第28講數(shù)列概念及等差數(shù)列doc

第二十八講 數(shù)列概念及等差數(shù)列一、復(fù)習(xí)目標(biāo)要求1．?dāng)?shù)列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)；2．通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前

n項(xiàng)和的公式；3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。二、2010年命題預(yù)測(cè)數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個(gè)客觀性題目和一個(gè)解答題。對(duì)于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等基本知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對(duì)基本的計(jì)算技能要求比較高。預(yù)測(cè)2010年高考：1．題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識(shí)的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題；2．知識(shí)交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題。三、知識(shí)精點(diǎn)講解1．?dāng)?shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作

an，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第

1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第

2項(xiàng)，，序號(hào)為

n

的項(xiàng)叫第

n項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作

an

；數(shù)列的一般形式：

a1，

a2，a3，，

an，，簡記作

an

。2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如，數(shù)列①的通項(xiàng)公式是an=n（n，nN），數(shù)列②的通項(xiàng)公式是1（nN）。n說明：①an表示數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項(xiàng)，an=fn表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；②同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，an=(1)n1,n2k1Z)；③不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。=1,n2k(k例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號(hào)：1 2 3 4 5 6項(xiàng) ：4 5 6 7 8 9上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集

N

（或它的有限子集） 的函數(shù)

f(n)

當(dāng)自變量

n從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值

f(1),f(2),f(3),

，

f(n)，．通常用

an來代替

f

n

，其圖象是一群孤立點(diǎn)。4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。（5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。2．等差數(shù)列（1）等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。用遞推公式表示為an an1 d(n 2)或an1 an d(n 1)。（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1(n1)d；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為AP數(shù)列）的單調(diào)性：d0為遞增數(shù)列，d0為常數(shù)列，d0為遞減數(shù)列。（3）等差中項(xiàng)的概念：定義：如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。其中Aaba，2abA，b成等差數(shù)列。A2n(a1an)n(n1)（4）等差數(shù)列的前n和的求和公式：Sn2na1d。2四．典例解析題型1：數(shù)列概念例1．根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式：1）1，3，5，7；221，321421521；（2）3，，524（3）1，1，1，1。1*22*33*44*5解析：（1）an=2n1；（2）an=(n1)21；（3）an=(1)n。n1n(n1)點(diǎn)評(píng)：每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)到另一個(gè)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這對(duì)考生的歸納推理能力有較高的要求。例2．?dāng)?shù)列n2n1)，an中，已知an3(nN（1）寫出a10，an1，a2；（2）792是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？n3n2102解析：（1）∵ann1(nN)，∴a10101109，33322n1n23n1n2n21n4n21n11an133，an23；3（2）令792n2n1，解方程得n15,或n16，33∵n N，∴n 15，即792為該數(shù)列的第 15項(xiàng)。3點(diǎn)評(píng)：該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會(huì)判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬。題型2：數(shù)列的遞推公式

y例3．如圖,一粒子在區(qū)域 (x,y)|x 0,y 0上運(yùn)動(dòng),在第一秒內(nèi)它

B5C5B4C4從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B1(0,1),接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行BC3方向上運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長度。3C2（1）設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)An、Bn、Cn時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別為B2an、bn、cn，試寫出{an}、{bn}、{cn}的通相公式；BC11（2）求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(16,44)時(shí)所需的時(shí)間；0AA2A3A4A5A6x（3）粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過20041秒后，它所處的坐標(biāo)。解析：(1)由圖形可設(shè)A1(1,0),A2(2,0),,An(n,0)，當(dāng)粒子從原點(diǎn)到達(dá)An時(shí)，明顯有a13,a2a11,a3a112a134,a4a31,a5a320a354,a6a51,a2n1a2n3(2n1)4,a2na2n11,∴a2n1a14[35(2n1)]＝4n21,a2na2n114n2。b2n1a2n12(2n1)4n24n1,b2na2n22n4n24n。c2n1b2n1(2n1)4n22n(2n1)2(2n1),c2na2n2n4n22n(2n)2(2n),即cnn2n。（2）有圖形知，粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(16,44)時(shí)所需的時(shí)間是到達(dá)點(diǎn)C44所經(jīng)過得時(shí)間c44再加（4416）＝28秒，所以t 442 44 28 2008秒。（3）由cnn2n2004，解得1n18017，取最大得n=44，2經(jīng)計(jì)算，得c44＝1980<2004，從而粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過1980秒后到達(dá)點(diǎn)C44，再向左運(yùn)行24秒所到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（20，44）。點(diǎn)評(píng)：從起始項(xiàng)入手，逐步展開解題思維。由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點(diǎn)所在。例4．（1）已知數(shù)列an適合：a11，an12an，寫出前五項(xiàng)并寫出其通項(xiàng)公式；an2（2）用上面的數(shù)列an，通過等式bnanan1構(gòu)造新數(shù)列bn，寫出bn，并寫出bn的前5項(xiàng)。解：（1）a1，a22a32a42a52，，，13456222（2）bn，1n2(n1)(n2)nb111，b31，b411，b2610，b521315

