2021高三數(shù)學(xué)教師用書：第11章 第5講古典概型含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高三人教B版數(shù)學(xué)一輪（經(jīng)典版）教師用書：第11章第5講古典概型含解析第5講古典概型基礎(chǔ)知識整合1．基本事件的特點(1）任何兩個基本事件是eq\o（□,\s\up1（01)）互斥的．(2）任何事件（除不可能事件)都可以表示成eq\o（□，\s\up1（02)）基本事件的和．2．古典概型(1)古典概型的定義具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．eq\x（有限性)—eq\x（試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件\o(□，\s\up1（03))只有有限個）|eq\x(等可能性)—eq\x(每個基本事件出現(xiàn)的可能性\o（□,\s\up1（04）)相等）(2）古典概型的概率公式P（A）＝eq\o（□,\s\up1（05)）eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù)）.一個試驗是否為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征-—有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特征的概率模型才是古典概型．正確的判斷試驗的類型是解決概率問題的關(guān)鍵．1．一枚硬幣連擲2次，恰好出現(xiàn)1次正面的概率是（）A。eq\f(1,2) B。eq\f（1，4)C.eq\f（3,4） D．0答案A解析列舉出所有基本事件，找出“恰有1次出現(xiàn)正面”包含的結(jié)果．一枚硬幣連擲2次，基本事件有（正，正)，（正，反）,（反,正），（反，反），共4個，而恰有1次出現(xiàn)正面包括(正，反）,（反，正），2個，故其概率為eq\f（2,4）＝eq\f(1，2).2．10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是（)A。eq\f（3，4)B.eq\f（1，4)C。eq\f（1,2）D。eq\f（3,8）答案C解析從10件產(chǎn)品中任取4件有Ceq\o\al（4,10）種取法，取出的4件產(chǎn)品中恰有1件次品有Ceq\o\al（3,7）Ceq\o\al(1，3)種取法，則所求的概率P＝eq\f(C\o\al（3，7）C\o\al(1,3），C\o\al(4,10））＝eq\f（1,2).3．（2020·金華模擬）從1，2,3，4，5,6六個數(shù)中任取2個數(shù)，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是（)A.eq\f（3,5)B.eq\f(2，5)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2，3）答案D解析取出的兩個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)的有5種情況，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率P＝1－eq\f（5，C\o\al（2，6)）＝1－eq\f(5，15）＝eq\f（2，3)。故選D.4．（2019·安徽江淮十校5月考前最后一卷）中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一,古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形中較短的直角邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦，其三邊長組成的一組數(shù)據(jù)稱為勾股數(shù)，現(xiàn)從1～15這15個數(shù)中隨機抽取3個整數(shù)，則這三個數(shù)為勾股數(shù)的概率為(）A。eq\f(1,910）B.eq\f(3，910）C.eq\f（3,455)D。eq\f（4，455)答案D解析從這15個數(shù)中隨機選取3個整數(shù),所有的基本事件個數(shù)為Ceq\o\al（3,15)，其中，勾股數(shù)為(3,4，5)，（6，8,10），(9，12，15），(5，12,13),共4個，所以這三個數(shù)為勾股數(shù)的概率為P＝eq\f（4，C\o\al（3,15))＝eq\f(4，455）.故選D.5．(2018·江蘇高考）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動,則恰好選中2名女生的概率為________．答案eq\f(3,10）解析所求概率P＝eq\f（C\o\al（2,3）,C\o\al（2，5）)＝eq\f（3，10）。6．在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期．從這30瓶飲料中任取2瓶,則至少取到1瓶已過保質(zhì)期的概率為________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)．答案eq\f（28，145）解析解法一：從這30瓶飲料中任取2瓶，至少取到1瓶已過保質(zhì)期的概率為P＝eq\f(C\o\al（1，27）C\o\al（1,3)＋C\o\al（2，3），C\o\al(2，30))＝eq\f(28,145）.