第十一章三相電路

第十一章 三相電路三相電路實質(zhì)上是復雜正弦電流電路，因此，正弦交流電路的方向方法完全適用于三相電路。專門研究三相電路，是由于它是正弦交流電路的一種特殊類型，表現(xiàn)在：（1）特殊的電源。三相電路由3個振幅、頻率相同，而相位各差120的正弦交流電源組成供電系統(tǒng)。三個電源的相量可以表示為UAU0V，UB U 120V，UC U 120V，且滿足UAUBUC0，稱為對稱三相電源。（2）特殊的負載。三相電源負載由 ZA，ZB，ZC三部分組成，每一部分稱一相負載。當ZA ZBZC時，稱對稱三相負載。（3）特殊的聯(lián)接方式。三相電源和三相負載以 Y形或△形兩種方式聯(lián)接。（4）特殊的計算方法。由對稱三相電源和對稱三相負載組成的對稱三相電路具有一些特殊的規(guī)律性，利用這些規(guī)律性，得出對稱三相電路歸為一相計算的簡便分析方法?？傊?，抓住三相電路的特殊性，對計算分析對稱三相電路的電壓、電流和功率問題是很有幫助的。11－1已知對稱三相電路的星形負載阻抗Z(165j84)，端線阻抗Z1(2j1)，中線阻抗，中線阻抗ZN(1j1)，線電壓U1380V。求負載端的電流和線電壓，并作電路的相量圖。題解11-1圖解：按題意可畫出對稱三相電路如題解 11－1圖（a）所示。由于是對稱三相電路，可以歸結為一相（ A相）電路的計算。如圖(b)所示。UAU102200V3，根據(jù)圖（b）電路有令IAUA22001.17426.98AZ1Z167j85根據(jù)對稱性可以寫出IBa2IA1.174146.98AICaIB1.17493.02A負載端的相電壓為UANZIA(165j85)1.17426.98217.900.275故，負載端的線電壓為UAB 3UAN 30 377.4130 V根據(jù)對稱性可以寫出UBCa2UAB377.4190VUCAaUAB377.41150V電路的向量圖如題解 11－1圖（c）所示。11－2已知對稱三相電路的線電壓U1380V（電源端），三角形負載阻抗Z(4.5j14)，端線阻抗Z1(1.5j2)。求線電流和負載的相電流，并作相量圖。解：本題為對稱三相電路，可歸結為一相電路計算。先將該電路變換為對稱Y－Y電路，如題解11－2圖（a）所示。圖中將三角形負載阻抗 Z變換為星型負載阻抗為ZY1Z1(4.5j14)(1.5j4.67)33題解11－2圖UAU102200V311－1圖令，根據(jù)一相（A相）計算電路（見題解（b）中），有線電流IA為IAUA2200Z1ZY30.0865.78A3j6.67根據(jù)對稱性可以寫出IB a2IA 30.08 185.78 AIC aIA 30.0854.22 A利用三角形連接的線電流與相電流之間的關系，可求得原三角形負載中的相電流，有IAB1IA3017.3735.78A3而IBCa2IAB17.37155.78AICAaIAB17.3784.22A電路的相量圖如題解11－2圖（b）所示。注：從11－1和11－2題的計算分析中可以歸納出Y—Y聯(lián)結的對稱三相正弦交流電路的如下特點：.1）中性點等電位，有UNN'0，中線不起作用，即不管有無中線，電路的情況都一樣。2）各相具有獨立性。即各相的電壓和電流只與各相的電源和負載有關，且和各相電源為同相序的對稱量。由以上特點可以得出計算對稱三相電路的一般方法和步驟為：ZY1Z△UAUAB303（1）應用△－Y等效變換（3，）把三相電路化為對稱的Y－Y聯(lián)接。（2）用虛設的、阻抗為零的中線聯(lián)接中性點，取出一相（一般為Ａ相）電路，計算對應的電壓、電流。（3）根據(jù)對稱性，推出其余二相的電壓、電流。需要注意，對稱三相電路中電壓和電流相值與線值之間的關系，即（ 1）Y聯(lián)接中，U1 3Uph30，I1Iph；（2）△聯(lián)接中，U1Uph，I1 3Iph 30。11－3 對稱三相電路的線電壓 U1230V，負載阻抗Z(12j16)。試求：（1）星形連接負載時的線電流及吸收的總功率；（2）三角形連接負載時的線電流、相電流和吸收的總功率；（3）比較（1）和（2）的結果能得到什么結論？解：（1）星形連接負載時把對稱三相電路歸結為一相（ A相）計算。令電源U10132.790VUA0，根據(jù)一相計算電路，相電壓3，且設端線阻抗Z1有線電流 IA為UA132.790IA6.6453.13AZ12j16根據(jù)對稱性可以寫出IBa2IA6.64173.13AICaIA6.6466.87A故星形連接負載時吸收的總功率為P 3U1I1cos z 3 230 6.64 cos53.13 1587.11W（2）三角形連接負載時，令負載端線電壓（即為相電壓）UABUABU102300V（因為Z10），則三角形負載中的相電流IAB為IABUAB230011.553.13AZ12j16則IBCa2IA11.5173.13AICAaIA11.566.87A利用三角形連接的線電流與相電流的關系，可求得線電流IA為IA3IAB3019.9283.13A則IBa2IA19.92203.13AICaIA19.9236.87A故，負載所吸收的總功率為P 3U1I1cos