，，an2；n1．點(diǎn)評(píng)：會(huì)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，了解遞推公式是給出數(shù)列的又一種重要方法，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。題型3：數(shù)列的應(yīng)用例5．（05廣東，14）設(shè)平面內(nèi)有 n條直線(n 3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)．若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=n4時(shí)，f(n)____________；當(dāng)（用n表示）。1答案：5， (n 1)(n 2)解析：由圖 B可得f(4) 5，圖B由f(3)2，f(4)5，f(5)9，f(6)14，可推得∵n每增加1，則交點(diǎn)增加(n1)個(gè)，∴f(n)234(n1)(2n1)(n2)1(n1)(n2)。22點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的思路是先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來處理。例6．（2003京春理14，文15）在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（_____）內(nèi)。答案：14085解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，照此規(guī)律，60歲時(shí)的收縮壓和舒張壓分別為140；85.點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為背景，考查了如何把實(shí)際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.它不需要技能、技巧及繁雜的計(jì)算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識(shí)，有效地把數(shù)學(xué)過程實(shí)施為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。題型4：等差數(shù)列的概念例7．（2001天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則{an}是（）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列答案：B；S1(n1)1(n1)解法一：an=Sn1(n2)an1(n2)Sn2nan=2n－1（n∈N）an12n1≠常數(shù)又an+1－an=2為常數(shù)，2n1an∴{an}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.解法二：如果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識(shí)，以及靈活運(yùn)用遞推式an=Sn－Sn－1的推理能力.但不要忽略a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。例8．（2006年江蘇卷）設(shè)數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足：bnanan2，cnan2an13an2（n=1,2,3,），證明：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列且bnbn1（n=1,2,3,）證明：1必要性：設(shè)數(shù)列{an}是公差為d1的等差數(shù)列，則：bn1bn(an1an3)(anan2)=(an1an)(an3an2)=d1-d1=0，∴bnbn1（n=1,2,3,）成立；又cn1cn(an1an)2(an2an1)3(an3an2)=6d1（常數(shù)）（n=1,2,3,）∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列。2充分性：設(shè)數(shù)列{cn}是公差為d2的等差數(shù)列，且bnbn1（n=1,2,3,），∵cnan2an13an2①∴cn2an22an33an4②①－②得：cncn2(anan2)2(an1an3)3(an2an4)=bn2bn13bn2∵cncn2(cncn1)(cn1cn2)2d2∴bn2bn13bn22d2③從而有bn12bn23bn32d2④④－③得：(bn1bn)2(bn2bn1)3(bn3bn2)0⑤∵(bn1bn)0，bn2bn10，bn3bn20，∴由⑤得：bn1bn0（n=1,2,3,），由此，不妨設(shè)bnd3（n=1,2,3,），則anan2d3（常數(shù)）故cnan2an13an24an2an13d3⑥從而cn14an12an23d34an12an5d3⑦⑦－⑥得：cn1cn2(an1an)2d3，故an1an1(cn1cn)d31d2d3（常數(shù)）（n=1,2,3,），22∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列。綜上所述：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列且bnbn1（n=1,2,3,）。證法二：令A(yù)n=an+1-an，由bn≤bn+1知an-an+2≤an+1-an+3。從而an+1-an≥an+3-an+2,即An≥An+2（n=1,2,3,）由cn=an+2an+1+3an+2,cn+1=4an+1+2an+2-3an+3得cn+1-cn=(an+1-an+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)，即An+2An+1+3An+2=d2.⑥由此得An+2+2An+3+3An+2=d2.⑦⑥-⑦得(An-An+2)+2(An+1-An+3)+3(An+2-An+4)=0⑧因?yàn)锳n-An+2≥0，An+1-An+3≥0，An+2-An+4≥0,所以由⑧得An-An+2=0(n=1,2,3,)。于是由⑥得4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2,⑨從而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2⑩由⑨和⑩得 4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1=An,即an+2-an+1=an+1-an(n=1,2,3, )，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時(shí)積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果。