解法二：從這30瓶飲料中任取2瓶，至少取到1瓶已過保質(zhì)期的概率為P＝1－eq\f（C\o\al（2,27）,C\o\al(2,30）)＝eq\f(28,145）。核心考向突破考向一簡單的古典概型例1(1)(2019·陜西西安質(zhì)檢)陜西省西安市周至縣的旅游景點樓觀臺，號稱“天下第一福地”，是我國著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德經(jīng)》五千言．景區(qū)內(nèi)有一處景點建筑,是按古典著作《連山易》中記載的金、木、水、火、土之間相生相克的關(guān)系所建．如圖所示，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰好是相克關(guān)系的概率為(）A。eq\f(2，3)B.eq\f（1，2）C.eq\f(1，5）D。eq\f(2,5）答案B解析現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，取出的兩種物質(zhì)恰好是相克關(guān)系包含的基本事件個數(shù)m＝Ceq\o\al(1,5）＝5，則取出的兩種物質(zhì)恰好是相克關(guān)系的概率為P＝eq\f（m，n)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2）.故選B.（2)（2020·湖北黃岡調(diào)研)生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝"知識講座，每藝安排一節(jié),連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（)A。eq\f（7，60）B。eq\f（1,6)C。eq\f（13，60）D.eq\f（1，4)答案C解析當(dāng)“數(shù)”排在第一節(jié)時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其他剩下的有Aeq\o\al（3,3)種情況，由間接法得到滿足條件的情況有Aeq\o\al（5，5）－Ceq\o\al(1,4）Aeq\o\al（2，2）Aeq\o\al（3，3）;當(dāng)“數(shù)”排在第二節(jié)時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其他剩下的有Aeq\o\al（3,3）種，由間接法得到滿足條件的情況有Aeq\o\al（5，5)－Ceq\o\al（1，3)Aeq\o\al(2，2）Aeq\o\al(3,3).則共有Aeq\o\al(5，5)－Ceq\o\al（1,3）Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(5，5）－Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al（2，2)Aeq\o\al（3,3)種情況,不考慮限制因素,總數(shù)有Aeq\o\al（6，6）種，故滿足條件的事件的概率為eq\f（A\o\al(5，5）－C\o\al(1,3）A\o\al(2，2）A\o\al(3，3)＋A\o\al（5,5）－C\o\al(1，4）A\o\al（2，2）A\o\al（3,3),A\o\al(6,6））＝eq\f（13，60），故選C。求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法,具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇．[即時訓(xùn)練］1.(2019·陜西寶雞模擬檢測三)在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻．有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦,共有23＝8種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦"．所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應(yīng)不同的解析．在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻和三個陰爻的概率是(）A.eq\f(1，7)B.eq\f（5,16）C。eq\f(9，16)D。eq\f（5，8）答案B解析在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本事件總數(shù)n＝26＝64，這六爻恰好有三個陽爻和三個陰爻包含的基本事件m＝Ceq\o\al（3，6)＝20，所以這六爻恰好有三個陽爻和三個陰爻的概率是P＝eq\f（m，n）＝eq\f(20,64)＝eq\f（5,16)。故選B.2．（2019·四川攀枝花第三次統(tǒng)考)部分省份在即將實施的新高考中實行3＋1＋2模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二．小明與小芳都準(zhǔn)備選物理，如果他們都對后面四科的選擇沒有偏好，則他們所考六科中恰有五科相同的概率為（）A.eq\f（2，3）B.eq\f(1,2)C.eq\f（1，3)D.eq\f（1,6）答案A解析基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al（2,4)＝36，滿足條件的基本事件個數(shù)m＝Ceq\o\al（2,4)Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al(1,2)＝24，所以他們所考六科中恰有五科相同的概率為P＝eq\f(m,n）＝eq\f(24，36)＝eq\f（2，3）.