拉普拉斯變換和逆變換

/第十二章拉普拉斯變換及逆變換拉普拉斯<Laplace>變換是分析和求解常系數(shù)線性微分方程的一種簡便的方法,而且在自動控制系統(tǒng)的分析和綜合中也起著重要的作用。我們經(jīng)常應用拉普拉斯變換進行電路的復頻域分析。本章將扼要地介紹拉普拉斯變換〔以下簡稱拉氏變換的基本概念、主要性質(zhì)、逆變換以及它在解常系數(shù)線性微分方程中的應用。第一節(jié)拉普拉斯變換在代數(shù)中,直接計算是很復雜的,而引用對數(shù)后,可先把上式變換為然后通過查常用對數(shù)表和反對數(shù)表,就可算得原來要求的數(shù)N。這是一種把復雜運算轉(zhuǎn)化為簡單運算的做法,而拉氏變換則是另一種化繁為簡的做法。一、拉氏變換的基本概念定義12.1設函數(shù)當時有定義,若廣義積分在的某一區(qū)域內(nèi)收斂,則此積分就確定了一個參量為的函數(shù),記作,即〔12.1稱〔12.1式為函數(shù)的拉氏變換式,用記號表示。函數(shù)稱為的拉氏變換<Laplace><或稱為的象函數(shù)>。函數(shù)稱為的拉氏逆變換〔或稱為象原函數(shù),記作,即。關于拉氏變換的定義,在這里做兩點說明：〔1在定義中,只要求在時有定義。為了研究拉氏變換性質(zhì)的方便,以后總假定在時,?！?在較為深入的討論中,拉氏變換式中的參數(shù)P是在復數(shù)范圍內(nèi)取值。為了方便起見,本章我們把作為實數(shù)來討論,這并不影響對拉氏變換性質(zhì)的研究和應用?！?拉氏變換是將給定的函數(shù)通過廣義積分轉(zhuǎn)換成一個新的函數(shù),它是一種積分變換。一般來說,在科學技術(shù)中遇到的函數(shù),它的拉氏變換總是存在的。例12.1求斜坡函數(shù)〔,為常數(shù)的拉氏變換。解：二、單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換在研究線性電路在脈沖電動勢作用后所產(chǎn)生的電流時,要涉及到我們要介紹的脈沖函數(shù),在原來電流為零的電路中,某一瞬時<設為>進入一單位電量的脈沖,現(xiàn)要確定電路上的電流,以表示上述電路中的電量,則由于電流強度是電量對時間的變化率,即,所以,當時,；當時,。上式說明,在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠用來表示上述電路的電流強度．為此,引進一個新的函數(shù),這個函數(shù)稱為狄拉克函數(shù)。定義12.2設,當時,的極限稱為狄拉克〔Dirac函數(shù),簡稱為函數(shù)。當時,的值為0；當時,的值為無窮大,即。顯然,對任何,有,所以。工程技術(shù)中,常將函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù),有些工程書上,將函數(shù)用一個長度等于1的有向線段來表示,這個線段的長度表示函數(shù)的積分,叫做函數(shù)的強度。例12.2求單位脈沖信號的拉氏變換。解：根據(jù)拉氏變換的定義,有,即。例12.3現(xiàn)有一單位階躍輸入,求其拉氏變換。解：,。例12.4求指數(shù)函數(shù)〔為常數(shù)的拉氏變換。解：,,即類似可得；。三、拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換有以下幾個主要性質(zhì),利用這些性質(zhì),可以求一些較為復雜的函數(shù)的拉氏變換。性質(zhì)12.1<線性性質(zhì)>若,是常數(shù),且,,則〔12.2證明：例12.5求函數(shù)的拉氏變換解：性質(zhì)12.2〔平移性質(zhì)若,則〔為常數(shù)〔12.3證明：位移性質(zhì)表明：象原函數(shù)乘以等于其象函數(shù)左右平移個單位。例12.6求,和。解因為,,,由位移性質(zhì)即得性質(zhì)12.3〔滯后性質(zhì)若,則〔12.4證明：=,在拉氏變換的定義說明中已指出,當時,。因此,對于函數(shù),當〔即時,,所以上式右端的第一個積分為0,對于第二個積分,令,則滯后性質(zhì)指出：象函數(shù)乘以等于其象原函數(shù)的圖形沿軸向右平移個單位。由于函數(shù)是當時才有非零數(shù)值。故與相比,在時間上滯后了一個值,正是這個道理,我們才稱它為滯后性質(zhì)．