題型5：等差數(shù)列通項(xiàng)公式例9．（2006年全國卷I）設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13（）A．120B．105C．90D．75aaa153a215a25，a1a2a380a2da2a2d80，將a5代入，解析：1232得d3，從而a11a12a133a123a210d3530105。選B。點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項(xiàng)和公差的式子，變?cè)獪p少，因式就容易處理了。例10．（1）（2005湖南16）已知數(shù)列{log2(an 1)}n N*)為等差數(shù)列，且 a1 3,a3 9.（Ⅰ）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明1111.a2a1a3a2an1an解析：（1）（I）解：設(shè)等差數(shù)列{log2(an1)}的公差為d。由a13,a39得2(log22d)log22log28,即d=1。所以log2(an1)1(n1)n,即an2n1.（II）證明因?yàn)?12n1，an1anan12n所以11111112122232na2a1a3a2an1an111122n211.12n12點(diǎn)評(píng)：該題通過求通項(xiàng)公式，最終通過通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律。題型6：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例11．（1）（2002京皖春，11）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有（）A.13項(xiàng)B.12項(xiàng)C.11項(xiàng)D.10項(xiàng)（2）（2001全國理，3）設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（）A.1B.2C.4D.6（3）（2006年全國卷II）設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若S3＝1，則S6＝（）S63S123111A．B．C．D．10389解析：（1）答案：A設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)S33a132d3(a1d)342∵S3SnSn33a13nd6d∴3a13d(n2)146Sna1nn(n1)da1nn(n1)d39022n＝13（2）答案：B前三項(xiàng)和為 12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝S3＝43a1·a2·a3＝48，∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8，把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且 a1＜a3，x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴選B.（3）答案為A；點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和考生分析問題、解決問題的能力。例12．（1）（2000全國文，18）設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，已知S7＝7，S15＝75，T為數(shù)列｛Sn｝的前n項(xiàng)和，求T。nnn2）（1998全國文，25）已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2++b10=100.（Ⅰ）求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)bn；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an=lg（1+1），記Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，試比較Sn與1lgbn+1的bn2大小，并證明你的結(jié)論。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，則Sn=na1＋1n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，27a121d7,a13d1,∴即15a1105d75,a17d5,Sn11解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）。n22Sn1Sn1∵1n，n2∴數(shù)列｛Sn｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－2，公差為1n，2Tn＝1n2－9n．44b11,（2）（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d，由題意得10(101)d100.10b12b11,解得∴bn=2n－1.d 2.（Ⅱ）由 bn=2n－1，知Sn=lg（1+1）+lg（1+1）++lg（1+1）32n1=lg［（1+1）（1+1）（1+1）］，32n111.lgbn+1=lg2n2因此要比較Sn與1lgbn+1的大小，可先比較（1+1）（1+1）（1+1）與2n1的大小.232n1取n=1，有（1+1）＞211，取n=2，有（1+1）（1+1）＞221，3由此推測(cè)（1+1）（1+1）（1+1）＞2n1.①32n1若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：Sn＞1lgbn+1。2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式。（i）當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立。（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，①式成立，即（1+1）（1+1）（1+11）＞2k1.32k那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+1）（1+1）（1+1）［1+2(k1］＞2k132k11)1·（1+1）=2k1（2k+2）。2k12k1∵［2k1（2k+2）］2－（2k3）22k1＝4k28k4(4k28k3)110，2k12k∴2k1(22)2k32(k1)1..2k1k因而(11)(11)(11)(11)2(k1)1.32k12k1這就是說①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由（i），（ii）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立.