對數(shù)及對數(shù)運(yùn)算

關(guān)于對數(shù)及對數(shù)運(yùn)算第一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一

1.莊子:一尺之棰，日取其半，萬世不竭，問4天還有多少尺？取多少次還有0.03125尺？設(shè)取x次還有0.03125尺問題提出()x＝0.03125，求x=?第二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一2.截止到1999年底，我國人口約13億.如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么過幾年人口數(shù)將達(dá)到18億？

13×

(1＋1％)x＝18，求x=?即1.01x＝，求x=?設(shè)過x年人口數(shù)將達(dá)到18億第三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù).

3.上面的實際問題歸結(jié)為一個什么數(shù)學(xué)問題？1.01x＝，求x=?()x＝0.03125，求x=?第四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一對數(shù)第五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一知識探究（一）：對數(shù)的概念

思考1:24＝

2－2＝思考2:若2x＝16，則x＝

若2x＝,則x＝若4x＝8，則x＝若2x＝3，則x＝164-2第六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一若2x＝3，則x＝

蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了對數(shù)。第七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一滿足2x＝3的x的值，我們用log23表示，即x＝log23，并叫做“以2為底3的對數(shù)”.思考3:

若2x＝16，則x＝

若2x＝,則x＝若4x＝8，則x＝

若2x＝3，則x＝log23log216log2log48第八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考5:滿足

,，

（其中e=2.71828…）的x的值可分別怎樣表示？X=log10NX=logeN第九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一x=log1.01思考4:前面問題中，

,

中的x的值可分別怎樣表示？

（）x＝0.03125x=log

0.03125

第十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一

恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)三大成就。

但是首先用指數(shù)來定義對數(shù)的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉。第十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考1:指數(shù)與對數(shù)有什么關(guān)系？知識探究（二）：對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

指數(shù)與對數(shù)是可以等價且相互轉(zhuǎn)化ax＝Nx＝logaN當(dāng)a>0，且a≠1時第十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考3:當(dāng)a>0，且a≠1時，loga（-2），loga0存在嗎？為什么？由此能得到什么結(jié)論？

設(shè)loga(-2)=x,則ax=-2而當(dāng)a>0，且a≠1時,恒有ax>0設(shè)loga0=x,則ax=0第十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一aNx指數(shù)式ax＝N指數(shù)的底數(shù)冪冪指數(shù)對數(shù)式x＝logaN對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)思考2:在指數(shù)式ax＝N和對數(shù)式x＝logaN中，a，x，N各自的地位有什么不同？第十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考4:根據(jù)對數(shù)定義，logal和logaa和logaan（a>0，a≠1）的值分別是多少？

設(shè)loga1=x,則ax=1,所以x=0,得loga1=0設(shè)logaa=x,則ax=a,所以x=1,得logaa=1設(shè)logaan=x,則ax=an,所以x=n,得logaan=n第十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一理論遷移

例1.將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：

(1)54＝625

;(2)2－6＝

;(3)

()m＝5.73

;(4)＝－４;(5)lg0.01=－２;(6)ln10＝2.303.第十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一

例2.求下列各式中ｘ的值：

(1)log64x＝;(2)logx8＝6;(3)lg100=x;(4)－lne2＝ｘ.第十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一例3計算（1）log

81(2)log0.30.09第十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一例4:（1）已知a>0，且a≠1時,N>0,證明

alogaN=N第十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)：(1)計算2log25=_____第二十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一(2)已知log（x+3）(x2+3x)=1,求實數(shù)x的值。第二十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一(3)已知loga3=m,logan=5,則a2m+n=_____第二十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一第二課時對數(shù)的運(yùn)算2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算第二十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一問題提出1.對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)與指數(shù)是怎樣互化的？

2.指數(shù)與對數(shù)都是一種運(yùn)算，而且它們互為逆運(yùn)算，指數(shù)運(yùn)算有一系列性質(zhì)，那么對數(shù)運(yùn)算有那些性質(zhì)呢？

