中提供一些具有特殊功能的函數(shù)命令供用戶使用外，還為用戶提供一個建模與仿真的工作平臺Simulink。Simulink采用模塊組合的方法來創(chuàng)建系統(tǒng)的計算機模型，在這個環(huán)境中，用戶無需大量的書寫程序，而只需通過簡單的鼠標操作，選取所需要的庫模塊，就可以構(gòu)造出復(fù)雜的仿真系統(tǒng)。其主要特點是快速、準確。對于復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，效果更為明顯。3.3Simulink仿真過程在Simulink模塊庫中選取所需的模塊，按照要求把所選模塊連接好，就可以進行仿真實驗，其仿真過程分為兩個階段。1、初始化階段對模型的參數(shù)進行有效的評估，得到它們實際的計算值。展開模型中的各個層次。按照更新的層次對模型進行排序。2、模型執(zhí)行階段按照次序依次計算每個模塊的積分。根據(jù)輸入來決定狀態(tài)的微分，得到微分矢量，以計算下一個采樣點的狀態(tài)矢量。3.4Simulink仿真實例在社會中，控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是復(fù)雜，如果不借用控制系統(tǒng)建模與仿真軟件，則很難把一個控制系統(tǒng)的復(fù)雜模型輸入給計算機[5]。下面結(jié)合具體的實例，介紹Simulink中控制系統(tǒng)建模和仿真的一般方法?！纠?-1】用Simulink建立一個如圖3-1所示的典型PID控制系統(tǒng)的模型，并進行仿真。方框圖中第一個方框為PID控制器的積分和微分環(huán)節(jié)，這些環(huán)節(jié)可以用比例加積分和比例加微分的方式來實現(xiàn)。y(t)y(t)R(t)_+Kp+sKi+Kds20453692026523423sssssss仿真步驟：1、啟動Simulink，彈出Simulink窗口，打開一個新的編輯窗口。2、在Simulink窗口中單擊Simulink中的Sources，把Step(階躍輸入)模塊添加到編輯窗口內(nèi)建立一個階躍輸入模型。3、在MathOperations模塊庫中選出Grain(比例)模塊、Sum（加減）模塊和Add（加法）模塊，并添加到編輯窗口中。4、在Continuous模塊庫中選出Integrator(積分)模塊、Derivative(微分)模塊和TransferFcn（傳遞函數(shù)）模型，并添加到編輯窗口中。5、在Sinks模塊庫中選出Out1（輸出）模塊，并添加到編輯窗口中。6、按照要求設(shè)置所選模塊的參數(shù)，最后將整個模型連接起來，如圖3-2所示，也就是仿真所需的模型。11Out1num(s)den(s)TransferFcnStep1sIntegrator1Gain21Gain11Gaindu/dtDerivativeAdd圖3-2PID控制系統(tǒng)模型的Simulink實現(xiàn)仿真的結(jié)果如下圖：圖3-3PID控制系統(tǒng)仿真結(jié)果由圖3-3可知：上升時間t4.1s；延時時間t2.1s；峰值時間t5.5s，此值較大， r d p說明系統(tǒng)對輸入信號的反映能力弱；調(diào)整時間t8.2s，此值較大，系統(tǒng)的響應(yīng)慢，說明輸出信號復(fù)現(xiàn)輸入信號的能力弱；超調(diào)量%=1.5%，此值小，說明系統(tǒng)的平穩(wěn)性好。四自動控制系統(tǒng)的時域分析4.1時域分析簡介時域分析法是根據(jù)微分方程，利用拉氏變換直接求出系統(tǒng)的時間響應(yīng)，然后按照響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)的性能，是一種直接在時域中對系統(tǒng)進行分析的方法，具有直觀和準確的優(yōu)點?？刂葡到y(tǒng)時域分析法最常用的方法有兩種：一是當(dāng)輸入為單位階躍信號時，求出系統(tǒng)的響應(yīng)；二是當(dāng)輸入為單位沖激信號時，求出系統(tǒng)的響應(yīng)[6]。4.2動態(tài)過程與動態(tài)性能動態(tài)過程又稱為過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，其輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。通常，在單位階躍信號作用下，穩(wěn)定系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間t變化的指標稱為動態(tài)性能指標。控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標一般有以下幾個：上升時間t 系h(∞所需的時間定義為上升時間。) 延時時間t從輸入信號開施加時起，系統(tǒng)輸出時間響應(yīng)第一次達到穩(wěn)態(tài)值50%所需要的時間定義為延時時間。峰值時間tp系統(tǒng)響應(yīng)超過其終值達到第一個峰值所需要的時間定義為峰值時間。它反映了系統(tǒng)對輸入信號反應(yīng)的快速性，值越小，系統(tǒng)對輸入信號反映越快。調(diào)整時間t響應(yīng)達到并在終值±2%或±5%誤差內(nèi)所需要的最短時間定義為調(diào)節(jié)時間。在默認情況下MATLAB計算動態(tài)性能時，取誤差范圍為±2%。它反應(yīng)了動態(tài)過程進行得快慢，是系統(tǒng)快速性指標，值越小，系統(tǒng)的快速性就越好。超調(diào)量%響應(yīng)的最大偏差量h(t)與終值h(∞的)差與終值h(∞之比)的百分數(shù)，定義為超調(diào)量，p即:h(t)h()%p 100%(4-1)h()它反應(yīng)了動態(tài)過程的平穩(wěn)性，值越小，平穩(wěn)性越好。 