2020-2021九年級培優(yōu) 易錯 難題平行四邊形輔導(dǎo)專題訓(xùn)練含詳細答案

九年級培優(yōu)錯難題平行四邊形輔導(dǎo)專題訓(xùn)練含詳細答案一、平四邊形1．如圖，將矩形紙片ABCD沿角線AC折，使點B落到的位置與CD交于點E.（）證eq\o\ac(△,：)CEB′（）AB=8DE=，點P為線段AC上任意一點PGAE于G，PHBC于求PG+的.【答案】（）明見解析；2）【解析】【分析】（）折疊的質(zhì)知，

，，，則由得到

；（）

，可得

，又由

，即可求得

的長，然后在中，利用勾股定理即可求得

的長，再過點作

于，角平分線的性質(zhì)，可得【詳解】

，易證得四邊形

是矩形，繼而可求得答案（）

四邊形

為矩形，，

，又

，；（）

，，，，在

中，

，過點作

于，，，，，，、、共，

，，

四邊形

是矩形，，.【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知.此難度較大，意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用2．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是形，點O（，），點（，）點（，3）．以點為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，得到矩形，點O，，的對應(yīng)點分別為D，，．（）圖，當(dāng)點D落BC邊上時，求點的坐標(biāo)；（）圖，當(dāng)點D落線段BE上時，與BC交點H．①求eq\o\ac(△,)ADBAOB；②求H的標(biāo)．（）為形對線的交點，eq\o\ac(△,)KDE的積求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（）（，）；2）詳解析；H（34．≤S≤4

，）（）【解析】【分析】（）圖，在eq\o\ac(△,)中出CD即可解決問題；（）根據(jù)HL證即可；②，AH=BH=m則HC=BC-BH=5-m，eq\o\ac(△,)中根據(jù)AH=HC+AC，建方程求出m即可解決問題；（）圖中，當(dāng)點D在段BK上eq\o\ac(△,)DEK的積最小，當(dāng)點在BA的長線上時eq\o\ac(△,)′E′K的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；【詳解】（）圖中，

（，0），（，），=5，OB=3，四形是形，AC=OB=3，OABC，OBC=C=90°，矩是由矩形AOBC旋得到，=AO，在eq\o\ac(△,)ADC中，CD

2

AC

2，BDBCCD，D（，）（）如圖中，由四邊形是矩形，得到ADE，點在段上，=90°，由（）知AD=AO，又AB，=90°，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)AOB（）②如②中eq\o\ac(△,)ADBAOB，得到BAD=BAO，又在矩形中OABC，CBAOAB，BAD=CBA，BHAH，設(shè)AH=BHm則BCm，在eq\o\ac(△,)AHC中AH=HC+2，m

=3+（m），m

，BH

，

H（

，）（）圖中，當(dāng)點在段BK上時eq\o\ac(△,)DEK的面積最小，最小=

?DE?=×3×（

3034）4

，當(dāng)點D在BA的長線上時eq\o\ac(△,)DE的面積最大，最大面積

×D′×3×（

34）4

．綜上所述，

34≤S≤4

．【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．3．已知：在菱形中，E，F(xiàn)是BD上兩點，且AE．求證：四邊形AECF是形．【答案】見解析【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得ABCD，＝，＝，SAS可eq\o\ac(△,)，得

AF＝，eq\o\ac(△,)CDF可得＝，平行四邊形的判定和菱形的判定可得四邊形AECF是形．【詳解】證明：四形是形ABCD＝，ADF＝CDFAB＝，＝CDF，＝ADFCDF（）AF＝，ABCDCFABE＝CDF，AEFCFEAEB＝CFD，＝CDF，＝ABE（）AECF，AECF四形AECF是行四邊形又AF＝，四形AECF是形【點睛】本題主要考查菱形的判定定理，首先要判定其為平行四邊形，這是菱形判定的基本判4．如圖，四邊形中，BCDD=90°，是的已知，=2.（）BC=，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（）當(dāng)B=70°時AEC的數(shù)（）eq\o\ac(△,)ACE為角三角形時，求邊BC的長【答案】（）

；（）AEC（）的長為2或

.【解析】試題分析：1）A作AHBC于，到四邊形ADCH為形．eq\o\ac(△,)BAH中，由勾股定理即可得出結(jié)論．（）中T，連接TE，是形中位線，得ET，，AET．又ADAE=1，得到=ADE．垂平分，得DET=35°，

