學(xué)科數(shù)學(xué)-基礎(chǔ)課數(shù)分12第2122章精講學(xué)姐

主講老師 老 PAGEPAGE3?YY?YY?PAGEPAGE4目PAGEPAGE5重積分重積分重積重積PAGE6PAGE6重積

二重積ü三重積ü重積分的應(yīng)?設(shè)f(x,y,z)為定義在三可求體積的有界閉域V上的函數(shù).J是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給正數(shù)總存在某個(gè)正數(shù)使對(duì)于V的任何分割T，只要||n

||屬于T的所有積分和都i

則稱f(x,y,z)在V上可積，數(shù)J稱為函數(shù)f(x,y,z)在V上的三重積分，記JV

f(x,y,

JV

f(x,y,其中f(x,y,z)稱為被積函數(shù)，x,y,z稱為積分變量，V稱為積分區(qū)域當(dāng)f(x,yz)1時(shí)，dV在幾何上表示V的體積V

重積h①若函數(shù)f(x,y,z)在長(zhǎng)方體Vab][cd][eh]上的三重積分存在，且對(duì)任意x[ab]，g(x,y)h

f(x,yz)dz則積分g(x,y)dxdy也存在，且f(x,yz)dxdydzdxdyef(x,y 推論:Vx,yz|x,yDz1(x,y)zz2x,yab][cd][eh]z2(x,yf(x,y,z)dxdydzdxdyz(x,y

f(x,y, ②若函數(shù)f(x,y,z)在長(zhǎng)方體V[ab][cd][eh]上的三重積分存在，且對(duì)任意(x,y[ab][cb二重積分I(x)D

f(x,yz)dydz存在，其中Dcd][eh],則積分aDb

f(x,yz)dydz也存在且f(x,yz)dxdydza

f(x,y,z)dV推論若

{(x,y,z)|(x,y)D,z1(x,y)zz2(x,y)}[a,b][c,d][e,h]，(z)

f(x,y, f(x,y,z)dxdydze(z)dzV

f(x,y, 重積重積V 計(jì)算(x2V

y2z)dxdydz其中

z

z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與z1所圍的區(qū)

p258例是由x0方法 方法V

f(x,y,

V

f(x(u,v,w),y(u,v,w),

dw.其中J(u,v,w) 常用的變換①柱面坐標(biāo)變xrcos,0

經(jīng)過變換

:

rsin,02,得三重積分的柱面坐標(biāo)換元為z z,z

zf(x,y,z)dxdydzf(rcos,rsin, V常用的變換②球坐標(biāo)變

經(jīng)過變換

:zz

得三重積分的球坐標(biāo)換元為 V?

對(duì)于x軸：Jxyz)(xyz)dV x ,yV ,zV ; V

V

V

對(duì)于y

V

(z2x2)(x,y,z)dV當(dāng)物體V的密度均勻即為常數(shù)時(shí)

對(duì)于z

(x2y2)(x,y,z)dVx

xdV,y

ydV,z

V V

對(duì)于坐標(biāo)平面平面薄板

J

z2(x,y,z)dV,JV

x2(x,y,z)dV,JV

y2(x,y,z)dVV

平面薄板

x ,yD ,zD

以及

r2x,y)(x,y)dl為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，r(x,y)為D中點(diǎn)(x,y)到l的距離函D重積?,r (x

(y

z)2是A到dV的距離.于是力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別F

x

dV,F

y

dV,F

Fi

jFr rV

rVr

V

r曲面的面積 “面包”分析法rnSlim1f2(,)f2

D

1f2(x,y)

f2(x,xy xy

或S

|cos||cosn,z

例 求圓錐z

x2

y2在圓柱體x2

重積x內(nèi)那一部分的面

曲面積曲面積曲面積

?

Si面積，分割T的細(xì)度||n

取一點(diǎn),i)(i1,2n)，若極限

f,i)Si存在，且與分割T及,i)(i1,2f(xyz)在SS

f(x,yz)dSS幾幾何意義第一型曲線積分：曲線的質(zhì)量；第一型曲面積分：曲面塊的質(zhì)量?,曲面塊Si(i1,2n)，分割T的細(xì)度||

, , 分別表 Si在三個(gè)坐標(biāo)平面上的投影區(qū)域的面積，它們的符號(hào)由Si的方向來確定

i

i

i

且與分割T及(i,i,i)在Si上的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)PQ,R在曲面S所指定一側(cè)上的第二型曲面積分，記作P(x,yz)dydzQ(x,yz)dzdxR(x,yz)dxdySP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y, 曲面曲面積?11 2x2y

設(shè)有光滑曲

S：z

z(

y),(

y)

f(

y,z)為S上的連續(xù)函數(shù)S

(

y,

D

f(

y,z(

y))

dxdy?22.2

設(shè)R是定義在光滑曲

S：z

z(

y),(

y)Dxy上的連續(xù)函數(shù)，

S的上側(cè)為正(這時(shí)S的法線方向

z軸正向成銳

)，則R(S

y,

R(

y,z(

y))dxdy曲面積曲面積 計(jì)算(x2S

y2z2ds其中(1)Sx2

y2z

a2;(2)S:x2

y2z

曲面曲面積 計(jì)算xyzdxdy,其中S是球面x2S

y2z

1在x0y0部分并取球面外

p300曲面積曲面積?定理設(shè)S為光滑曲面正側(cè)法向量為(coscoscosP(x,y,zQ(x,y,zR(x,y,z)在S上連續(xù)，P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,S(P(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)S定理設(shè)PQ,R是定義在光滑曲面S：z

z(x,yx,y)D上的連續(xù)函數(shù),以S的上側(cè)為正側(cè)，P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,S(P(x,y,z(x,y))(zx)Q(x,y,z(x,y))(zy)R(x,y,z(x,D?定理, x

dxdydz ?右手法則是啥右手法則是啥

y

zdydz

dzdx

dxdyLPdxQdyS 曲面積曲面積 應(yīng) S

ydzdx,p311習(xí)題其中s是上半球面z

a2

y2的外