4.3穩(wěn)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)過程又稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當(dāng)時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。它表現(xiàn)系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息[7]。穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)控制準確度的一種量度，也稱為穩(wěn)態(tài)性能，若時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。對于圖4-2所示的控制系統(tǒng)，輸入信號R(s)至誤差信號E(s)之間的誤差傳遞函數(shù)為 E(s) 1(s)(4-2)eR(s)1G(s)H(s)CC(s)E(s)B(s)R(s))(sG)(sH則系統(tǒng)的誤差信號為e(t)1[E(s)]1[(s)R(s)](4-3)當(dāng)sE(s)的極點均位于s左半平面時，應(yīng)誤差為sR(s)elime(t)limsE(s)lim(4-4)ssts0s01G(s)H(s)4.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能正常運行的首要條件。系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它受到瞬間的某一擾動作用而偏離原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身，與外界無關(guān)。若系統(tǒng)是連續(xù)時間控制系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均嚴格位于s左半平面，則此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)是離散時間控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征根位于z平面上的單位圓周內(nèi)部，即其閉環(huán)特征根的模小于1。4.5時域分析法的MATLAB實現(xiàn)4.5.1控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析MATLAB提供了線性定常系統(tǒng)的各種時間響應(yīng)函數(shù)和各種動態(tài)性能分析函數(shù)，部分函數(shù)如下表所示[8]。本文主要介紹step()函數(shù)和impulse()函數(shù)。表4-1部分時域響應(yīng)分析函數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱功能step計算并繪制線性定常系統(tǒng)階躍響應(yīng)impulse計算并繪制連續(xù)時間系統(tǒng)沖激響應(yīng)initial計算并繪制連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)lism仿真線性定常連續(xù)模型對任意輸入的響應(yīng)dstep計算并繪制離散時間系統(tǒng)階躍響應(yīng)1、step()函數(shù)功能：求線性定常系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。其調(diào)用格式如下：step(sys)%繪制系統(tǒng)sys的單位階躍響應(yīng)曲線12【例4-1】已知典型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s),求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。s21.2s12MATLAB編程:sys=tf(12,[1,1.2,12]);step(sys);xlabel('t');ylabel('y');title('單位階躍響應(yīng)');gridon;圖4-1系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖形由圖可知：上升時間t0.5s；延時時間t0.3s；峰值時間t=0.9s，此值較小，說 r d p明系統(tǒng)對輸入信號反應(yīng)快；調(diào)節(jié)時間t=6.4s，此值較大，系統(tǒng)的快速性差，輸出信號復(fù)現(xiàn)輸入信號的能力弱；超調(diào)量%=58%此值較大，說明系統(tǒng)的平穩(wěn)性較差。2、impulse()函數(shù)功能：求線性定常系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。其調(diào)用格式若下：impulse(sys)%繪制系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)曲線4【例4-2】已知典型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s),求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。s2s4MATLAB編程:sys=tf(4,[114]);impulse(sys);xlabel('t');ylabel('y');title('單位沖激響應(yīng)');gridon;圖4-2系統(tǒng)的沖激響應(yīng)圖形4.5.