4.4 有理函數(shù)的積分

．求下列不定積分：⑴

x(x3

dx

；【解】先用部分分式法將被積的有理函數(shù)分解為基本可積有理函數(shù)：令

xA(x3(

C(x

，去分母，得

x(

----*下面用特殊值代入法確定待定系數(shù)A，：將

代入*，得

2

，將

x0

，

2

代入*，得

，將x，2代*，得

B

，由

解得A0，

，于是得

x(1

)

，3)從而積分得

x(x

dx

[

2((x3

]dx⑵

x

2

)

dx

；【解】先用部分分式法將被積的有理函數(shù)分解為基本可積有理函數(shù)：令

x2)2

，去分母，得

xxB

----*下面用特殊值代入法確定待定系數(shù)

A，C：將代*，得

B

，將

代入*，得

，將

B

，

C

和

x2

代入*，得

(1)

A

于是得

11x)x21

，

))從而積分得

x

2

(1

1dx(x21

)dx⑶

x

dx

；【解積函數(shù)為分子是常數(shù)是無根二次多項式本可積有理函數(shù)為即可解之：

11

2

1x(x

1112(xx

2

，于是得

11dx24

2

dx

xx22

----

d

1dx22⑷

xx(x

dx

；【解】先用部分分式法將被積的有理函數(shù)分解為基本可積有理函數(shù)：令

xDx(xx(x(3

，去分母，得

xA(x3Cx(x

，

----*A2下面用特殊值代入法確定待定系數(shù)將，代入*，得D將，代入*，得

A

，

B

，

C

：將

A2

和

D

代入*，得

x2(x3(x(x

，整理得

x

3

x

2x(x

C(等號兩端去掉因式

(x

，得

xBxB

----**由多項式相等條件，得

B

，將

B

代入**式，得

，于是得

x22xxx(1)

，31)

從而積分得

x21dx[xx3((

]dx3⑸

(21)(2

dx

；【解】先用部分分式法將被積的有理函數(shù)分解為基本可積有理函數(shù)：由于被積函數(shù)的分母中的兩個因式均無零點，即令去分母，得

Ax)(x

2

Cx)(x

2

----*下面確定待定系數(shù)，B，，：【解法一】用解方程組法展開*右邊，得

Ax

3

ADx

2

A))

，

1由多項式相等條件，得

D

00

，

23

4⑶－⑴得

，⑵－⑷得

A

，將入⑷得

D

，將

A

代入⑴得

，【解法二】用特殊值代入法——虛數(shù)代入法將

i

代入*，得

Ax)(x2Cx)(x2得

AiB1)iD)

1，可得

A

，

，將

A

，

代入*，得

(

2CxDx

，等號兩端去掉因式x2，得xCx

，由多項式相等條件即得

，

D

，于是得

(

2

1)(x

2

x

，從而積分得

⑹

dx

；【解】易見

1x(1)(

，先用部分分式法將被積的有理函數(shù)分解為基本可積有理函數(shù)：由于被積函數(shù)的分母中的兩個因式均無零點，即令去分母，得

Ax1)(x

2

(x

2

Cxx

---*下面用特殊值代入法確定待定系數(shù)A，，：將x代*，

，有

，將

代入*，得

即有B

，將

代入*，得

1Ci

，對比得

C

，

D

，111于是有

1(x

2

442xx2

，從而積分得⑺

xx

dx

；【解】由于被積函數(shù)中含有根式，且根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等，應(yīng)作直接變換，令

x

，則

x2

，

，于是，該積分轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分：⑻

；【解法一由

1

2

被積函數(shù)中含有根式且很指與根號內(nèi)的多項式次數(shù)同為2，應(yīng)作三角變換，令

xsinu

，

，則

1

2

cosucosu1u1u

，

cos

，

uarcsin

，于是，該積分為：

11【解法二】由于被積函數(shù)中含有根式

11

，可作第二換元積分法中的直接變換，令

，則

x

，dx)

，于是有，

2(1)22)2

2(12)2

其中，

(12)

的積分過程如下：令則

t，，1(1u2)(1t)

2

14t

，

2tdt

，得

(12)

1et

ett

ctt

1td2從而，

u

)2

【經(jīng)求導(dǎo)檢驗，有

(2arctan

1)'

，知解法二正確dx⑼；【解】利用萬能變換

11tan

22

22

，這樣使變換后的分子成122

，恰為的數(shù)，從而為應(yīng)用第一換元做好了準備：2得

13

3

1tan2sec22xxxx12tan4tan222x12

，即有

13co

dx

e24t2

242t2

n2

d

2

d2(tan))22)d2(tan))22)⑽

這時，令dxsinx

tan；

，得【解】應(yīng)利用萬能變換

in

21

22

2

，這樣使變換后的分子成為1

2

22

，恰為

2

的導(dǎo)數(shù)，從而為應(yīng)用第一換元做好了準備：得

12

2

121

x2

x2

1tn2x22t2n2tan2

x2x13)24

sec2212(tan)2222

，即有

12si

dx

s2x2221d，12224這時，令

tan

，得⑾

x

dx

；【解法一】由于

sin

2的數(shù)正為csccot2x而

恰為

cotx

的導(dǎo)數(shù)，從而為應(yīng)用第一換元做好了準備：得

13sin

dx

3cot2x

dx

d令

cot

，即得【經(jīng)求導(dǎo)檢驗，有

)sin2x

，知答案正確

【解法二

x轉(zhuǎn)換為1用cosx的倒數(shù)正為2xtanx2

恰為x的數(shù)，從而為應(yīng)用第一換元法做好了準備：由于

2

2

secx(4

2

sec2x4sec2得