第二十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一對數(shù)的運(yùn)算第二十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一知識探究（一）：積與商的對數(shù)思考2:將log232＝log24十log28推廣到一般情形有什么結(jié)論？思考1:求下列三個對數(shù)的值：log232，log24，log28．你能發(fā)現(xiàn)這三個對數(shù)之間有哪些內(nèi)在聯(lián)系？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，你能證明等式loga（M·N）＝logaM十logaN成立嗎？第二十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考4:將log232－log24=log28推廣到一般情形有什么結(jié)論？怎樣證明？思考5:若a＞0，且a≠1，M1，M2，…，Mn均大于0，則loga(M1M2M3…Mn）＝？第二十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一知識探究（二）:冪的對數(shù)思考1:log23與log281有什么關(guān)系？思考2:將log281=4log23推廣到一般情形有什么結(jié)論？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法證明等式logaMn＝nlogaM成立．思考4:log2x2=2log2x對任意實數(shù)x恒成立嗎？第二十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考6:上述關(guān)于對數(shù)運(yùn)算的三個基本性質(zhì)如何用文字語言描述？思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，則等于什么？①兩數(shù)積的對數(shù)，等于各數(shù)的對數(shù)的和；②兩數(shù)商的對數(shù)，等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；③冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對數(shù)．第二十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一理論遷移例1用logax，logay，logaz表示下列 各式：

;(2).第三十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一例2求下列各式的值：

(1)log2（47×25）；

(2)lg

；(3)log318-log32

；(4).第三十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一例3計算：

第三十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一小結(jié)作業(yè):性質(zhì)①的等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是—個降級運(yùn)算.性質(zhì)②的等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運(yùn)算，從右往左是一個升級運(yùn)算.性質(zhì)③從左往右仍然是降級運(yùn)算．利用對數(shù)的性質(zhì)①②可以使兩正數(shù)的積、商的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)的各自的對數(shù)的和、差運(yùn)算，大大的方便了對數(shù)式的化簡和求值.第三十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一作業(yè)：

P68練習(xí)：1,2，3.P74習(xí)題2.2A組：3,4,5.第三十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算第三課時換底公式及對數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用

第三十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一問題提出.（1）（2）（3）（1）;（2）;（3）.1.對數(shù)運(yùn)算有哪三條基本性質(zhì)？2.對數(shù)運(yùn)算有哪三個常用結(jié)論？第三十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一

3.同底數(shù)的兩個對數(shù)可以進(jìn)行加、減運(yùn)算，可以進(jìn)行乘、除運(yùn)算嗎？

4.由得，但這只是一種表示，如何求得x的值？第三十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一換底公式及對數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用第三十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一知識探究（一）：對數(shù)的換底公式

思考2:你能用lg2和lg3表示log23嗎？思考1:假設(shè)，則，從而有.進(jìn)一步可得到什么結(jié)論？

第三十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考4:我們把（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）叫做對數(shù)換底公式，該公式有什么特征？思考3:一般地，如果a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0，那么與哪個對數(shù)相等？如何證明這個結(jié)論？第四十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考6:換底公式在對數(shù)運(yùn)算中有什么意義和作用？思考5:通過查表可得任何一個正數(shù)的常用對數(shù)，利用換底公式如何求的值？第四十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一知識探究（二）：換底公式的變式

思考1:與有什么關(guān)系？

思考2:與有什么關(guān)系？

思考3:可變形為什么？第四十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一理論遷移

例1計算：

(1)

;(2)（log2125＋log425＋log85)·

（log52＋log254＋log1258）第四十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一作業(yè)：P68練習(xí)：4.P74習(xí)題2.2A組：6，11，12.第四十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算第四課時對數(shù)運(yùn)算習(xí)題課第四十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一知識回顧.1.指數(shù)與對數(shù)的換算:2.對數(shù)運(yùn)算的三個常用結(jié)論:第四十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一3.對數(shù)運(yùn)算的三條基本性質(zhì):4.對數(shù)換底公式:第四十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一理論遷移例1求下列各式的值:2-21第四十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一例2已知，求的值.例3設(shè)，已知, 求的值.第四十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一

例420世紀(jì)30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越.這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lgA－lgA0.其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差）.（1）假設(shè)在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001，計算這次地震的震級（精確到0.1）；4.3第五十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一20世紀(jì)30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越.這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lgA－lgA0.其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差）.（2）5級地震給人的震感已比較明顯，計算7.6級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍（精確到1）.398第五十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一

例5生物機(jī)體內(nèi)碳14的“半衰期”為5730年，湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的76.7％，試推算馬王堆古墓的年代.2193思考題:設(shè)函數(shù)已知且對一切恒成立，求的最小值.第五十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時對數(shù)函數(shù)的概念與圖象

第五十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一問題提出1.用清水漂洗含1個單位質(zhì)量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，試寫出漂洗次數(shù)y與殘留污垢x的關(guān)系式.