可得到結(jié)論．（）兩種情討論①當(dāng)AEC，易eq\o\ac(△,)CAE，得BCE=30°，eq\o\ac(△,)ABH即可得到結(jié)．②當(dāng)CAE時，易eq\o\ac(△,)，相似三角形應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論．試題解析：解：1）A作AHBC于．BCD=90°，四邊形ADCH為形．eq\o\ac(△,)BAH中=2，BHA，y=2y2x

，則

2x

（）中T，聯(lián)結(jié)TE，是形中位線，得ET，，AETB=70°又ADAE=1，AED=ADE．垂平分CD，得==35°，．（）兩種情討論①當(dāng)AEC，易eq\o\ac(△,)CAE，得BCE=30°，則eq\o\ac(△,)中，B=60°，AHB，，得BH=1，于是BC=2．②當(dāng)CAE時，易eq\o\ac(△,)，

2

AB

2

2

，則

AC

x

1

x117xx

（舍負）易知<90°，以BC的長為

．綜上所述：邊的長為2或

．點睛：本題是四邊形綜合題．考查了梯形中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握梯形中常見的輔助線作法．5．已知eq\o\ac(△,)中邊AB=OB=1，ABO=90°問題探究：（）AB為，在eq\o\ac(△,)的右邊作正方形，如圖1）則點O與的距離為．（）AB為，在eq\o\ac(△,)的右邊作等邊三角形ABC，如圖2）求點O與點C的

離．問題解決：（）線段DE=1，線段DE的兩個端點，E分在射線OA、上滑動，以DE為向外作等邊三角形DEF，圖（）則與F的距離有沒有最大值，如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．【答案】、；、【解析】【分析】

232；、.2試題分析：、圖1中連接，eq\o\ac(△,)中，根據(jù)OD=

2

CD

2計即可．、如圖中，作CEOB于，于F，連接OC．eq\o\ac(△,)OCE中根據(jù)OC=

OE

2

CE

2計算即可(3)、如圖3中，當(dāng)時OF的最大，設(shè)OF交DE于H，OH上取一點，使得OM=DM連接．分別求出、OM、即可解決問題．【詳解】試題解析：、圖1中連接，四形是方形，，C=90°在eq\o\ac(△,)ODC中C=90°，OC=2，CD=1

2

CD

2

2

2

5(2)、圖2中作CE于，AB于，接OC．E=，四形BECF是矩形，BF=CF=

，CF=BE=，

22在eq\o\ac(△,)OCE中，OC=

2

2

3

2

=

2

．(3)、圖3中當(dāng)OFDE時，的值最大，設(shè)交DE于H，在上一點，使得OM=DM連接DM．FD=FE=DE=1，DE，，，DOE=22.5°，，MOD=，

，DM=OM=，

DF

233，=2

．OF的最大值為

．考點：四邊形綜合題．6．如圖，正方形ABCD中，AD=6，點是對角線BD上意一點，連接，過P作PE交直線AB于．（）求：PC=PE;（）延AP交直線CD于點F.①如2，點F是CD的中點，eq\o\ac(△,)APE的積；②若ΔAPE的面積是

，則DF的長為（）如3，在AB上連接EC交BD于M,作E關(guān)BD的對稱點，接，，過點P作PNCD交EC于點，接QN，，MN=面積是

2

，則MNQ的

【答案】（）；（2），或；）

【解析】【分析】（）用正方每個角都是90°對角線平分對角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，等角對等邊等性質(zhì)容易得;（）eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)的高，由面積法容易求出這個高的從而得eq\o\ac(△,)PAE的和，并求出面積第2小思路一樣，通過面積法列出方程求解即;（）據(jù)已經(jīng)件證eq\o\ac(△,)是直角三角形，計算直角邊乘積的一半可得其面.【詳解】(1)證：點P在對角線BD上，ADPPE，EPB+EBP+EPB=45°+90°-BPC=135°-BPC,＝∠DCP=BPC-PDC=BPC-45°,BPC-45°)=BPC,PAE,PC=PE;（）如圖，過點分別作PHAD,PG垂分別為H、延長交AB于點M.四形是方形，在對角線上，四形是方形，

