《現(xiàn)代控制理論》第三章 線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀性

第三章線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀性

3.1控制系統(tǒng)的能控性一.引言1.上一章回顧XUY

能控性問題？2.問題的提出能控性表示的是“輸入能否控制狀態(tài)的變化”控制器狀態(tài)估計器控制器UXY能觀性問題？能觀測性表示的是:“狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來”(1)能控性和能觀性概念(2)能控、能觀判據(jù)(3)能控、能觀標準型、對偶關(guān)系(4)結(jié)構(gòu)分解(5)最小實現(xiàn)3.本章主要知識點引例:設(shè)單輸入連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:12+-++引例狀態(tài)變量圖不可控子系統(tǒng)二.能控性定義說明：引例中不可控子系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。應(yīng)發(fā)散到無窮能控狀態(tài)的幾何解釋能控狀態(tài)子空間定義1對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程

，若存在一分段連續(xù)控制向量u(t)，能在有限時間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)，將系統(tǒng)從某一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到任意終端狀態(tài)x(tf)，那么就稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)x(t)都是能控的，就稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。幾點說明:1）為了簡便，系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0)

，可以是狀態(tài)空間中任意非零的有限點，終端狀態(tài)x(tf)為狀態(tài)空間的原點。2）也可以指定x(t0)是原點，而終端狀態(tài)x(tf)為狀態(tài)空間中任意非零點。稱為狀態(tài)的能達性。能控性和能達性是可以等價的(線性定常系統(tǒng))。3）在討論能控性問題時，不計較u的約束，只要能使狀態(tài)從x(t0)到達x(tf)即可，而不討論到達的軌跡。4）能控性反映了輸入u控制內(nèi)部狀態(tài)變量x(t)的能力三.能控性判據(jù)預(yù)備知識推論1：可表示為次多項式.推論2：定理1n階線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控證明:(不失一般性,假設(shè)令有唯一解再由思路：把初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)的控制作用是否存在？而非如何具體求出例.判斷下列狀態(tài)方程的可控性系統(tǒng)不完全可控四.能控標準型1.問題的提出2.化能控標準型的理論根據(jù)狀態(tài)變量的非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性非奇異變換的基本特性：其中P非奇異非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性3.單變量系統(tǒng)的能控標準型定理2如果系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為其中則稱該表達式為系統(tǒng)的能控標準型因為五.化能控標準型證明：關(guān)鍵是否存在P?3.2控制系統(tǒng)的能觀性一.能觀性定義定義：對于線性定常系統(tǒng)在任意給定的輸入u(t)下，能夠根據(jù)輸出量y(t)在有限時間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)的測量值，唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻的初始狀態(tài)x(t0)，就稱系統(tǒng)狀態(tài)x(t0)是能觀測的。若系統(tǒng)的每個狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測的。二.能觀性判據(jù)定理1

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是：因為能觀性所表示的是輸出反映狀態(tài)的能力，與控制作用沒有直接關(guān)系，所以分析能觀性問題時，常假設(shè)u=0例1

判斷下列系統(tǒng)的能觀性秩等于2，所以系統(tǒng)是能觀測的。例2

判斷下列系統(tǒng)的能觀性秩等于1，所以系統(tǒng)是不可觀測的。三.單變量系統(tǒng)的能觀標準型定理2如果系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為其中則稱該表達式為系統(tǒng)的能觀標準型四.化能觀標準型五.多變量系統(tǒng)的能控標準型和能觀標準型注意：多變量系統(tǒng)的能觀標準型并不是能控標準簡單的轉(zhuǎn)置，與單變量系統(tǒng)有所不同3.3能控性與能觀性

另一種判據(jù)能控性判據(jù)除了直接由（A，B)確定，還有一種是先將系統(tǒng)化為對角線型或約當標準型，再由對應(yīng)控制矩陣確定其能控性。說明：1.對角化目的是使變換后各狀態(tài)變量間沒有耦合關(guān)系，從而使得影響每個狀態(tài)變量的唯一途徑是輸入控制作用。2.條件特征值互異是必須的。3.4對偶原理一.對偶關(guān)系的定義從圖中可以看出，互為對偶的兩個系統(tǒng)向量矩陣方框圖特點：（1）兩對偶系統(tǒng)的輸入端與輸出端互換（2）信號的傳遞方向相反（3）分支點和相加點互換兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣是互為轉(zhuǎn)置的。特征方程式是相同的。二.對偶原理3.5狀態(tài)完全能控與完全