由此證得：Sn＞1lgbn+1。2評(píng)述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對(duì)一些綜合性的問題要先理清思路再行求解。題型7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式例13．（1）（2002上海春，16）設(shè)｛an｝（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）8．．A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6與S7均為Sn的最大值（2）（1994全國理，12）等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（）A.130B.170C.210D.260解析：（1）答案：C；由S5<S6得a1+a2+a3++a5<a1+a2++a5+a6，∴a6>0，又S6=S7，∴a1+a2++a6=a1+a2++a6+a7，∴a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C選項(xiàng)S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由題設(shè)a7=0，a8<0，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。（2）答案：Cm(m1)d30ma12解法一：由題意得方程組，2m(2m1)d2ma11002視m為已知數(shù)，解得d40,a110(m2)，m2m23ma1(3m1)10(m2)3m(3m1)40210?！郤3m3ma12d3mm22m2解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b1，第m+1到2m項(xiàng)之和為b2，第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。b3=b2+d=70+40=110∴前3m項(xiàng)之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取 m=1，則a1=S1=30，a2=S2－S1=70，從而d=a2－a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對(duì)任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。例14．（2000上海，21）在XOY平面上有一點(diǎn)列 P1（a1，b1），P2（a2，b2），，Pn（an，bn），，對(duì)每個(gè)自然數(shù) n，點(diǎn)Pn位于函數(shù) y=2000（a）x（0＜a＜10＝的圖象上，且點(diǎn) Pn、點(diǎn)（n，0）與點(diǎn)（n+1，100）構(gòu)成一個(gè)以 Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。（Ⅰ）求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；（Ⅱ）若對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；（Ⅲ）（理）設(shè)Bn＝b1，b2bn（n∈N）.若a?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛Bn｝的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)。（文）設(shè)cn＝lg（bn）（n∈N）.若a?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列｛cn｝前多少項(xiàng)的和最大?試說明理由。解析：.解：（Ⅰ）由題意，an＝n＋1，∴bn＝2000（a）n12。210（Ⅱ）∵函數(shù)y=2000（a）x（0＜a＜10）遞減，10∴對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，有bn＞bn＋1＞bn＋2則以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn＋2＋bn＋1＞bn，即（ a）2＋（a－1）＞0，10 10解得a＜－5（1＋ 5）或a＞5（ 5－1），∴5（ 5－1）＜a＜10．（Ⅲ）（理）∵5（ 5－1）＜a＜10，a=7，bn＝2000（710

12。數(shù)列｛bn｝是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列.對(duì)每個(gè)自然數(shù)n≥2，Bn＝bnBn－1。于是當(dāng)bn≥1時(shí)，Bn≥Bn－1，當(dāng)bn＜1時(shí)，Bn＜Bn－1，因此，數(shù)列｛Bn｝的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn＋1＜1。由bn＝2000（710

12≥1，得n≤20.8，∴n=20。（文）∵5（ 5－1）＜a＜10，∴a=7，bn＝2000（

7

1n2。10711）lg0.7于是c＝lg［2000（n）2］＝3＋lg2（n＋n102數(shù)列｛cn｝是一個(gè)遞減的等差數(shù)列.因此，當(dāng)且僅當(dāng)cn≥0，且cn＋1＜0時(shí)，數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)的和最大。由cn＝3＋lg2＋（n＋1）lg0．7≥0，2得n≤20.8，∴n=20。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法 .五．思維總結(jié)1．?dāng)?shù)列的知識(shí)要點(diǎn)：（1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N（或它的有限子集｛1，2，3，，n，｝）上的函數(shù)fnffffn（），當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值：（1），（2），（3），，（），。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點(diǎn)構(gòu)成的。2）對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：①已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；②根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾項(xiàng)的分解中．哪些