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析控制系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)即穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，是表明系統(tǒng)的典型外作用下穩(wěn)態(tài)精度的指標。常用的有3種誤差系數(shù)[9]。1、靜態(tài)位置誤差系數(shù)K。pKlimG(s)H(s)(4-5)ps02、靜態(tài)速度誤差系數(shù)K。vKlimsG(s)H(s)(4-6)vs03、靜態(tài)加速度誤差系數(shù)K。aKlims2G(s)H(s)(4-7)as0在式(4-5)到(4-7)中，G(s)H(s)是閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。K、K和K分別標明系 p v a統(tǒng)在給定階躍輸入下、在給定斜坡輸入下與在給定等加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)或靜態(tài)精度。4【4-3】負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)，試求此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置、5s210s15速度與加速度誤差系數(shù)K、K與K。 p v aMATLAB編程：symssphibGbKpKvKa;phib=4/(5*s^2+10*s+15);[Gb]=solve('4/(5*s^2+10*s+15)=Gb/(1+Gb)',Gb);Kp=limit(Gb,s,0,'right')Kv=limit(s*Gb,s,0,'right')Ka=limit(s^2*Gb,s,0,'right')運行程序，輸出如下：Kp=4/11Kv=0Ka=0此系統(tǒng)的各個誤穩(wěn)態(tài)差都較小，表示系統(tǒng)的輸出跟隨參考輸入的精度越高。4.5.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析應(yīng)用MATLAB可以方便快捷的對控制系統(tǒng)進行時域分析。由于控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點在s平面上的分布決定了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以要判斷控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只需要確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點在s平面上的分布。在MATLAB中，可以使用函數(shù)pzmap()繪制系統(tǒng)的零極點圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3s42s35s24s6【例4-3】已知系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為G(s)，判斷該系統(tǒng)的s53s44s32s27s2穩(wěn)定性。MATLAB編程:sys=tf([32546],[134272]);pzmap(sys);xlabel('實軸');ylabel('虛軸');title('系統(tǒng)的零極點圖');gridon;圖4-3系統(tǒng)零極點分布圖由圖4-3可知，該系統(tǒng)有極點位于s的右半平面，所以該系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。五自動控制系統(tǒng)的頻域分析5.1頻域分析法簡介頻域分析法是自動控制領(lǐng)域中應(yīng)用又一種數(shù)學(xué)工具頻率特性來研究控制系統(tǒng)過程性能，即穩(wěn)定性、快速性及穩(wěn)定精度的方法。這種方法可以直觀地表達出系統(tǒng)頻率特性，而且分析方法簡單，物理概念明確，可以從系統(tǒng)的頻率特性上直接地看出物理實質(zhì)。頻域分析法里主要用到3種曲線：Bode圖、Nyquist曲線圖、Nichols曲線圖。Bode圖在頻域分析法里占有重要的地位[10]。5.2有關(guān)頻率分析法的幾個概念頻率響應(yīng)當(dāng)線性系統(tǒng)受到正弦信號作用時，系統(tǒng)穩(wěn)定后輸出的穩(wěn)態(tài)分量仍然是同頻率的正弦信號，這種過程叫做系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。頻率特性正弦信號的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為同頻率的正弦信號，其振幅與輸入正弦信號振幅的比相對于正弦信號角頻率間的關(guān)系A(chǔ)(w)叫做幅頻特性，其相位與輸入正弦信號的相位之差相對于正弦信號角頻率間的關(guān)系(w)叫做相頻特性。系統(tǒng)頻率響應(yīng)與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比叫做系統(tǒng)的頻率特性。記作：G(jw)A(w)ejw(5-1)系統(tǒng)的頻率特性與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之間有著簡單而直接的關(guān)系：G(jw)G(s)|(5-2)sjwBode圖Bode圖即對數(shù)頻率特性曲線。Bode圖有兩條曲線，分別是對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。橫坐標都是角頻率w，是按常用對數(shù)（以10為底的對數(shù)）刻度的，即lgw，其單位是弧度每秒。