2.（x>0）是函數(shù)嗎？若是，這是什么類型的函數(shù)？第五十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一對數(shù)函數(shù)的概念與圖象第五十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一知識探究（一）：對數(shù)函數(shù)的概念

思考1:在上面的問題中，若要使殘留的污垢為原來的，則要漂洗幾次？

思考2:在關(guān)系式中，取對應(yīng)的y的值存在嗎？怎樣計算？

思考3:函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，一般地，什么叫對數(shù)函數(shù)？

第五十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考4:為什么在對數(shù)函數(shù)中要求a＞0，且a≠l？

思考5:對數(shù)函數(shù)的定義域、值域分別是什么？思考6:函數(shù)與相同嗎？為什么？

第五十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考1:研究對數(shù)函數(shù)的基本特性應(yīng)先研究其圖象.你有什么方法作對數(shù)函數(shù)的圖象？知識探究（二）：對數(shù)函數(shù)的圖象

思考2:設(shè)點P(m，n)為對數(shù)函數(shù)圖象上任意一點，則，從而有.由此可知點Q（n，m）在哪個函數(shù)的圖象上？第五十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考3:點P(m，n)與點Q(n，m)有怎樣的位置關(guān)系？由此說明對數(shù)函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象有怎樣的位置關(guān)系？PQxyo第五十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考4:一般地，對數(shù)函數(shù)的圖象可分為幾類？其大致形狀如何？yx011xy011思考5:函數(shù)與的圖象分別如何？

a>10<a<1第六十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一理論遷移

例1求下列函數(shù)的定義域：

(1)y＝log0.5|x+1|

;(2)y＝log2(4－x)

;(3).

例2已知函數(shù),求函數(shù)f(x)的定義域，并確定其奇偶性.第六十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一作業(yè)：P73練習(xí)：2P74習(xí)題2.2A組：9，10.第六十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一第二課時對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第六十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一問題提出1.什么是對數(shù)函數(shù)？其大致圖象如何？2.由對數(shù)函數(shù)的圖象可得到哪些基本性質(zhì)？

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)第六十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一知識探究（一）：函數(shù)的性質(zhì)思考2:由此可知函數(shù)的定義域、值域分別是什么？

思考3:函數(shù)圖象的升降情況如何？由此說明什么性質(zhì)？

思考1:函數(shù)圖象分布在哪些象限？與y軸的相對位置關(guān)系如何？

xy011第六十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考5:若，則函數(shù)與的圖象的相對位置關(guān)系如何？yx01思考4:圖象在x軸上、下兩側(cè)的分布情況如何？由此說明函數(shù)值有那些變化？xy011第六十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一知識探究（二）:函數(shù)的性質(zhì)

思考2:若，則函數(shù)與的圖象的相對位置關(guān)系如何？xy01思考1:函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值分布分別如何？xy01第六十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一思考3:對數(shù)函數(shù)具有奇偶性嗎？思考4:對數(shù)函數(shù)存在最大值和最小值嗎？思考5:設(shè)，若，則m與n的大小關(guān)系如何？若，則m與n的大小關(guān)系如何？第六十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一例1比較下列各組數(shù)中的兩個值的大小：（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9（a>0,a≠1);（4）log75，log67.理論遷移第六十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一

例2求下列函數(shù)的定義域、值域：

(1)y＝；

(2)y＝log2(x2＋2x＋5).第七十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一例3溶液酸堿度的測量:

溶液酸堿度是通過pH刻畫的.pH的計算公式為pH＝－lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾／升.（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關(guān)系；（2）已知純凈水中氫離子的濃度為[H+＝10－7摩爾／升，計算純凈水的pH.第七十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一作業(yè)：

P73

練習(xí)：3P74

習(xí)題2.2B組：1，2，3.第七十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一第三課時指、對數(shù)函數(shù)與反函數(shù)

2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第七十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一問題提出

設(shè)a＞0，且a≠1為常數(shù)，.若以t為自變量可得指數(shù)函數(shù)y＝ax，若以s為自變量可得對數(shù)函數(shù)y＝logax.這兩個函數(shù)之間的關(guān)系如何進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋？第七十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一指、對數(shù)函數(shù)與反函數(shù)第七十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期一知識探究（一）：反函數(shù)的概念

思考1:設(shè)某物體以3m/s的速度作勻速直線運(yùn)動，分別以位移s和時間t為自變量，可以得到哪兩個函數(shù)？這兩個函數(shù)相同嗎？

思考2:設(shè)，分別x、y為自變量可以得到哪兩個函數(shù)？這兩個函數(shù)相同嗎？

思考3:我們把具有上述特征的兩個函數(shù)互稱為反