2016年江蘇數(shù)學高考試題

2016年江蘇數(shù)學高考試題

參考公式

圓柱的體枳公式:^tt=sh,其s是圓柱的底面積，h為高。

嗡維gsh,其S是圓錐的底面積，h為高。

圓鏈的體枳公式:

-、填空題：14個小題,每小題5分，共70分

1已知集合4={-1,2,3,6},8={劉-2<*<3},則4口8=

2復數(shù)z=(1+2i)(3-i),其i為虛數(shù)單位，則z的實部是.（:始）

fv2

3在平面直角坐標系X。)，，雙曲線1-?=1的焦距是一

a—1

4已知一組數(shù)據(jù)47,48,51,54,55,則該組數(shù)據(jù)的方差是

5函數(shù)尸j3-2x?的定義域是

6如圖是一個算法的流程圖，則輸出的。的值是.

7將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋

擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是.

8已知｛4｝是等差數(shù)列,S.是其前〃項和若勾+。22=-3,S5=10,則俏的值是

9定義在區(qū)間［0,3利上的函數(shù)y=sin2x的圖象與尸co&r的圖象的交點個數(shù)是

22

10如圖，在平面直角坐標系X。)，，F(xiàn)是橢圓亍X+齊V=1(。＞人＞0)的右焦點，直線yb與橢圓

交于B,C兩點,且N3/C=90°,則該橢圓的離心率是

X+Q,-1<X<0,

11設(shè)火x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間［7,1)上，/(x)=＜2其R.

—x

5

若人-$=

,則/(5〃)的值是

x-2y+4>0

12已知實數(shù)x,y滿足｛2x+y—220,則f+J的取值范圍是

3x-y-3<0

13如圖，在△ABC,。是8。的點，E,尸是AO上的兩個三等分點，

BCCA=4,BFCF=-1,則屁在的值是

14在銳角三角形ABC,若sinA=2sinBsinC,則taoAtanBtanC的最小值是

二、解答題（本大題共6小題，共90分）

471

15（本小題滿分14分）在△ABC,AC=6,cosB=—,C=—.

54

（1）求A3的長;

(2)求cos(A-—)的值

6

16（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱ABC-AdiG，D,E分別為AB,8C的點，點尸在側(cè)棱

上，且與。1.4尸，4G，4月

求證：（1）直線OE〃平面AGF；

（2）平面BQE_L平面AC1F

17(本小題滿分14分)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐

P-AB”,下部分的形狀是正四棱柱ABC。一48cA(如圖所示)，并要求正四棱柱的

高P0是正四棱錐的高PQ的四倍

(1)若A8=6"Z,PO|=2〃Z,則倉庫的容積是多少？

(2)若正四棱柱的側(cè)棱長為6m,則當PC)1為多少時，倉庫的容積最大?

18(本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標系xOy,已知以M為圓心的圓M:

x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4)

(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；

(2)設(shè)平行于0A的直線1與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA,求直線1的方程;

(3)設(shè)點T(t,。)滿足：存在圓M上的兩點P和Q,使求TA+TP=TQ,實數(shù)t的取值范圍。

x

19(本小題16分)已知函數(shù)/(%)=a+b\a>01>0,aHl,b+1)

(1)設(shè)a=2,b=—

2

①求方程f(x)=2的根；

②若對任意x,不等式/(2x)》m/(x)-6恒成立，求實數(shù)機的最大值;

(2)若0<a<l,b>l,函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有一個零點，求ab的值。

20(本小題滿分16分)記上｛12,一，100｝對數(shù)列｛aj(nN?和U的子集T,若丁二。

定義Sr=0；若丁=｛3t2,.....,tk｝,定義ST=｛%，％+…+氣｝

例如T=｛1,3,66｝時ST=ai+a3+a66現(xiàn)設(shè)｛an｝是公比為3的等比數(shù)列,且當T=｛2。4｝時，

Sr=30o

(1)求數(shù)列｛/｝的通項公式；

(2)對任意正整數(shù)^(l<jt<100),若Tq｛l,2,…,k｝。求證：S.,.<ak+i

(3)設(shè)。=。,。=。,品二與，求證：Sc+Scno^ZS。

數(shù)學n(附加題)

21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其兩小題，若多做，則按作答的前兩小題評

分.