故選A。精準(zhǔn)設(shè)計考向,多角度探究突破考向二較復(fù)雜的古典概型角度eq\o（\s\up7(),\s\do5（1）)古典概型與平面向量的交匯例2（1)（2019·寧波模擬)連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n,記向量a＝（m,n)與向量b＝（1,－1)的夾角為θ，則θ∈eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2）))的概率是()A.eq\f(5，12）B。eq\f(1,2）C。eq\f(7，12)D。eq\f（5,6）答案C解析cosθ＝eq\f(a·b,|a|｜b｜）＝eq\f(m－n，|a｜|b|)?！擀取蔱q\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2）)）,∴m≥n。（m,n）一共有6×6＝36(種）不同組合．滿足m≥n的有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(種）．所以所求的概率P＝eq\f（21,36)＝eq\f(7，12).(2）(2019·宿遷模擬)已知k∈Z，Aeq\o(B，\s\up6(→)）＝（k，1)，Aeq\o(C,\s\up6（→)）＝（2，4）,若|Aeq\o（B，\s\up6（→））|≤4，則△ABC是直角三角形的概率是________．答案eq\f(3，7）解析因為|Aeq\o(B,\s\up6（→)）｜＝eq\r（k2＋1）≤4，所以－eq\r(15)≤k≤eq\r（15)，因為k∈Z,所以k＝－3，－2,－1,0，1,2,3,當(dāng)△ABC為直角三角形時，應(yīng)有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由Aeq\o（B,\s\up6（→））·Aeq\o（C，\s\up6（→））＝0,得2k＋4＝0,所以k＝－2，因為Beq\o（C，\s\up6(→)）＝Aeq\o(C，\s\up6(→)）－Aeq\o（B,\s\up6(→））＝(2－k，3)，由Aeq\o（B,\s\up6（→））·Beq\o(C，\s\up6(→))＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3，由Aeq\o（C,\s\up6(→））·Beq\o(C,\s\up6（→））＝0，得2（2－k）＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC為直角三角形的k值為－2,－1或3,所以所求概率P＝eq\f（3,7).角度eq\o(\s\up7（），\s\do5（2））古典概型與平面幾何、解析幾何的交匯例3（1）(2019·山東省實驗中學(xué)模擬)已知直線l1：x－2y－1＝0,直線l2:ax－by＋1＝0,其中a,b∈{1,2，3，4，5，6},則直線l1與l2的交點位于第一象限的概率為()A。eq\f（1，6）B。eq\f（1,4）C.eq\f（1,3)D。eq\f（1，2）答案A解析l2的斜率小于l1的斜率時,直線l1與l2的交點位于第一象限，此時共有六種情況：a＝1,b∈｛3，4，5，6}；a＝2,b∈｛5，6｝．因此所求概率為eq\f(6，6×6)＝eq\f(1，6).故選A。（2)（2019·洛陽統(tǒng)考）將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a,b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．答案eq\f（7,12）解析依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組（a，b)有Ceq\o\al(1,6）Ceq\o\al（1，6)＝36個，其中滿足直線ax＋by＝0與圓（x－2）2＋y2＝2有公共點，即滿足eq\f(2a，\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，a2≤b2的數(shù)組(a,b）有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個,因此所求的概率等于eq\f（21，36)＝eq\f(7，12).角度eq\o（\s\up7(），\s\do5(3)）古典概型與函數(shù)的交匯例4（1）（2020·亳州質(zhì)檢)已知集合M＝{1，2,3，4}，N＝｛（a,b）｜a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一點,O為坐標(biāo)原點,則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是(）A.eq\f(1,2)B.eq\f（1,3）C。eq\f（1，4)D.eq\f(1，8）答案C解析易知過點（0,0）與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x（斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有4×4＝16個元素，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2），（1，3)，（1,4),(2,4）,共4個，故所求的概率為eq\f（4，16）＝eq\f（1,4)。