能觀和傳遞函數(shù)的關(guān)系3.6線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解一.問題的提出把線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間按照能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解是狀態(tài)空間分析中一個十分重要的內(nèi)容。有利于了解系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，完成系統(tǒng)最小實現(xiàn)。能控且能觀的變量：能控但不能觀的變量：不能控但能觀的變量：不能控且不能觀的變量：

最后將這些變量重新排列順序，就可以得到分解后的狀態(tài)空間表達式：

二.系統(tǒng)按能控性分解設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為假設(shè)系統(tǒng)是不完全能控，n為狀態(tài)向量維數(shù)則存在非奇異變換將狀態(tài)空間表達式化為其中，即，將前n1維提出來得到這部分構(gòu)成n1維能控子系統(tǒng)。而后n-n1維子系統(tǒng)為不能控子系統(tǒng)。

關(guān)鍵：變換矩陣Rc的構(gòu)造在能控性矩陣中選擇n1個線性無關(guān)的列向量；將所得列向量作為矩陣Rc的前n1個列，其余列可以在保證Rc為非奇異矩陣的條件下進行任意選擇。例1

對下列系統(tǒng)進行能控性分解。解：(1)能控性矩陣的秩可知系統(tǒng)不完全能控。

在能控性矩陣中任選兩列線性無關(guān)的列向量。為計算簡單，選取其中的第1列和第2列。易知它們是線性無關(guān)的。

再選任一列向量，與前兩個列向量線性無關(guān)。（2）變換矩陣（3）求

即，狀態(tài)空間表達式二維能控子系統(tǒng)若取

即，狀態(tài)空間表達式二維能控子系統(tǒng)仍然為三.按能觀性分解設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為假設(shè)系統(tǒng)是不完全能觀，n為狀態(tài)向量維數(shù)則存在非奇異變換將狀態(tài)空間表達式化為其中，即，在變換后的系統(tǒng)中，將前n1維部分提出來，得到這部分構(gòu)成n1維能觀測子系統(tǒng)。而后n-n1維子系統(tǒng)為不能觀測子系統(tǒng)。

對于能觀性分解，變換矩陣的求法有其特殊性。

應(yīng)由構(gòu)造其逆做起，即先求方法如下:

從能觀性矩陣中選擇n1個線性無關(guān)的行向量。將所求行向量作為的前n1個行，其余的行可以在保證為非奇異矩陣的條件下任意選擇。例3

判別下列系統(tǒng)的能觀性，若不完全能觀的，將該系統(tǒng)按能觀性分解。解：(1)能觀性矩陣的秩不完全能觀任選

中兩個線性無關(guān)的行向量，再選任一個與之線性無關(guān)的行向量，得（2）構(gòu)造變換陣（3）狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式二維能觀子系統(tǒng)四.按能控性和能觀性進行分解定理設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為

若線性定常系統(tǒng)不完全能控且不完全能觀，則存在線性變換

，將狀態(tài)空間可以化為將整個狀態(tài)空間分解為能控能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四個子空間。其結(jié)構(gòu)圖如下：能控能觀能控不能觀不能控能觀不能控不能觀

從結(jié)構(gòu)圖我們可以看出，從輸入到輸出實際上只有一條通道：

反映系統(tǒng)輸入輸出特性的傳遞函數(shù)描述實際上只是反映了能控且能觀的子系統(tǒng)的動力學行為。

傳遞函數(shù)描述只是對系統(tǒng)的一種不完全描述。2、按能控能觀性分解的步驟（1）首先將系統(tǒng)按能控性分解。為此取狀態(tài)變換將系統(tǒng)變換為：(2)將上式中的不能控子系統(tǒng)按能觀性分解，取變換