z

3 230 19.92

cos53.13

4761.34W（3）比較（1）和（2）的結果能得到在相同的電源線電壓下，負載由

Y聯(lián)接改為△連接后，相電流增加到原來的

3倍，線電流增加到原來的

3倍，功率也增加到原來的 3倍。注：不論對稱負載是 Y形連接還是△形連接，計算三相負載總功率的公式是相同的即 P 3U1I1cosz3UphIphcosz。11－4圖示對稱工頻三相耦合電路接于對稱三相電源，線電壓U1380V，R30，L0.29H，M0.12H。求相電流和負載吸收的總功率。題11－4圖解：電路為對稱三相電路，去耦等效電路如題解11－4圖所示，可歸結為一相（A相）電路來計算。UA(RjLjM)IAUAU102200V令相電壓UA為：3，則相電流IA為IAUA2200Rj(LM)3.59360.66A30j53.38根據(jù)對稱性可以寫出IBa2IA3.593180.66AICaIA3.59359.34A負載吸收的總功率為P 3I2AR 3 3.5932 30 1161.78W題解11－4圖11－5圖示對稱Y－Y三相電路中，電壓表的讀數(shù)為1143.16V，Z(15j153)，Z1(1j2)。求圖示電路電流表的讀數(shù)和線電壓UAB。題11－5圖解：圖示電路為對稱Y－Y三相電路，故有UNN0，可以歸結為一相（A相）電路的計算。根據(jù)題意知UAB1143.16V，則負載端處的相電壓UAN為UUAB1143.16660VAN33而線電流為I1UAN660Z22A30（電流表讀數(shù)）故電源端線電壓UAB為UABU13Z1ZI1332.232221228.2V11－6圖示為對稱的Y－Y三相電路，電源相電壓為220V，負載阻抗Z(30j20)。求：（1）圖中電流表的讀數(shù)；（2）三相負載吸收的功率；（3）如果A相的負載阻抗等于零（其他不變），再求（1），（2）；（4）如果A相負載開路，再求（1），（2）。題11－6圖解：圖示電路為對稱Y－Y三相電路，故有UNN0，可歸結為一相（A相）電路的計算。（1）令UAN2200V，則線電流IA為UAN2200IA306.133.69AZj20故圖中電流表的讀數(shù)為 6.1A。（2）三相負載吸收的功率為P3IA2R36.12303349W（3）如果A相的負載阻抗等于零（即A相短路），則B相和C相負載所施加的電壓均為電源線電壓，即N點和A點等電位，而UU

AB3UAN3038030VACUCAaUAB38030V此時三相負載端的各相電流為INBUAB3803010.543.69AZ30j20INCUAC3803010.5463.69AZ30j20IAINBINC10.543.6910.5463.6918.26 33.7 A這時圖中的電流表讀數(shù)變?yōu)?18.26A。三相負載吸收的功率變?yōu)椋篜2IN2BR2(10.54)2306665.5W（4）如果圖示電路中A相負載開路，則B相和C相負載阻抗串聯(lián)接入電壓 UBC中，而UBC a2UAB 3a2UAN 30 380 90 V此時三相負載中的各相電流為IA0IBNICNUBC380902Z2(205.27123.69Vj20)這時圖中的電流表讀數(shù)為零。三相負載吸收的功率為P 2I

2BN

R

2 (5.27)2

30 1666.4W注：在問題（3）和（4）的求解中，對稱三相電源的對稱性是不變的，但A相負載的變化，使得三相負載為不對稱負載，從而使各相負載的電壓、電流和吸收的功率發(fā)生變換。11－7圖示對稱三相電路中，UAB380V，三相電動機吸收的功率為1.4kW，其功率因數(shù)0.866（滯后），Z1j55。求UAB和電源端的功率因數(shù)。題11－7圖解：圖示為對稱三相電路，可以歸結為一相電路的計算，如題解11－7圖所示。題解11－7圖UANUAB02200V令3。由已知條件可求得線電流IA為IAP14003UANcos2.45A32200.866而負載Z（為三相電動機每相的阻抗）的阻抗角為uiarccos0.86630則i30故IA2.4530A根據(jù)一相計算電路，有電源端相電壓 UAN為UANZ1IAUAN55-902.45302200192.1337.4V則電源端線電壓UAB為UAB3UAN30332.787.4V電源端的功率因數(shù)為cos(37.4 30) cos(7.4) 0.9917（超前）11－8 圖示為對稱的Y－△三相電路，UAB380V，Z(27.5j47.64)。求：（1）圖中功率表的讀數(shù)及其代數(shù)和有無意義？（ 2）若開關S打開，再求（1）。題11－8圖解：（1）圖示電路中兩個功率表的讀數(shù)分別為P1 Re[UABI*A] P2 Re[UCBIC*]則P1P2Re[UABIA*UCBIC*]Re[(UAUB)IA*(UCUB)IC*]Re[UAIA*UB(IA*IC*)UCIC*]Re[UAIA*UBIB*UCIC*]P以上表示說明P1和P的讀數(shù)沒有什么意義，但P和P的代數(shù)和代表了三相電212路負載吸收的總功率，這就是用兩個功率表的方法來測量三相功率的原理（稱二瓦計法）。開關S閉合時，圖示電路為對稱三相制，此時有P1Re[UABIA*]UABIAcos(uABiA)U1I1cos(uA30iA)U1I1cos(zP2Re[UCBIC*]UCBICcos(uCBiC)U1I1cos(uC30iC)U1I1cos(z本題中U1UAB380V，線電流為

)30)I1IA3IAB380311.965A275247.642zarctan47.6460阻抗角27.5所以兩功率表的讀數(shù)為W1P1U1I1cos(zW2P2U1I1cos(z

30) 38011.965 cos90 030) 38011.965 cos30 3937.558W負載吸收的總功率為P P1 P2 3937.558W（2）開關S打開，圖示電路變?yōu)椴粚ΨQ三相電路，但電源端仍為對稱三相電源。故，令UAB38030V；仍有UCB38090，則此時線電流IA和IC為IAIABUAB6.9130AZUCB38090ICICB27.56.9130AZj47.64這時，兩功率表讀數(shù)為W1P1Re[UABIA*]Re[380306.9130]3806.91cos601312.9WW2P2Re[UCBIC*]Re[380906.9130]3806.91cos601312.9W所以，負載吸收的總功率P P P 2625.8W1 1注：本題的分析結果說明，在三相三線制電路中，不論對稱與否，都可使用二瓦計法來測量三相功率。需要指出，兩個功率表在電路中的聯(lián)結方式有多種，但必須把其電流線圈串入任意兩端線中（本題為 A，C線），他們的電壓線圈的非電源端（無星號*端）共同接到第三條端線上（本題為 B線）。在一定的條件下，兩個功率表之一的讀數(shù)可能為負，求代數(shù)和時該讀數(shù)應取負值。11－9 已知不對稱三相四線制電路中的端線阻抗為零，對稱電源端的線電壓U1380V，不對稱的星形連接負載分別是ZA(3j2)，ZB(4j4)，ZC(2j1)。試求：（1）當中線阻抗ZN(4j3)時的中點電壓、線電流和負載吸收的總功率；（2）當ZN0且A相開路時的相電流。如果無中線（即ZN）又會怎樣？解：題解11－9圖所示電路為不對稱三相四線制電路。題解11－9圖U102200V（1）設對稱電源端的相電壓UA3，則UB220120V；UC220120V，中點電壓UNN為UAUBUCUNNZAZBZC50.09115.52V1111ZAZBZCZN所以，各相負載的電流（即線電流）為IAUAUNN220050.09115.5268.1744.29AZA3j2IBUBUNN22012050.09115.5244.51155.52AZB4j4ICUCUNN22012050.09115.5276.0794.67AZC2j1INUNN50.09115.5210.0278.65AZN4j3負載吸收的總功率為PIA2RAIB2RBIC2RC(68.17)23(44.51)24(76.07)2233.439kW（2）當ZN0且A相開路（即ZA）時，有UNN0，IA0，B相和C相互不影響，有IBUB22012038.89165AZB4j4ICUC22012098.3993.43AZC2j1INIBIC38.8916598.3993.4398.28116.43A如果無中線，即ZN且A相開路，有IN0，IA0，則IBUBCUBUC3809048.66129.81ZBZC6j57.8139.81而ICIB48.66129.81A注：本題的計算說明，不對稱三相電路不具有對稱三相電路的特點，因而必須采用正弦穩(wěn)態(tài)電路的方法進行分析。11－10圖示電路中年，對稱三相電源的線電壓U1380V，Z(50j50)，Z1(100j100)ZA為R，L，C串聯(lián)組成，R50XL314XC264。，，，試求：（1）開關S打開時的線電流；（2）若用二瓦計法測量電源端三相功率，試畫出接線圖，并求兩個功率表的讀數(shù)（S閉合時）。題11－10圖解：（1）標出各線電流參考方向如圖所示。開關 S打開時，圖示電路中ZA R j(XL XC) (50 j50) Z所以，此時電路為三相對稱電路，有UNN0，可以歸結一相（A相）電路的計算。UANU12200V3令電源端相電壓：，則IAIAUAN2200Z503.1145Aj50根據(jù)對稱性可以寫出IBIBa2IA3.11165AICaIA3.1175A題解11－10圖（2）開關S閉合時，用二瓦計法測量電源端三相功率的接線圖如題解11－10圖所示。這時，在A，B斷線之間接入阻抗Z1后，電路為不對稱三相電路，但電源仍為對稱三相電源。令UAN2200V，則UBN220120V，UCN220120V；而UAB38030V，UBC38090V，UACUCAaUAB38030V。即，負載Z上的線電壓和相電壓均未變，則三個負載阻抗Z中的電流IA，IB和IC不變，但IA與IB因加入阻抗Z1中的電流I1而變化。電流 I1為I1UAB38030Z11002.68715Aj100故由圖知IAIAI13.11452.687155.6031.12AIBIBI13.111652.687155.60178.87A兩功率表的讀數(shù)為P1Re[UACIA*]UACIAcos(UACIA)3805.6cos1.122127.6WP2Re[UBCIB*]UBCIBcos(UBC)IB3805.6cos88.8741.97W注：《電路》（第四版）教材 P258中的式（11－3）只能用于計算對稱三相制電路中的功率表讀數(shù)。對于不對稱三相電路中的功率表讀數(shù)要用本題所采用的方法計算。11－11 圖（a）為對稱三相電路，經(jīng)變換后可獲得圖（ b）所示一相計算電路。試說明變換的步驟并給出必要的關系。題11－11圖解：欲將圖（a）所示的對稱三相電路變換為圖（b）所示的一相計算電路，需先將圖（a）電路變換為對稱的Y－Y三相電路，然后，再化為一相計算電路。其變換步驟如下：（1）將三相電源由原來的三角形連接變換為星形連接，有UAB30UA30UA33（2）將圖（a）電路負載端的三角形連接的阻抗Z4變換為星形連接，既有1Z4 Z4，并增加了此負載端處的中性點N。（3）可以證明中性點N，N和N1是等電位點，因此，即可獲得圖（b）所示的一相計算電路。11－12已知對稱三相電路的負載吸收的功率為2.4kW，功率因數(shù)為0.4（感性）。試求：(1)兩個功率表的讀數(shù)（用二瓦計法測量功率時）；（2）怎樣才能使負載端的功率因數(shù)提高到0.8？并再求出兩個功率表的讀數(shù)。解：（1）用二瓦計法測量功率的接線圖如題解11－12圖所示。對稱三相電路兩功率表的讀數(shù)為P1U1I1cos(30)P2U1I1cos(30)根據(jù)題意知阻抗角 arccos0.4 66.422由P3U1I1cos2.4kW，可得U1I1P2.41033.4641033cos30.4所以，兩功率表的讀數(shù)為W1P1U1I1cos(30)3.464103cos36.4222.787kWW2P2U1I1cos(30)3.464103cos96.4220.387kW（2）欲提高三相負載端的功率因數(shù)，可在負載端并聯(lián)對稱三相星形連接的電容器組以補償無功功率，如題解 11－12圖中虛線所示。題解11－12圖提高的功率因數(shù)為cos0.8，故36.87，并聯(lián)電容器組前，無功功率QPtan2.4tan66.4225.499kvar并聯(lián)電容器組后，無功功率為QPtan2.4tan36.871.80kvar所以，三相電容器組產(chǎn)生的無功功率為QC Q Q 1.80 5.499 3.699kvar設此時兩功率表的讀數(shù)分別為 P1和P2，且三相負載總有功功率 P不變，即有P P1 P2 2.4kW但并聯(lián)三相電容器組后，阻抗角由 變?yōu)?，故得P1P2 cos( 30)cos( 30) 2.53所以W2P2P2.412.530.68kW3.53W1P1PP22.40.681.72kW11－13圖示三相（四線）制電路中，Z1j10，Z2(5j12)，對稱三相電源的線電壓為380V，圖中電阻R吸收的功率為24200W（S閉合時）。試求：（1）開關S閉合時圖中各表的讀數(shù)。根據(jù)功率表的讀數(shù)能否求得整個負載吸收的總功率；（2）開關S打開時圖中各表的讀數(shù)有無變化，功率表的讀數(shù)有無意義？題11－13圖解：（1）開關S閉合時，三角形負載端的 A，B，C和星形負載端的 A，UANU102200VC3，B，處的線電壓均與電源端相同，為對稱線電壓。令UABU13038030V。由圖知，電路中電阻R吸收的功率為：PRUANIR24200W，且UANRIR，故得PR024200IR22001100AUANRUAN2所以IR三角形負載中的相電流 IAB為IABUAB38030Z138120Aj10則線電流 IA為IA3IAB3065.8290j65.82A根據(jù)對稱性可以寫出IBa2IA65.8230A所以，電流表A1的讀數(shù)為：A1IB'65.82A。.又因為Z2...0，所以，電流表A2的構成星形對稱三相負載滿足IA"IB"IC"讀數(shù)為零。.星形負載中的線電流IA"為..UAN2200IA16.9267.38AZ25j12.此時，電源端的線電流 IA為....IAIA'IA"IRj65.8216.967.381100126.8623.31A功率表W的讀數(shù)為..WUANIAcos(UANIA)220126.86cos(23.31)25.63kW功率表讀數(shù)為所有與 A相端線相連接負載的有功功率之和，即（設P1和P2分別為三角形負載和星形負載吸收的總功率）WPRP1P233因此三相負載吸收的總功率為P1 P2 3(W PR) 3 1430 4290W所以，整個負載吸收的總功率為PP1P2PR42902420028.49kW（2）開關S打開時，即N點與N2點無中線，由阻抗Z1構成的三角形負載...仍為對稱三相負載與對稱三相電源相連接，故線電流IA',IB'和IC'不變，仍為對稱組，因此，電流表 A1的讀數(shù)不變，為65.82A。由Z2構成的星形負載由于在 A相負載處并聯(lián)了電阻 R，而使其成為不對稱三相負載，其中性點 N2與N之間的電壓為....).2200(UANUBNUCNUANZ2RUN2N23131Z2R5j122175.7219.89V.這時，線電流IA"為...UANUN2N2200175.7219.89IA"6.24114.89AZ25j12.....IA"IB"IC"IRA且圖中，。電流表R的有效值，2的讀數(shù)為電阻中電流I而...UANUN2N2200175.7219.89IRR40.5447.51A2故，電流表 A2的讀數(shù)為40.54A。.又因為此時電源端的線電流 IA"為....IAIA'IA"IRj65.826.24114.8940.5447.5139.1050.72A所以，功率表的讀數(shù)為WUANIAcos(UANIA)22039.1cos(50.72)5.45kW此時功率表讀數(shù)不是對稱三相電路中的A相負載的有功功率，而是A相電源的功率。11－14 圖示為對稱三相電路，線電壓為 380V，R 200 ，負載吸收的無功功率為15203var。試求：（1）各線電流；（2）電源發(fā)出的復功率。題11－14圖解：圖示電路為對稱三相電路，可以歸結為一相電路的計算。（1）令電源端UANU102200V3，則UABU13038030V。所以相電壓IABUAB380301.930AR200IA13IAB303.290A又根據(jù)題意知，對稱三相電容負載吸收的無功功率為Q 3U1I12sin(90) 15203 varIA2Il