AB,設(shè)PH=PG=a,F是CD中點6，F(xiàn)D=3,SnADF

=9,SnADF

=

Sn

n

=

ADDFPG

,

,解a=2,又PA=PE,

n

=

MP

,②設(shè)HP＝由可

n

=

b6

,解得b=2.4或3.6SnADFnn

=

ADDFPG

,

1DFDF22

,當(dāng)b=2.4時，；當(dāng)＝時，DF＝即DF的為4或9;（）圖，EQ關(guān)BP對，1＝22+3＝4,易eq\o\ac(△,)PNQPNC,6,7=8,EM=QM,NQ=NC,7=90°,MNQ是角三角形,

222222設(shè)列程組72

,可得

ab=,

S

VMNQ

,【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵要注意運用數(shù)形結(jié)合思.7．在平面直角坐標(biāo)系中為原點，點（﹣，）點C（，），若正方形OABC繞點順針旋轉(zhuǎn)，得正方形′B′C，記旋轉(zhuǎn)角為：（）圖，當(dāng)α＝45°，求BC與A的交點D的標(biāo)；（）圖，當(dāng)α＝60°，求點的坐標(biāo)；（）P為線段BC的中點，求AP長的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（）(6

；（）(333,3

；（3）AP3【解析】【分析】（）α＝時延長OA經(jīng)點B在eq\o\ac(△,)BA中，＝，＝2，求得BD的，進而求得的長，即可得出點的標(biāo)；（）點C作x軸線MN交軸于點M過點B作的垂線，垂足為，明OMCC，可得C＝OM＝3，′N＝′M＝，可出點的坐標(biāo)；（）接，AC相交于點K，K是的點，因為為線段的點，所以PK＝

OC＝3，點在以為心3為徑的圓上運動，即可得出AP長取值范圍．【詳解】

解：（）（﹣，）C0），（，），四形是邊長為6的正方形，當(dāng)＝45°，如圖，長OA經(jīng)過點B，OB6

2，＝＝OBC45°，′B

62，＝

6）

2122，CD6﹣（

12）

6，BC與′B的交點的標(biāo)為（

62，）；（）圖，過點C作軸線MN交軸點M，過′作MN的垂線，垂足為N，′B＝90°，′M＝90°﹣′C＝C，′C，OMC＝C′NB＝90°，OMC′（）當(dāng)＝60°，A90°，OC＝＝30°，C＝＝33′N＝＝，點B的坐標(biāo)為3；（）圖，連接相交于點，則K是OB的點，

P為段BC的中點，PK＝

OC＝3，P在為圓心3為半徑的圓上運動，AK＝

2，AP最大值為

3，的小值為2，AP長的取值范圍為

3

.【點睛】本題考查正方形性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，三角形中位線定理．）問解題的關(guān)鍵是利用中位線定理得出點P的軌跡．8．(1)問發(fā)現(xiàn)如圖1,點E.分別在正方形ABCD的BC、上，連接EF、=+DF，試說明理由；(2)類引申如圖2,在邊形中ABAD,=90°,點E.F分別在邊、CD上EAF=45°，B，D都是直角，則B與D滿足等量關(guān)系時，仍有BE+DF；(3)聯(lián)拓展如圖3,eq\o\ac(△,)ABC中BAC=90°,AB=,點D、均邊BC,且猜想BD、、滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程。【答案】（）見解析；2詳見解析；（）見解.【解析】試題分析：1）eq\o\ac(△,)ABE繞逆時針旋轉(zhuǎn)90°eq\o\ac(△,)可使AB與重合，證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出案；（）eq\o\ac(△,)ABE繞A逆針旋轉(zhuǎn)至ADG可使AB與重合，證eq\o\ac(△,)AFEAFG，

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；（）eq\o\ac(△,)ACE旋到的位置，連接，證eq\o\ac(△,)AFEAFG（）則EF=FGC=ABF=45°eq\o\ac(△,)是角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．試題解析：理是：如圖1，AB=ADeq\o\ac(△,)ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至ADG，可使與AD重，如圖，ADC=B=90，F(xiàn)DG=180，F(xiàn).D.G共，則，AE=AG，∠∠BAE=90=45=EAF，即，eq\o\ac(△,)EAFeq\o\ac(△,)GAF中，，，，；(2)D=180時，EF=BE+DFAB=ADeq\o\ac(△,)ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至ADG，可使與AD重，如圖，BAE=DAG，BAD=90，BAE+°，，ADC+B=180，F(xiàn)DG=180，F(xiàn).D.G共，eq\o\ac(△,)AFEeq\o\ac(△,)AFG中，，，，