這樣，將分解為：

(3)將能控子系統(tǒng)按能觀性分解，取變換得：代入能控子系統(tǒng)左乘得綜合以上三次變換，就可以得到按能控性能觀性分解的表達式：

（2）不能控子系統(tǒng)僅為一維，且能觀，故無需再分解。例4將該系統(tǒng)按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解解：（1）將原系統(tǒng)按能控性分解，得到（3）能控子系統(tǒng)按能觀性分解：作線性變換綜合幾次分解的結(jié)果，可以得到：五.結(jié)構(gòu)分解的另一種方法先把原系統(tǒng)化為對角線（約旦）標準型；然后判別出能控能觀、不能控能觀、能控不能觀、不能控不能觀的狀態(tài)變量；最后按順序排列即可。能控且能觀的變量：能控但不能觀的變量：不能控但能觀的變量：不能控且不能觀的變量：

最后將這些變量重新排列順序，就可以得到分解后的狀態(tài)空間表達式：3.7離散時間系統(tǒng)的

能控性和能觀性線性定常離散系統(tǒng)1.定義:對于系統(tǒng)，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),…,u(l-1)，使系統(tǒng)第k步的狀態(tài)x(k)，在第l步到達零狀態(tài)，其中l(wèi)是大于k的有限數(shù)，那么就稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)在第k步上的所有狀態(tài)x(k)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)能控。一.離散時間系統(tǒng)能控性定理線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是，能控性矩陣[B,

AB,…,An-1B]的秩為n。即rankM=rank[B,

AB,…,An-1B]=n.

離散系統(tǒng)狀態(tài)方程：2.離散系統(tǒng)能控性的判定條件滿足能控性的充分必要條件，故該系統(tǒng)能控。例解：線性定常離散系統(tǒng)1.定義:

對于對于上述系統(tǒng)，如果根據(jù)有限個采樣周期內(nèi)測量的y(k)，可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)x(0)，則稱狀態(tài)x(0)為能觀測的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)x(k)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的，簡稱系統(tǒng)能觀。二.離散時間系統(tǒng)能觀性定理對于線性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是矩陣的秩為n。矩陣稱為能觀測性矩陣，記為N。2.離散系統(tǒng)能觀性的判定條件例判斷下列系統(tǒng)的能觀測性系統(tǒng)的能觀測性矩陣為解：3.8傳遞函數(shù)矩陣

的實現(xiàn)問題

給定傳遞函數(shù)陣W(s)，若有狀態(tài)空間表達式

使之成立

則稱該狀態(tài)空間表達式為傳遞函數(shù)陣W(s)的一個實現(xiàn)。實際上，是將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間描述。一.實現(xiàn)問題的基本概念可實現(xiàn)條件：（1）中每個元素的分子分母多項式系數(shù)均為實常數(shù)。（2）的元素是真有理分式。說明：真有理分式：分子多項式的階數(shù)低于或等于分母的階數(shù)。嚴格真有理分式：分子多項式的階數(shù)低于分母的階數(shù)。當傳遞函數(shù)陣中所有元素的分子多項式階數(shù)低于分母多項式的階數(shù)時，則必有。當傳遞函數(shù)陣中哪怕只有一個元素的分子多項式階數(shù)等于分母多項式的階數(shù)時，則，且此時，應(yīng)先由得到

再實現(xiàn)例先把嚴格真有理分式的傳遞函數(shù)寫成如下形式：這里，該傳遞函數(shù)陣的特征多項式系數(shù)m×r維常數(shù)陣二.能控標準型實現(xiàn)和能觀標準型實現(xiàn)r×r維單位陣r×r維零陣能控標準型實現(xiàn)：其能觀標準型實現(xiàn)為：m×m維單位陣m×m維零陣

例.求的能控標準型實現(xiàn)和能觀標準型實現(xiàn)

其能控標準型：能觀標準型如下：1.定義傳遞函數(shù)W(s)的一個實現(xiàn)如果不存在其它實現(xiàn)使得的維數(shù)小于x的維數(shù)，則稱

實現(xiàn)為最小實現(xiàn)。即，無窮多個實現(xiàn)中維數(shù)最小的那個實現(xiàn)。三.最小實現(xiàn)2.

尋求最小實現(xiàn)的步驟定理：傳遞函數(shù)W(s)的一個實現(xiàn)為最小實現(xiàn)的充要條件是：