對數(shù)相頻特性的縱坐標是(w)，等分刻度，其單位為度或弧度；而對數(shù)幅頻特性的縱坐標是L(w)=20lgA(w),也是等分刻度，其單位為分貝。幅相特性系統(tǒng)的頻率特性G(jw)A(jw)ej(w)里既有振幅信息又有相位信息，所以又叫做系統(tǒng)的幅相特性。幅相特性圖形化的形式，即是幅相特性曲線。 5.3頻率特性的性能指標采用頻域方法進行線性控制系統(tǒng)設(shè)計時，時域內(nèi)采用的諸如超調(diào)量，調(diào)整時間等描述系統(tǒng)性能的指標不能使用，需要在頻域內(nèi)定義頻域性能指標[11]，主要有以下幾個:峰值它是幅頻特性A(w)的最大值，一般來說，峰值的大小表明閉環(huán)控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞，峰值越大，表明系統(tǒng)對某個頻率的正弦信號反映強烈。帶寬它是幅頻特性A(w)的數(shù)值衰減到0.707A(0)時對應(yīng)的角頻率。帶寬用于衡量控制系統(tǒng)的快速性，帶寬越寬，表明系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)快速變化信號的能力越強，階躍響應(yīng)的上升時間和調(diào)整時間就越短。相頻寬它是相頻特性(w)等于/2時對應(yīng)的角頻率。相頻寬也用于衡量系統(tǒng)的快速性。相頻寬高，表明輸入信號的頻率越高，即系統(tǒng)反應(yīng)快速，快速性好。剪切頻率：系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線20lg|G|與橫坐標軸w交點的角頻率，常用wc來表示。穿越頻率：系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線(w)與線交點所對應(yīng)的角頻率，常用w來表示。g穩(wěn)定欲度相角穩(wěn)定欲度系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線G(jw)上模值等于1的向量與負實軸的夾角，常用表示，即：=(w)()(5-3)穩(wěn)定裕度系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線G(jw)與負實軸交點w模值G(w)的倒數(shù)，常用h來表示，即： c c1h(5-4)G(w)c 5.4頻域分析法的MATLAB實現(xiàn)5.4.1Bode圖的繪制MATLAB提供的頻域分析函數(shù)如表5-1所示。本文主要介紹函數(shù)bode(),其基本調(diào)用格式為:bode(sys)bode(sys,w)[mag,phase,w]=bode(sys)表5-1頻域分析函數(shù)函數(shù)名函數(shù)名功能bode繪制Bode圖nichols繪制Nichols圖nyquist繪制Nyquist圖margin計算系統(tǒng)的增益和相位裕度sigma繪制系統(tǒng)奇異值Bode圖Bode()函數(shù)用來計算并繪制系統(tǒng)的Bode圖，當(dāng)函數(shù)命令為等式左邊輸出變量的格式時，函數(shù)在當(dāng)前窗口中直接繪制出系統(tǒng)的Bode圖。線性時不變系統(tǒng)對象sys可以是由函數(shù)tf()、zpk()、ss()中的任何一個函數(shù)建立的系統(tǒng)模型[12]。w用來定義繪制Bode圖時的頻率范圍或者頻率點。第三條語句只計算系統(tǒng)Bode圖的輸出數(shù)據(jù)，而不繪制曲線。mag為系統(tǒng)Bode圖的振幅值，phase為Bode圖的相位值。15s6s43s34s22s【例5-1】已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s),繪制系統(tǒng)的Bode圖。MATLAB編程:num=[156];den=[13420];sys=tf(num,den);bode(sys);gridon;圖5-1系統(tǒng)的bode圖5.4.2Bode圖分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 MATLAB 提供了直接求解系統(tǒng)的幅值穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度的函數(shù)margin(),其調(diào)用格式為:[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w)這些語句只計算系統(tǒng)Bode圖的輸出數(shù)據(jù)，而不繪制曲線。margin()函數(shù)可以從頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)中計算出幅值穩(wěn)定裕度、相位穩(wěn)定裕度及其對應(yīng)的角頻率。有了控制系統(tǒng)的Bode圖，就可以計算頻域性能指標。當(dāng)計算出的相角穩(wěn)定裕度>0時，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。8【例5-2】已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s),試用Bode1.5s42.75s32.25s20.5s圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并繪制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線來驗證。MATLAB編程:num=[8];den=[1.52.752.250.50];sys=tf(num,den);bode(sys);gridon;[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)程序執(zhí)行結(jié)果為：Gm=0.0449；Pm104.2351；Wcp=0.4264；Wcg=1.4557。