在實際應用中,為了突出"滯后"這一特點,常在這個函數(shù)上再乘,所以滯后性質(zhì)也表示為例12.7求。解：因為,由滯后性質(zhì)得。例12.8求。解：因為,所以,例12.9已知,求。解：可用單位階梯函數(shù)表示為,于是,由拉氏變換定義來驗證：。性質(zhì)12.4〔微分性質(zhì)若,并設在[0,+>上連續(xù),為分段連續(xù),則<12.5>證明：由拉氏變換定義及分部積分法,得,可以證明,在存在的條件下,必有。因此,微分性質(zhì)表明：一個函數(shù)求導后取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù),再減去函數(shù)的初始值。應用上述結(jié)果,對二階導數(shù)可以推得同理,可得以此類推,可得〔12.6由此可見,各階導數(shù)的拉氏變換可以由p的乘方與象函數(shù)的代數(shù)式表示出來．特別是當初值時,有更簡單的結(jié)果〔12.7利用這個性質(zhì),可將的微分方程轉(zhuǎn)化為的代數(shù)方程。例12.10利用微分性質(zhì)求和。解：令,則,由〔12.6式,得,即,移項化簡得利用上述結(jié)果,及〔12.5式,可得．性質(zhì)12.5〔積分性質(zhì)若,且設連續(xù),則〔12.8證明：令,顯見,且因,由微分性質(zhì),得,而,所以有,即。積分性質(zhì)表明：一個函數(shù)積分后再取拉氏變換,等于這個函數(shù)的象函數(shù)除以參數(shù)p。例12.11求〔n是正整數(shù)。解：因為,…,,所以由〔12.8式即得一般地,有性質(zhì)12.6若,則時〔12.9性質(zhì)12.7若,則〔12.10性質(zhì)12.8若,且存在,則〔12.11例12.12求。解：因為,由〔12.10式可得例12.13求。解：因為,而且,所以由〔12.11式可得即。因此,當時,得到一個廣義積分的值這個結(jié)果用原來的廣義積分的計算方法是得不到的?，F(xiàn)將拉氏變換的八個性質(zhì)和在實際應用中常用的一些函數(shù)的象函數(shù)分別列表如下：表12.1拉氏變換的性質(zhì)序號設123<a>0>4…56〔a>078表12.2常用函數(shù)的拉斯變換表序號1123456789101112131415161718192021習題12.11．求下列函數(shù)的拉氏變換〔1〔2〔3〔4〔是常數(shù)2．求下列題中函數(shù)的拉氏變換〔1〔2〔3〔4〔5〔6第二節(jié)拉普拉斯逆變換前面我們主要討論了怎樣由已知函數(shù)求它的象函數(shù)的問題．運算法的另一面是已知象函數(shù)要求它的象原函數(shù),這就是拉斯逆變換問題．在控制工程中,求拉氏反變換的簡便方法是利用拉氏變換表。同時把常用的拉氏變換的性質(zhì)用逆變換形式一一列出．性質(zhì)12.9〔先行性質(zhì)。性質(zhì)12.10〔平移性質(zhì)。性質(zhì)12.11〔滯后性質(zhì)。例12.14求的逆變換。解：在運用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應有問題時,通常遇到的象函數(shù)常常是有理分式,對于有理分式一般可采用部分分式方法將它分解為較為簡單的分式之和,然后再利用拉氏變換表求出象原函數(shù)。例12.15求的逆變換。解：先將分解為幾個簡單分式之和：,用待定系數(shù)法求得,,,所以,于是習題13.2求下列題中函數(shù)的拉氏逆變換1.2.3.4.5．6.第三節(jié)拉氏變換在電學中的應用一、求解常微分方程例12.16求微分方程滿足初值條件的解。解：第一步對方程兩邊取拉氏變換,并設：,,。將初始條件代入上式,得這樣,原來的微分方程經(jīng)過拉氏變換后,就得到了一個象函數(shù)的代數(shù)方程。第二步解出：第三步求象函數(shù)的拉氏逆變換：這樣就得到了微分方程的解。例12.17有一個二階動態(tài)電路滿足微分方程,并且其初值條件,,求其解。解：對所給微分方程的兩邊分別作拉氏變換．設,則得將初值條件,,代入,得到的代數(shù)方程即解出,得將上式分解為部分分式再取拉氏逆變換,就得到滿足所給初值條件的方程的特解為用拉氏變換還可以解常系數(shù)線性微分方程組。二、電學應用舉例例12.18求圖示電路的輸入運算阻抗Zin<s>解：由串并聯(lián)關系得Zin<s>=例12.19求圖<a>所示電路中的i<t>、uC<t>?！瞐〔b解：先畫出運算電路如圖