A.【選修4一1幾何證明選講】(本小題滿分10分)

如圖，在△ABC,ZABC=90Q,BDYAC,。為垂足，E是BC的點,

求證：ZEDC=ZABD

B【選修4—2：矩陣與變換】（本小題滿分10分）

「12】11--

已知矩陣4=-2」，矩陣8的逆矩陣夕1|_022_,求矩陣A8

C【選修I：坐標系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分）

',1

x=\+-t

在平面直角坐標系宜萬，已知直線/的參數(shù)方程為廠2G為參數(shù)），橢圓c的參

數(shù)方程為[x=c°s&（。為參數(shù)）設(shè)直線/與橢圓C相交于A,B兩點，求線段A8的長

[y=2sin6

aa

D設(shè)a>0f求證：[2">-4|<a

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應

寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

22（本小題滿分10分）

如圖，在平面直角坐標系xOy,已知直線/：x-y-2=0,拋物線C：y2=2px（p>0）

（1）若直線/過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程;

（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線1對稱的相異兩點P和。

①求證：線段PQ的點坐標為（2-p,-p）；

②求〃的取值范圍

23（本小題滿分10分）

（1）求7C：-4C；的值;

（2）設(shè)，？?，〃2加，求證:

5+1)C；：+(m+2)C：+1+5+3)C3+?“+〃/_]+(〃+1)C：=5+1)C%

解答

填空題：每小題5分，共70分

1已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},則A08=\1,集

2復數(shù)z=(1+2i)(3-i),其i為虛數(shù)單位，則z的實部是q_____________

3在平面直角坐標系xOy,雙曲線上一3=1的焦距是_2M_

73----

4已知一組數(shù)據(jù)47,48,51,54,55,則該組數(shù)據(jù)的方差是01

5函數(shù)產(chǎn),3-2x-無2的定義域是「-3,1］

6如圖是一個算法的流程圖，則輸出的。的值是_2_____

7將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,

5.6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和

小于10的概率是一<

8已知｛斯｝是等差數(shù)列，是其前〃項和若田+。22=-3,S5=10,

則?9的值是20

9定義在區(qū)間［0,3兀］上的函數(shù)y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點個數(shù)是7

〃為“c.AT.1九?3九5九■萬5萬13萬17兀

解：Y=2sinxcosx=cosx,cosx=0,或sinx=—,x=-，一；—；—,—；---,---,

22226666

10如圖，在平面直角坐標系xOy,F是橢圓三+與=l(a>b>0)

ab~

的右焦點，直線'=與與橢圓交于B，C兩點，且NBR7=90°

，則該橢圓的離心率是更

解：設(shè)C(m,?),B(-m,g)。B在橢圓上：b2m2+a2X(1)2=a2b2,①

ZBFC=90°：CF2+BF2=4m2,(m-c)2+(1)2+(-m-c)2+(1)2=4m2②

由①②消去m,又bB2,解得琮邛

X+6Z,-l<X<0,

11設(shè)/(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，f(x)=<其R.

5

若/(_}=/(3,則/(5“)的值是

研45、_01、_1,091j2I「11,_1_3

解：/(—)——)----+a,/(一)—^—)—...-----—+a--,a—

八2八22八2八25102105

32

A5a)=X3)=Al)=X-3)=X-l)=-l+1=-y

x-2y+4>0

12已知實數(shù)x,y滿足<2x+y—220,則f+丁的取值范圍是」13]

3x-y-3<0

13如圖，在△ABC,。是3C的點，E,尸是AO上的兩個三等分點，BCC4=4,BFCF=-\,

則前?區(qū)的值是_____

8

解：/.eo=-cB

BA?CA=(BD+DA)(CD+DA)=BD?CD+BD?DA+_DA_?CD+DA2

=-BD2+5A2=4

..，，?..1..1.