模值穩(wěn)定裕度L=20lg0.0449dB；穿越頻率w=0.4264rad/s。相角穩(wěn)定裕度104.2351。 h g剪切頻率w=1.4557rad/s。這些性能指標中相角穩(wěn)定裕度為負值，數(shù)據(jù)說明系統(tǒng)閉環(huán)是不c穩(wěn)定的。圖5-2開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖繪制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線來驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB編程num=[8];den=[1.52.752.250.50];s=tf(num,den);sys=feedback(s,1);t=0:0.01:10;step(sys,t);gridon;title('單位階躍響應(yīng)');ylabel('y');xlabel('t');運行程序，繪制出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖5-3所示。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是發(fā)散的振蕩，說明系統(tǒng)不穩(wěn)定，驗證了用Bode圖判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定的結(jié)論。圖5-3系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線六線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析6.1狀態(tài)空間模型20世紀40年代計算機的出現(xiàn)及其應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴展，自動控制理論朝著更復(fù)雜的方向發(fā)展，因此現(xiàn)代控制理論應(yīng)運而生，現(xiàn)代控制理論基本上是一種時域法，它引入了狀態(tài)的概念。因此，建立在狀態(tài)空間中的數(shù)學(xué)模型是一個基本問題，也是現(xiàn)代控制理論中分析和綜合控制系統(tǒng)的前提和基礎(chǔ)，其重要性就像經(jīng)典控制理論中確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一樣?，F(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間，簡單的說就是將描述系統(tǒng)運動的高階微分方程改寫成一階聯(lián)立微分方程組的形式，或者將系統(tǒng)的運動直接用一階微分方程組來表示，寫成矩陣形式，這就得到了狀態(tài)空間的模型[13]。連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為x(t)Ax(t)Bu(t) (6-1)y(t)Cx(t)Du(t)式中，u(t)為r1的系統(tǒng)控制輸入（r個）向量；x(t)為n1的系統(tǒng)狀態(tài)變量；y(t)為m1的系統(tǒng)輸出向量；A為nn的系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩陣），由控制對象的參數(shù)決定；B為nr的控制矩陣（輸入矩陣）；C為mn的輸出矩陣（觀測矩陣）；D為mr的輸入輸出矩陣（直接傳遞矩陣）。6.2狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變量乘以一個反饋系數(shù)，然后反饋到系統(tǒng)輸入端與系統(tǒng)的參考輸入綜合，綜合而成的信號作為系統(tǒng)的輸入對系統(tǒng)實施控制?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6-1所示，原來系統(tǒng)的動態(tài)方程為xAxBu (6-2)yCxDu當(dāng)加上狀態(tài)反饋環(huán)節(jié)后，其中的線性狀態(tài)反饋控制律為uRKx (6-3)式中，R是參考輸入；K稱為狀態(tài)反饋增益矩陣，為pn矩陣。系統(tǒng)動態(tài)方程變?yōu)閤AxB(KxR)(ABK)xBRAxBR k (6-4)yCxD(KxR)(CDK)xDRCkxDR式中，AABK,CCDK。 當(dāng)D0時，狀態(tài)饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)W(s)為kW(s)C[sI(ABK)]1B(6-5)K式中，(ABK)為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。 Y+Y++XdX/dt+++URBCKAD圖6-1狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖從式(6-2)和(6-4)可以看出，狀態(tài)反饋前后的系統(tǒng)矩陣分別為A和ABK,特征方程分別為det(IA)和det(I(ABK)),可以看出狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)特征根不僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，還與狀態(tài)反饋K有關(guān)。6.3控制系統(tǒng)的可控性和可觀性在狀態(tài)空間分析中，系統(tǒng)的可控性和可觀性是非常重要的概念，是現(xiàn)代控制理論中兩個基本的概念?？