故選C.(2)(2019·安徽合肥第三次教學(xué)質(zhì)量檢測）若a,b是從集合{－1,1,2，3,4｝中隨機選取的兩個不同元素，則使得函數(shù)f(x)＝x5a＋xbA.eq\f(3,20）B。eq\f(3，10)C.eq\f（9，25）D.eq\f（3,5）答案B解析從集合{－1,1,2，3,4｝中隨機選取兩個不同元素共有Aeq\o\al(2，5）＝20種，要使得函數(shù)f（x)＝x5a＋xb是奇函數(shù)，必須a，b都為奇數(shù)共有Aeq\o\al(2,3)＝6種，則函數(shù)f(x）＝x5a＋xb是奇函數(shù)的概率為P＝eq\f（6,20)＝eq\f（3，10），故選B。較復(fù)雜的古典概型問題的求解方法解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件,求出基本事件和隨機事件的個數(shù),然后利用古典概型的概率計算公式進行計算．［即時訓(xùn)練］3.設(shè)平面向量a＝（m,1）,b＝(2，n）,其中m，n∈｛1，2，3,4｝，記“a⊥（a－b）”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為(）A。eq\f（1，8)B.eq\f(1，4)C。eq\f(1,3)D.eq\f(1,2）答案A解析有序數(shù)對（m，n）的所有可能結(jié)果有4×4＝16(個）．由a⊥（a－b）,得m2－2m＋1－n＝0,即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1，2，3,4｝，故事件A包含的基本事件為（2，1)和(3，4）,共2個，所以P（A）＝eq\f（2，16)＝eq\f(1,8）.4．(2019·甘肅蘭州模擬)雙曲線C:eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1(a>0,b>0），其中a∈{1，2,3，4｝，b∈｛1，2,3，4}，且a，b取到其中每個數(shù)都是等可能的，則直線l：y＝x與雙曲線C的左、右支各有一個交點的概率為（）A.eq\f（1，4）B.eq\f（3，8）C。eq\f（1,2）D.eq\f（5,8）答案B解析若直線l：y＝x與雙曲線C的左、右支各有一個交點，則eq\f(b,a）>1，基本事件總數(shù)為4×4＝16，滿足條件的（a,b）的情況有（1，2）,(1，3)，(1,4）,（2,3），(2，4），（3，4）,共6個,故所求概率為eq\f（3，8).5．(2019·河南鄭州模擬）已知一組拋物線y＝eq\f（1,2）ax2＋bx＋1，其中a為2,4中任取的一個數(shù),b為1，3,5中任取的一個數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們在與直線x＝1交點處的切線相互平行的概率是________．答案eq\f（2,15）解析拋物線共有6條，任取兩條共Ceq\o\al(2,6）＝15種情況．∵y′＝ax＋b，∴在與直線x＝1交點處的切線斜率為a＋b，而a為2,4中任取的一個數(shù)，b為1，3,5中任取的一個數(shù),保證a＋b相等的拋物線有2對，∴在與直線x＝1交點處的切線相互平行的概率為eq\f(2，15）?？枷蛉诺涓判团c統(tǒng)計的交匯問題例5（2019·長春模擬)某教師為了了解高三所教兩個班級的一模數(shù)學(xué)成績情況，將兩個班的數(shù)學(xué)成績（單位：分)繪制成如圖所示的莖葉圖．（1）分別求出甲、乙兩個班級數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)、眾數(shù)；(2）若規(guī)定成績大于等于115分為優(yōu)秀，分別求出兩個班級數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率；（3)從甲班中130分以上的5名同學(xué)中隨機抽取3人，求至多有1人的數(shù)學(xué)成績在140分以上的概率．解（1）由所給的莖葉圖,知甲班50名同學(xué)的成績由小到大排序,排在第25,26位的是108,109，出現(xiàn)次數(shù)最多的是103，故甲班數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是108.5,眾數(shù)是103；乙班48名同學(xué)的成績由小到大排序，排在第24，25位的是106，107，出現(xiàn)次數(shù)最多的是92和101，故乙班數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是106。5，眾數(shù)為92和101.（2）由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，甲班中數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為20,優(yōu)秀率為eq\f(20，50）＝eq\f（2,5）;乙班中數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為18，優(yōu)秀率為eq\f(18，48）＝eq\f（3,8）。（3)從5人中抽取3人的不同情況共有Ceq\o\al（3，5)種，其中至多有1人的