EF=FG，即：，故答案為：B+ADC=180；(3)BD

+CE=DE

.理由是：eq\o\ac(△,)旋到ABF的置，連接，則∠CAE.BAD+CAE=45，又CAE，∠DAE=45，則eq\o\ac(△,)ADF和ADE中，AD=AD，∠DAE，，ADFADE，ABF=45，BDF=90°，BDF是角三角,BD

+BF

=DF，BD

+CE=DE2.9．在矩形紙片中，，BC=8，將紙片折疊，使點D與點B重，折痕為，連接DF．（）eq\o\ac(△,)BEF是等腰三角形；（）折痕EF的．【答案】（）解析；2）

.

【解析】【分析】（）據(jù)折疊=BEF，據(jù)矩形的性質(zhì)得出，求出DEFBFE，出BEFBFE即；（）作EMBC于M，則四邊形ABME是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EM=6，=BM，據(jù)折疊得出BE，根據(jù)勾股定理求出DE在eq\o\ac(△,)中，由勾股定理求出即可．【詳解】（）現(xiàn)紙片折疊，點D與點B重合，折痕為EF，DEFBEF．四形是形，ADBC，DEFBFE，=，BE=BF，eq\o\ac(△,)是等腰三角形；（）作EMBC于M，則四邊形ABME是矩形，所以EM=6，=BM．現(xiàn)紙片折疊，點D與重合，折痕為，DEBE，=，EF．四形是形，BC，AD=，BAD．在eq\o\ac(△,)中==BM=

+2BE，（﹣BE）+62BE，得：BE=﹣=．

=DE=BF，=8DE﹣在eq\o\ac(△,)中由勾股定理得=故答案為：．

=

．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)和矩形性質(zhì)、勾股定理等知識點，能熟記折疊的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．10．圖，拋物線

交x軸的正半軸點A點B（，a）拋物線上，點C是拋物線對稱軸上的一點，連接ABBC以、為邊記點C縱標(biāo)為，（）的及點A的坐標(biāo)；（）點恰好落在拋物線上時，求n的；（）與物線的交點為，連接AE，BEeq\o\ac(△,)AEB的積為時，n．直寫出答案）

【答案】（）

，A3，）；（）【解析】試題解析：1）點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出a的，令=0即可求出點的坐標(biāo)．（２）求出點D的標(biāo)即可求解；（）eq\o\ac(△,用)的積為7，式計算即可得解試題解析：1）由，

時，（舍去），（分A（3，0）（）作軸于G，軸H.CDABCD=AB

，，

12nn2n212nn2n2（）11．圖1所示，1在正三角形中，是BC邊（不含端點、）任意一點P是BC延長線上一點，是的平分線上一點，AMN=60°，求證：AM=MN．（）將1）中正三角形”為正形，是的分線上一點若，AM=MN是成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由．（）將2）“正形改為“正邊形AA“，它條件不變，請你猜想：當(dāng)AMN=_____°時結(jié)論AM=MN仍成立．（不求證明）【答案】

(n0n【解析】分析：1）證明AM=MN，證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上一點，AE=CM，接，用ASA即證eq\o\ac(△,)AEMMCN，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊成比例得出．（）（），要證明，證AM與MN所的三角形全等，為此可在AB上一點，使AE=CM，接，用ASA即證eq\o\ac(△,)≌MCN，后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊成比例得出AM=MN詳（）明在邊AB上取AE=MC，接ME．在eq\o\ac(△,)ABC中，B=BCA=60°，．NMC=180°-AMN-AMB=180°-AMB=MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，．是的分線上一點，，．eq\o\ac(△,)AEM與MCN中，MAE=NMC，AE=MC，AEM=MCNAEMMCN（，

n-2n-2n-2n-2n-2n-2n-2n-2AM=MN．（）：結(jié)論立；理由：在邊上截取，連接．正形中BCD=90°．NMC=180°-AMN-AMB=180°-AMB=MAB=MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，BEM=45°，AEM=135°．是的分線上一點，NCP=45°，MCN=135°．eq\o\ac(△,)AEM與MCN中，MAE=NMC，AE=MC，AEM=MCNAEMMCN（，AM=MN．（）（）（）知當(dāng)AMN等n邊形的內(nèi)角時，結(jié)論AM=MN仍成立；即AMN=