BF?CF=(BD+DF)(CD+DF)=(BD+-DA)(-BD+-DA)

=-fiD2+-DA2=-1

9

解得DA2=—

8

22

Z.BE?CE=(BD+DE)(<CD+DE)(BD+-DA)(-BD+-DA)=-BD+-DA

14在銳角三角形ABC,若sinA=2sinA?sinC,則tan/UanBtanC的最小值是8

解：山已知sinA=2sinBsinC,彳導sin(B+C)=2sin3sinC,sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

cosC,cosB11八c,ccc一

----+-----=2,----+-----=2,tanB+tanC=2tanBtanC

sinCsinBtanCtanB

,:A,B,C都是銳角,

22

?Ac-/c-、c-tanB+tanC、/八一2tan~8tanC八

..tanAtanBtanC="tan(B+C)tanBtanC=------------------XtanBtanC=-------------------->0

1-tanBtanCtanBtanC-1

2

/.tanBtanC>l令tanBtanC=m>l,MdtanAtanBtanC=------°

問題變?yōu)榍笮?m>l)最小值。方法多樣。令M=‘，2

O

m-\m--1

什..2m22m2-2tn+2tn-2+2__2

法—M=------=-----------------------------2m+2+-------=2(m-1)+4+—=->8,當m=2

tn-\m-1m-1

時，取等號，故M最小值為8。

法二m-------,當即時,

M=-—==L,m=2.M最小值為8。

m-i1,1m2

---2+

mlm

法三判別式法mM-M=2m2,2m2-Mm+M=0,Z=M2-8M>0,M28,

M=8時，方程2m2-Mm+M=0,為m2-4m+4=0,m=2,符合最小值為8,

二、解答題(本大題共6小題，共90分)A

A

4元

15(本小題滿分14分)在△ABC,AC=6,cosB=—,C=

54

(1)求A8的長；(2)求cos(A-凹)的值

6BZ---------------------XC

AQA出_AC

解：⑴???cosB=g,，B為銳角，，sinB=±據(jù)正弦定理有“，

兀sinB

siri—

4

AAB=6X—4--=5V2。

25

ai)，義也=也

(2)cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=-X—

?210

sinA=Vl-cos2A

10

7A/21_75/2-V6

cos(A--)=cosAcos—+sinAsin—="X—+y

66610210220

16(本小題滿分14分)如圖,在直三棱柱ABCA向C，D,E分別為AB,BC的點，點F在側(cè)棱

B山上，且耳。耳

求證：(1)直線。E〃平面AiGF；

(2)平面BQE_L平面AC/

證明(1)VD,E分別為AB,8c的點，

，DE〃AC〃A|G.

DB

AiGu平面4GF：,DE在平面AGF：外，...直線〃平面AC/；。

a

(2)已知B|D_LA|F。①

F

；AiG-LA|B|.AiCilAiAp，AiCil■平面ABB|A1(

.,.AiC|±B|D?②

AF，A1。是平面AiGF內(nèi)二相交直線，

據(jù)①②得BQ_L平面AiGF。

平面BiDE經(jīng)過BQ,二平面BQE，平面ACF。

[亦可證明BQ_LDE,從而BIDLAIG,又BQ，A|F,

，BQJ_平面AiGF。二平面BQE_L平面A】GF。

下面證明BQ_LDE：直角/B|BD,/BDE

B1D2+DE2=(DB2+BB,2)+DE2=[(BE2-DE-)+]4-DE^BiE2,

1DE?]