煽匦允侵赶到y(tǒng)的狀態(tài)能否被控制；可觀性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由輸出檢測反映出來，系統(tǒng)的可控性和可觀性從狀態(tài)的控制能力和狀態(tài)的識別能力兩個方面反映系統(tǒng)的內(nèi)在特性，對系統(tǒng)的設(shè)計是至關(guān)重要的[14]。6.3.1控制系統(tǒng)的可控性線性系統(tǒng)xAxBu，在t時刻的任意初始值x(t)x，對于tt，tJ（J為 0 0 0 a 0 a系統(tǒng)的時間定義域），可找到控制u，其在[t,t]上的狀態(tài)是完全可控的。系統(tǒng)的完全可控性只取決于狀態(tài)方程中的(A,B)矩陣，因全可控的系統(tǒng)，經(jīng)常稱之為(A,B)完全可控[14]?？梢詷?gòu)造一個相似變換矩陣T。cT(B,AB,,An1B)(6-6)c式中，n為系統(tǒng)的階次,矩陣T稱為系統(tǒng)的可控性變換矩陣。矩陣T可以由控制系統(tǒng)具箱中提供的ctrb()函數(shù)自動生成出來，其調(diào)用格式為：cTc=ctrb(A,B),式中，T為矩陣的秩，即rank(T)，稱為系統(tǒng)的可控性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中可控狀態(tài)的數(shù)目。果rank(T)=n，則系統(tǒng)全可控?！纠?-1】考慮系模型:01000 001011000x，分析系統(tǒng)的可控性。x0001x+0u，y= 00502MATLAB編程:A=[0100;00-10;0001;0050];B=[0;1;0;-2];C=[1000];D=0;Tc=ctrb(A,B);rank(Tc)運行程序，輸出如下：ans=4，可見，因為T矩陣的秩為4，等于系統(tǒng)的階次，所以系c統(tǒng)是完全可控系統(tǒng)。6.3.2控制系統(tǒng)的可觀性線性系統(tǒng)xAxBu，在t時刻存在tt，tJ（J為系統(tǒng)的時間定義域），如果根據(jù)[t,t]的觀測值y(t)，在t[t,t]區(qū)內(nèi)夠一地確定系統(tǒng)在t時刻的任意初始狀0a 0a 0態(tài)x，則稱系統(tǒng)在[t,t]上的狀態(tài)是可觀測的。 0 0a系統(tǒng)的可觀性只取決于狀態(tài)方程的(A,C)矩陣，因此對于完全可觀的系統(tǒng)，經(jīng)常稱之為系統(tǒng)(A,C)完全可觀。按照下面的規(guī)則構(gòu)造一個變換矩陣T。0T(C,CA,,CAn1)T(6-7)式中，n為系統(tǒng)的階次；矩陣為可觀測變換矩陣。矩陣T可以由控制工具箱中提供的obsv()函數(shù)直接求出，其調(diào)用格式為T=obsv(A,C),式中T為陣的秩，即rank(T)，稱為系統(tǒng)的可觀性指數(shù)，它實際上的數(shù)。如果rank(T)=n，則統(tǒng)完全可觀測。03x1111 113x11u，y11x【例6-2】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：判斷系統(tǒng)的可觀性。MATLAB編程:A=[-3,1;1,-3];B=[1,1;1,1];C=[1,1;1,-1];D=[0];T=obsv(A,C);rank(T)00運行程序，輸出如下：ans=2，可見，因為T矩陣的秩為2，等于系統(tǒng)的階次，所以系0統(tǒng)是完全可觀系統(tǒng)。6.4極點配置6.4.1極點配置簡介所謂極點配置問題，就是通過反饋矩陣的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點，恰好處于所希望的一組極點位置上，由于希望的極點具有一定的任意性，因此極點的配置也具有一定的任意性[15]。極點配置方法如下所述：如果系統(tǒng)是完全狀態(tài)可控的，那么可選擇期望設(shè)置的極點，然后以這些極點作為閉環(huán)極點來設(shè)計系統(tǒng)，利用狀態(tài)觀測器反饋全部或部分狀態(tài)變量，使所有的閉環(huán)極點落在各期望位置上，以滿足系統(tǒng)的性能要求。這種設(shè)置期望閉環(huán)極點的方法就稱為極點配置法。設(shè)給定的線性定常系統(tǒng)為xAxBu(6-8)式中，x為n維狀態(tài)向量；u為p維狀態(tài)向量；A和B為相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。 若給定n個反饋性能的期望閉環(huán)極點為p,p,p(6-9) 1 2 n則極點配置的設(shè)計問題就是確定一個pn狀態(tài)反饋增益矩陣K，使狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)x(ABK)xBv(6-10)的極點為p,p,p，即 1 2 n(ABK)p，(i1,2,,n)(6-11) i i式中，()表示()的特征值。i6.4.2單輸入單輸出 系統(tǒng)的極點配置對于單輸入單輸出的n階系統(tǒng)，其反饋增益矩陣K是一行向量，僅包含n個元素，可由n個極點唯一確定。單輸入單輸出系統(tǒng)極點配置方法步驟如下：1、確定受控系統(tǒng)完全可控，如果系統(tǒng)不是完全可控，則不能進行極點配置，并確定系統(tǒng)開環(huán)特征多項式det(sIA)。det(sIA)snasasa(6-12) n1n1 1 02、由希望的閉環(huán)極點p,p,p計算閉環(huán)期望的特征多項式。 1 2 ndet[sI(ABK)](sp)(sp)(sp)snasn1asa(6-13) 1 2 n n1 1 03、計算KKP[aaaaaa](6-14) 0 0 1 1 n1 n14、計算變換矩陣P及其逆P1，1aP=(An1bAbb)n