0

時，結(jié)論M=MN仍成立；故答案為

0

．點睛：本題綜合考查了正方形、等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定，同時考查了學(xué)生的歸納能力及分析、解決問題的能力．難度較大．12．圖，在平面直角坐標(biāo)xOy中四邊形的點A在軸的正半軸上，，OC=2點D、、、G分別為邊OA、、、的點，連結(jié)DE、、、．（）點C在y軸的正半軸上，當(dāng)點B的標(biāo)為（，）時，判斷四邊形DEFG的狀，并說明理由（）點C在二象限運動，且四邊形DEFG為形時，求點四邊形OABC對線OB長度的取值范.（）在點C的運動過程中，四邊形DEFG始為正方形，當(dāng)點C從軸半軸經(jīng)過軸正半軸，運動至軸正半軸時，直接寫出點B的動路徑.

【答案】（）方形（225（）2π【解析】分析（）接，，說明OBAC，OB=AC，可得四邊形DEFG是方形（）四邊形DEFG是形，可得OB=AC，點在y軸上時AC=，當(dāng)點C在x軸上時，故得結(jié)論；（）據(jù)題意算弧長即.詳解：1）方形，如圖1，證明接，，明OBAC，，得四邊形DEFG是正方.（）5OB如圖，四邊形是形，可得，當(dāng)點在y軸上時AC=，點C在軸上時，5OB；（）π.如圖，四邊形是方形時AC，且，構(gòu)eq\o\ac(△,)，得點在以0，）圓心2為徑的圓上運動所以當(dāng)C點x軸負半軸到正半軸運動時B點的運動路徑為2.圖

圖2

圖點睛：本題主要考查了正方形的判定，菱形的性質(zhì)以及弧長的計靈運用正方形的判定定理和菱形的性質(zhì)運用是解題的關(guān).13．圖，eq\o\ac(△,)中，AB=7，，．點P從點出，沿方向以每秒1個位長度的速度向終點運（不與點A、重合），過點P作．折線CB于點，PQ為邊向右作正方形PQMN，點P的動時間為（），正方形eq\o\ac(△,)ABC重疊部分圖形的面積為（方單位）．（）接寫出方形的邊PQ的（用含t的代數(shù)式表示）．

1212212122（）點M落在邊BC上，求t的值．（）與之間的函數(shù)關(guān)系式．（）圖，點運動的同時，點H從點B出，沿的向做一次往返運動，在B-A上的速度為每秒2個單位長度，在上的速度為每秒4個單位長度，當(dāng)點H停運動時，點P也之停止，連結(jié)MH．設(shè)MH將正方形分成的兩部分圖形面積分別為S、（平方單位）（＜＜），直接寫出當(dāng)≥3S時t的值范圍【答案】(2)t=

．當(dāng)＜≤

時，S=

．當(dāng)＜，．當(dāng)＜7時，

．（）

或

或．【解析】試題分析：1）兩種情況討論：當(dāng)點在段上時，當(dāng)點Q在段BC上．（）據(jù)AP+PN+NB=AB，出關(guān)于的方程即可解答；（）＜≤（）

時，當(dāng)或

＜≤4，當(dāng)4＜＜時或．試題解析：1）點Q在段AC上，t．當(dāng)點在線段上，．（）點M落在邊BC上，如圖，由題意得：t+t=7，解得：

．∴當(dāng)點M落在邊BC上時，求t的為

．

（）＜

時，如圖，S=當(dāng)

．＜≤4，如⑤，．當(dāng)4＜7時如圖，．（）

或

或．．考點：四邊形綜合題14．知：如圖，四邊形ABCD和邊形AECF都矩形AE與BC交點，與AD交于點．（）證eq\o\ac(△,：)≌CDN；（）形和形AECF滿足何種關(guān)系，四邊形是形證明你的結(jié)論．【答案】（）明見解析；2）ABAF時四邊形AMCN是菱形．證明見解析；

【解析】試題分析：1）已知條件可得四邊形