17(本小題滿分14分)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐

P-ABCQ,下部分的形狀是正四棱柱ABC。-a4GA(如圖所示)，并要求正四棱柱的

高P0是正四棱錐的高P0,的四倍

(1)若AB=6〃z,PO|=2m,則倉庫的容積是多少？

(2)若正四棱柱的側(cè)棱長為6m,則當為多少時，倉庫的容積最大？p

解(1)容積為下部正四棱柱的容積與上部正四棱錐的容積的和=71cl

62X4X2+-X62X2=62X2X(4-)=312(m2)應上廠//

31

(2)設(shè)、PO]=xm。則AQi=j6二2-x2,(0<x<6)1DTL

AIB—X-)I--!~/

AB

V=2X(36-x2)X4x+gX2X(36-x2)x=2X(36-x2)xX(4+1)

=g(-X3+36X)

V'=-26X2+12X26=26X(-x2+12)x=2V5■時，Vz=0

當0<x<2后時，H>0,V是單調(diào)增函數(shù)，2A/J<X<6時，M'<0,V是單調(diào)減函數(shù)，所以當

x=273m時，庫容V取得最大值。

18(本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標系xOy,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0

及其上一點A(2,4)。

(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；

(2)設(shè)平行于0A的直線1與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA,求直線1的方程；

(3)設(shè)點T(t,。)滿足：存在圓M上的兩點P和Q,使得包+浮=發(fā)求實數(shù)t的取值范圍。

解：(1)M：(x-6)、(y-7)2=25,圓心M(6,7)

?.,圓N的圓心N在直線x=6上，設(shè)N圓圓心為N(6,y),又圓N與x軸相切，與圓M外

切。；.2y=7-5,y=l。故圓N的標準方程為：&-6尸+?-1)2=1

(2)

VBC/70A,Ak^koA=2o設(shè)直線BC的方程為y=2x+b,作MDLBC于D。MD=5,我

：M=ylMB2-BD2=加2_5=2后

又MD=1.6-7+]=2|5+b|=10,.\b=5,-15

S+r

.?.直線/的方程有兩解：y=2x+5或y=2x-15。

(3)T(t,0),A(2,4)設(shè)P(xi,yi),Q(xz,yz)。

由江+TP=TQ得(2-t,4)+(x「t,y)=(x2-t,yz)，于是2-t+x「t=X2-t且4+yi=yz,

.*.x2=xi-t+2,且yz=yi+4。\,點Q(x2,y?)在圓M上，，(xi-t+2-6)'+(yi+4-7)'=25,

22

BP(xi-t-4)+(yi-3)=25,這說明點P(xbyj在以點N(t+4,3)為圓心,5為半徑的圓N上。

又點P(xi,yJ在以點M(6,7)為圓心，5為半徑的圓M上。即點P(x”用為圓M與圓N的交

點。；.5-5W|MN|W5±5,(t+4-6)2+(3-7)^100,(t-2)?W84,

2-2回2+2萬

18(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=ax+b\a>0,b>0,a^\,b^\)

(1)設(shè)a=2,b=—,

2

①求方程/(x)=2的根。

②若對任意xeR不等式f(2x)>加口)一6恒成立，求實數(shù)m的最大值。

(2)若0<“<1,氏>1,函數(shù)g(x)=/(x)-2有且只有1個零點，求ab的值。

解：(1)①方程/(x)=2,即方程2'+(；尸=2,22X-2X2X+1=0,(2-1)=0,Ax=0

②22x+2-2^m(2x+2-x)-6,(22x+2-2)2-2^m(2x+2x)-6,

mW（2S+2X）+--—,而（2'+2x）+---22X2=4,

2X+2-X2r+2-x

當才+2'=--—,2'+2r=2,x=0時，取等號，故mW4,即m最大是4。

2'+2r

20（本小題滿分16分）記11=｛12,—,100｝對數(shù)列｛aj（nN?和U的子集T,若丁=d>

定義Sr=o；若丁=｛3t2,....，tk｝,定義ST=｛%，4+…+%｝

例如T=｛1,3,66｝時ST=ai+a3+a66現(xiàn)設(shè)｛an｝是公比為3的等比數(shù)列，且當T=｛2。4｝時，

Sr=30o

（1）求數(shù)列｛"“｝的通項公式；

（2）對任意正整數(shù)攵（1￡女4100）,若T=｛1,2,…，k｝。求證：ST<aM

（3）設(shè)C=U,O=U,Sc求證：Sc+SC（］D>2SD

解：（1）ST=30=az+a尸a】X3+a1X3=30ai,?*.3，i=l,a13

kk

（2）ST^ai+a2+...+ak=l+3+3，+....+3~~<3,/.SX^k+i

D最大的數(shù)分別是k

已知SCESD。由（2）知ScWak+i,

***3m=amS（jSc<3k+1=3^,in—1,m^k,Vm^k,Lm<k,mWk1」

—1"一】

.,.So^1+2+……+3^d=3TW--―L4_1.Sc~~1

222、2

.,.SC22SD+1,SC>2SD

2）若CADW。

①若C=D,則Sc+ScnD=2Sc>2SDo

②若CWD,設(shè)E=c-cn。，F(xiàn)=D-cp|。，

由1）知SE>2SF.

,,Sc+Scnn=SE+2Scn「>>2SF+2Scno=2SD

3）綜合1）2）得Sc+ScnG2So°

數(shù)學n（附加題）

21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其兩小題，若多做，則按作答的前兩小題評

分.

A.【選修4—1兒何證明選講】（本小題滿分10分）

如圖，在△ABC,ZABC=90°,BD1.AC,。為垂足，E是8c的點，求證：NEDC=NABD

證明:

B1選修4—2：矩陣與變換】（本小題滿分10分）

121

已知矩陣A=，矩陣8的逆矩陣夕1=-2,求矩陣AB

0-2

02

1c

aac1——4+2c10

解：設(shè)8=,則BB"=2

bbd01

0--b+2d

b2

Aa=l,b=0,~—a+2c=0,~—b+2d=1,解得c=，,d=1，B=14

2224422j_

02.

5

12141

AB二4

0-2j_0

02.

c【選修i：坐標系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分）

I1

x=l+—r

在平面直角坐標系xOy,J知直線/的參數(shù)方程為「（r為參數(shù)），橢圓C的參

F

數(shù)方程為"=（。為參數(shù)）設(shè)直線，與橢圓。相交于A,B兩點,求線段AB的長

y=2sin6

I1

X=1d12

解：橢圓C的普通方程為x2+?=],將直線/的參數(shù)方程.廠2代入x2+2L=i

G4

得F

(l+f)2=1,化簡為7t2+16t=0,解得t=--y,t=0o

AB=|-y-0|=y

D設(shè)a>0,|x-l|<y,[y-2|<y,求證：|2A+y-4|<f7

解：|2x-2|〈即，A|2x+-y-4|^|2x-2|+|^-2|<—+-=?

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應

寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

22（本小題滿分10分）

如圖，在平面直角坐標系X。），，已知直線/：x-y-2=0,拋物線C：y^=2px（p>0）

（1）若直線/過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程;

(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線1對稱的相異兩點P和Q

①求證：線段PQ的點坐標為（2-p,力）；

②求P的取值范圍

解（1）C的焦點F（￡,0）在直線/：x-y-2=0±：

y-0-2=0,p=4,，拋物線C的方程是y2=8x。

(2)①設(shè)P(xi,yjQ(xz,y2)VP,Q關(guān)于直線1對稱,二PQ1/,

線段PQ為直線/平分，設(shè)PQ點M（m,n）,：.M在/上，則n=m-2

由y；=2pxi,y；=2px2,相減得y；-yg=2p(x「X2),—~—=2p,kPQ=—~紅=-&=-1,

xx

t-2-x2

，yi+y2=-2p,...IF=-p,m=n+2=2-p。即線段PQ的點坐標為(2-p,-p)。

②PQ方程為y-n=-(x-m),即y=-x+m+n,即y=?x+2-2p*.*PQ與C必交于P,Q相異

兩點，，由PQ與C聯(lián)立所得二次方程(-x+2-2p)2=2px一定有相異二實根，將該方程化

為標準形式:x2-2(2-p)x+(2-2p)2=0,

其判別式/=4(2-p)2-4(2-2p)2>0,p(4-3p)>0,0<p<!

23（本小題滿分10分）

（1）求7C；-4C；的值;

（2）設(shè)〃2,N,相，求證: