2017年山東省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

2017年山東省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）設(shè)集合M={x||x-VI},N={x|x<2},則MCN=（）

A.（-1,1）B.（-1,2）C.（0,2）D.（1,2）

2.（5分）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足zi=l+i,則z2=（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

x-2y+540

3.（5分）已知x,y滿足約束條件卜+3>0則z=x+2y的最大值是（）

.《2

A.-3B.-1C.1D.3

4.（5分）已知cosx=2，則cos2x=（）

4

A.--B.—C.--D.—

4488

5.（5分）已知命題p：3R,x2-x+1^0.命題q：若a2Vb則aVb,下

列命題為真命題的是（）

A.pAqB.p/\「qC.「pAqD.A-'q

6.（5分）若執(zhí)行右側(cè)的程序框圖，當(dāng)輸入的x的值為4時(shí)，輸出的y的值為2,

則空白判斷框中的條件可能為（）

/輸此/

A.x>3B.x>4C.xW4D.xW5

7.（5分）函數(shù)y=\際in2x+cos2x的最小正周期為（）

A.—B.22Lc.nD.2n

23

8.（5分）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單

位：件）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為

（）

甲組乙組

659

25617y

x478

A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7

9.(5分)設(shè)f(x)0<"<1若f(a)=f(a+1),貝If(±)=()

(2(xT),x>la

A.2B.4C.6D.8

10.（5分）若函數(shù)exf（x）（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在f（x）的定義域

上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f（x）具有M性質(zhì)，下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是（）

A.f（x）=2xB.f（x）=x*12*4C.f（x）=3xD.f（x）=cosx

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分

11.（5分）已知向量于（2,6）,b=（-1,入），若a/b，則入=.

12.（5分）若直線三也l（a>0,b>0）過點(diǎn)（1,2）,則2a+b的最小值為.

13.（5分）由一個(gè)長方體和兩個(gè)L圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾

4

何體的體積為.

14.(5分)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+4)=f(x-2).若當(dāng)x

e[-3,0]時(shí)，f(x)=6X,則f(919)=

22

15.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線（a>0,b>0）的右支

2,2

ab

與焦點(diǎn)為F的拋物線x?=2py（p>0）交于A,B兩點(diǎn)，若|AF|+|BF|=4|OF|,則

該雙曲線的漸近線方程為.

三、解答題

16.（12分）某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家Ai，A2,A3和3個(gè)歐洲國家Bi，

B2,B3中選擇2個(gè)國家去旅游.

（工）若從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率；

（口）若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國家包括4但不包括

Bi的概率.

17.（12分）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=3,AB?AC=

-6,SMBC=3,求A和a.

18.（12分）由四棱柱ABCD-AiBiGDi截去三棱錐Ci-BiCDi后得到的幾何體如

圖所示，四邊形ABCD為正方形，。為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，AiE

_1_平面ABCD,

（工）證明：AiO〃平面BiCDi；

（口）設(shè)M是0D的中點(diǎn)，證明：平面AiEM_L平面BiCDi.

19.（12分）已知｛a。｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1+a2=6,aia2=a3.

（1）求數(shù)列｛aj通項(xiàng)公式；

（2）｛bn｝為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S2n.產(chǎn)bnbn.l，求數(shù)列

邑｝的前n項(xiàng)和Tn.

20.（13分）已知函數(shù)f（x）=ix3-Lax2,aGR,

32

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3,f（3））處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有

無極值，有極值時(shí)求出極值.

22

21.(14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：工+、1(a>b>0)的

bz

離心率為返，橢圓C截直線y=l所得線段的長度為2&.

2

(I)求橢圓C的方程；

(II)動(dòng)直線I：y=kx+m(m#0)交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N

是M關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)，ON的半徑為|NO設(shè)D為AB的中點(diǎn)，DE,DF與。N

分別相切于點(diǎn)E,F,求NEDF的最小值.

2017年山東省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)(2017?山東)設(shè)集合M={x|x-1|VI},N={x|xV2},則MDN=()

A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)

【考點(diǎn)】IK：真題集萃；IE：交集及其運(yùn)算.

【專題】11：計(jì)算題；5J：集合.

【分析】解不等式求出集合M,結(jié)合集合的交集運(yùn)算定義，可得答案.

【解答】解：集合M={x||x-1|<1}=(0,2),

N={x|x<2}=(-°°,2),

AMAN=(0,2),

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的解法，集合的交集運(yùn)算，難度不大,

屬于基礎(chǔ)題.

2.(5分)(2017?山東)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足zi=l+i,則z2=()

A.-2iB.2iC.-2D.2

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【專題】11：計(jì)算題；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】根據(jù)已知，求出z值，進(jìn)而可得答案.

【解答】解：???復(fù)數(shù)z滿足zi=l+i,

,z」+i=]-i,

i

z2=-2i,

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

x-2y+540

3.（5分）（2017?山東）已知x,y滿足約束條件,x+3>0則z=x+2y的最大值

,《2

是（）

A.-3B.-1C.1D.3

【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5T：不等式.

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解即可.

'x-2y+540

【解答】解：x,y滿足約束條件卜+3>0的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)

過可行域的A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，

由：[尸2解得A（-1,2）,

[x-2y+5=0

目標(biāo)函數(shù)的最大值為：-1+2*2=3.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解題的關(guān)鍵,

考查計(jì)算能力.

4.（5分）（2017?山東）已知cosx=3,則cos2x=（）

4

A.-LB.LC.-LD.L

4488

【考點(diǎn)】GT：二倍角的余弦.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；56：三角函數(shù)的求值.

【分析】利用倍角公式即可得出.

【解答】解：,根據(jù)余弦函數(shù)的倍角公式cos2x=2cos2x-1,且cosx=旦,

4

/.cos2x=2X盧）2_

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了倍角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2017?山東）已知命題p：3xGR,x2-x+1^0.命題q：若a2Vb2,

則aVb,下列命題為真命題的是（）

A.pAqB.pA-'qC."^pAqD.A

【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；2E：復(fù)合命題的真假.

【專題】2A：探究型；40：定義法；5L：簡易邏輯.

【分析】先判斷命題p,q的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表，可得答案.

【解答】解：命題p：2x=0GR,使x2-x+lN0成立.

故命題p為真命題；

當(dāng)a=l,b=-2時(shí)，a2Vb2成立，但aVb不成立，

故命題q為假命題，

故命題pAq,「pAq,均為假命題；

命題pA-1q為真命題，

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，特稱命題，不

等式與不等關(guān)系，難度中檔.

6.（5分）（2017?山東）若執(zhí)行右側(cè)的程序框圖，當(dāng)輸入的x的值為4時(shí)，輸出

的y的值為2,則空白判斷框中的條件可能為（）

A.x>3B.x>4C.xW4D.xW5

【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5K：算法和程序框圖.

【分析】方法一：由題意可知：輸出y=2,則由y=log2X輸出，需要x>4,則判

斷框中的條件是x>4,

方法二：采用排除法，分別進(jìn)行模擬運(yùn)算，即可求得答案.

【解答】解：方法一：當(dāng)x=4,輸出y=2,則由y=log2X輸出，需要x>4,

故選B.

方法二：若空白判斷框中的條件x>3,輸入x=4,滿足4>3,輸出y=4+2=6,不

滿足，故A錯(cuò)誤，

若空白判斷框中的條件x>4,輸入x=4,滿足4=4,不滿足x>3,輸出y=y=log24=2,

故B正確；

若空白判斷框中的條件xW4,輸入x=4,滿足4=4,滿足x<4,輸出y=4+2=6,

不滿足，故C錯(cuò)誤，

若空白判斷框中的條件xW5,輸入x=4,滿足4W5,滿足xW5,輸出y=4+2=6,

不滿足，故D錯(cuò)誤，

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查程序框圖的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2017?山東）函數(shù)y=J55in2x+cos2x的最小正周期為（）

A.—B..22Lc.nD.2R

23

【考點(diǎn)】Hl：三角函數(shù)的周期性及其求法.

【專題】11：計(jì)算題；40：定義法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】利用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)3值，可得函數(shù)的周

期.

【解答】解：Vy=-/3sin2x+cos2x=2sin（2x+—）,

6

Vu）=2,

??T=n，

故選：c

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的周期性及其求法，難度不大，屬于基礎(chǔ)

題.

8.（5分）（2017?山東）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的

產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和

y的值分別為（）

甲組乙組

659

25617y

x478

A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7

【考點(diǎn)】BA：莖葉圖.

【專題】11：計(jì)算題；27:圖表型；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】由已知有中這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，可得x,y的

值.

【解答】解：由已知中甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65,

故乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)也為65,

即y=5,

則乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：66,

故x=3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是莖葉圖，平均數(shù)和中位數(shù)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

9.(5分)(2017?山東)設(shè)f(x)=[?'°<,<1若f(a)=f(a+1),貝Uf(L)

[2(x-l),x〉la

=()

A.2B.4C.6D.8

【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用；3T：函數(shù)的值.

【專題】11：計(jì)算題；56：三角函數(shù)的求值；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】利用已知條件，求出a的值，然后求解所求的表達(dá)式的值即可.

【解答】解：當(dāng)時(shí)，』人‘°<X<1,若

ae(0,1)f(x)f(a)=f(a+1),

[2(x-l),x>l

可得后2a,

解得a=L則:f(1)=f(4)=2(4-1)=6.

4a

當(dāng)aW[l,+8)時(shí).f(x)=[4'0<X<1,若f(a)=f(a+1),

(2(x-l),x》l

可得2(a-1)=2a,顯然無解.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

10.(5分)(2017?山東)若函數(shù)exf(x)(e=2.71828...是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f

(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)，下列函數(shù)中具有M性

質(zhì)的是()

A.f(x)=2xB.f(x)=x2C.f(x)=3xD.f(x)=cosx

【考點(diǎn)】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).

【專題】2A：探究型；40：定義法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)已知中函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)的定義，可得f(x)=2x時(shí)，滿足

定義.

【解答】解：當(dāng)f(x)=2x時(shí)，函數(shù)exf(x)=(且)x在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f

2

（x）具有M性質(zhì)，

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分

11.（5分）（2017?山東）已知向量星（2,6）,fe=（-1,入），若Z//E，則入=

-3

【考點(diǎn)】96：平行向量與共線向量.

【專題】34：方程思想；5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】利用向量共線定理即可得出.

【解答】解：aIIb，-6-2入=0,解得入=-3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量共線定理，考查了推理能力語音計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.（5分）（2017?山東）若直線三中1（a>0,b>0）過點(diǎn)（1,2）,則2a+b

的最小值為8.

【考點(diǎn)】7F：基本不等式.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；59：不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】將（1，2）代入直線方程，求得上+區(qū)1,利用“1”代換，根據(jù)基本不等

ab

式的性質(zhì)，即可求得2a+b的最小值.

【解答】解：直線三聲1（a>0,b>0）過點(diǎn)（1,2）,則上+21,

abab

由2a+b=（2a+b）X（L+2）=2+絲+且+2=4+絲+旦24+2但:W=4+4=8,

abbabayba

當(dāng)且僅當(dāng)班卜，即2=上，b=i時(shí)，取等號(hào)，

ba2

/.2a+b的最小值為8,

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查"1"代換，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

13.(5分)(2017?山東)由一個(gè)長方體和兩個(gè)工圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖

【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5Q：立體幾何.

【分析】由三視圖可知：長方體長為2,寬為1,高為1,圓柱的底面半徑為1,

高為1圓柱的工，根據(jù)長方體及圓柱的體積公式，即可求得幾何體的體積.

4

【解答】解：由長方體長為2,寬為1,高為1,則長方體的體積Vi=2XIX1=2,

圓柱的底面半徑為1,高為1,則圓柱的體積V2=LXTIX12><I=2L,

44

則該幾何體的體積V=VI+2VI=2+2L,

2

故答案為：2+2L.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用三視圖求幾何體的體積，考查長方體及圓柱的體積公式,

考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.(5分)(2017?山東)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+4)=f(x

-2).若當(dāng)xG[-3,0]時(shí)，f(x)=6X,則f(919)=6.

【考點(diǎn)】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì).

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由題意可知：(x+6)=f(x),函數(shù)的周期性可知：f(x)周期為6,則f

(919)=f(153X6+1)=f(1),由f(x)為偶函數(shù),則f(1)=f(-1),即可求

得答案.

【解答】解:由f(x+4)=f(x-2).則f(x+6)=f(x),

Af(x)為周期為6的周期函數(shù)，

f(919)=f(153X6+1)=f(1),

由f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則f(1)=f(-1),

當(dāng)xG[-3,0]時(shí)，f(x)=6X,

f(-1)=611=6>

Af(919)=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的周期性及奇偶性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

22

15.(5分)(2017?山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線--心1(a>0,

a

b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn)，若

|AF|+|BF|=4|0F|,則該雙曲線的漸近線方程為v=土返x.

2-

【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡單性質(zhì)；KC：雙曲線的簡單性質(zhì).

【專題】34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

22

【分析】把代入雙曲線^--匕=可得：22

x2=2py(p>0)1(a>0,b>0),ay-

a2b2

2Pb2y+a2b2=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線的定義及其性質(zhì)即可得出.

22

【解答】解：把x2=2py(p>0)代入雙曲線^--(a>0,b>0),

a2b,2

可得：a2y2-2Pb2y+a2b2=0,

，yA+yB=-P->

a

V|AF|+BF|=41OFI，AYA+YB+2X^-=4XP.,

22

?2Pb2

-------2-P'

a

.b_'./2

??L-'...

a2

該雙曲線的漸近線方程為：y=±VL.

_2

故答案為：y=±Y^x.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程定義及其性質(zhì)、一元二次方程的

根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

三、解答題

16.（12分）（2017?山東）某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家Ai，A2,A3和3個(gè)

歐洲國家Bi，B2,B3中選擇2個(gè)國家去旅游.

（I）若從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率；

（II）若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國家包括Ai但不包括

Bi的概率.

【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】11：計(jì)算題；37：集合思想；40：定義法；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】（I）從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，基本事件總數(shù)廿區(qū)=15,這2個(gè)國家

都是亞洲國家包含的基本事件個(gè)數(shù)m=c2=3,由此能求出這2個(gè)國家都是亞洲國

家的概率.

（口）從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，利用列舉法能求出這2個(gè)國家包括

Ai但不包括Bi的概率.

【解答】解：（I）某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家Ai，A2,A3和3個(gè)歐洲國

家Bi，B2，B3中選擇2個(gè)國家去旅游.

從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，基本事件總數(shù)n=c2=15,

這2個(gè)國家都是亞洲國家包含的基本事件個(gè)數(shù)m=c2=3，

.?.這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率

n155

（n）從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，包含的基本事件個(gè)數(shù)為9個(gè)，分別

為：

(Ai,Bi),(Ai,B2),(Ai,B3),(A2,Bi),(A2,B2),

(A2，B3),(A3，Bi),(A3，B2),(A3，B3),

這2個(gè)國家包括Ai但不包括Bi包含的基本事件有：（Ai，B2）,（Ai，B3）,共2

個(gè)，

.?.這2個(gè)國家包括Ai但不包括Bi的概率P=l.

9

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，涉及到古典概型、排列、組合、列舉舉等知識(shí)點(diǎn),

考查運(yùn)算求解能力，考查集合思想，是基礎(chǔ)題.

17.（12分）（2017?山東）在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已

知b=3,AB,AC=_6,SAABC=3,求A和a.

【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形；5A：

平面向量及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積和三角形的面積公式可得tanA=-1,求出A和c的

值，再根據(jù)余弦定理即可求出a.

【解答】解：由AB?AC=-6可得bccosA=-6,①，

由三角形的面積公式可得SzxABc=LbcsinA=3,②

2

??tanA-—1,

V0<A<180°,

/.A=135O,

；.c=—^-2、反

3X半

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=9+8+12=29

a=V29

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積公式和三角形的面積公式和余弦定理，考查了

學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題

18.（12分）（2017?山東）由四棱柱ABCD-A1BGD1截去三棱錐J-BiCDi后得

到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為正方形，。為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD

的中點(diǎn)，AiE_L平面ABCD,

(I)證明：AiO〃平面BiCDi；

(II)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面AiEM_L平面BiCDi.

【考點(diǎn)】LY：平面與平面垂直的判定；LS：直線與平面平行的判定.

【專題】14:證明題；31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距

離.

【分析】(I)取BiDi中點(diǎn)G,連結(jié)AiG、CG,推導(dǎo)出AiG力0C,從而四邊形OCGAi

是平行四邊形，進(jìn)而AiO〃CG,由此能證明AiO〃平面BiCDi.

(□)推導(dǎo)出BD±AiE,AO±BD,EM_LBD,從而BD_L平面AiEM,再由BD/ZBiDi,

得BiDi_L平面AiEM,由此能證明平面AiEMl.平面BiCDi.

【解答】證明：(I)取BiDi中點(diǎn)G,連結(jié)AiG、CG,

?四邊形ABCD為正方形，。為AC與BD的交點(diǎn)，

二四棱柱ABCD-AiBiGDi截去三棱錐Ci-BiCDi后，AiGROC,

二四邊形OCGAi是平行四邊形，，AQ〃CG,

?.,A106平面BiCDi，CGc平面BiCDi，

，AiO〃平面BiCDi.

(II)四棱柱ABCD-AiBiJDi截去三棱錐Ci-BiCDi后，BD"BR,

?.?M是0D的中點(diǎn)，。為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，AiE,平面ABCD,

又BDc平面ABCD,/.BD±AiE,

???四邊形ABCD為正方形，。為AC與BD的交點(diǎn)，

.'.AO1BD,

?.?M是0D的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，AEMIBD,

VAiEnEM=E,...BD-L平面AiEM,

VBD/ZBiDi，平面AiEM,

VBiDiC平面BiCDi，

，平面AiEM_L平面BiCDi.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，涉及到空間中線線、

線面、面面間的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處

理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

19.（12分）（2017?山東）已知｛a。｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，旦ai+a2=6,

3182=33?

（1）求數(shù)列｛an｝通項(xiàng)公式；

（2）｛bn｝為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S2ml=bnbn，l，求數(shù)列

邑｝的前n項(xiàng)和Tn.

3n

【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式；8E：數(shù)列的求和.

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49；綜合法；54；等差數(shù)列與等比數(shù)

列.

【分析】（1）通過首項(xiàng)和公比，聯(lián)立ai+a2=6、aia2=a3?可求出ai=q=2,進(jìn)而利

用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論；

（2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知s2n.i=（2n+l）bmi，結(jié)合S2n.i=bnbmi可知bn=2n+l,

進(jìn)而可知bn.=2n+l”利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論.

an2n

【解答】解:⑴記正項(xiàng)等比數(shù)列｛aj的公比為q,

因?yàn)?ai+a2=6,3132=33f

所以（1+q）ai=6,q2=q2ai，

解得:ai=q=2,

所以an=22

（2）因?yàn)椋鸼j為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，

所以Sn+1=(2n+l)bn(l，

乂因?yàn)镾zn+l二br)bn+l，

所以bn=2n+l,履=,勿+1,

an2n

所以17|=3?1+5,」~+...+(2n+l)

2222n

—Tn=3*-A_+5*-^—+...+(2n-1)?-L_+(2n+l)?—--，

222232n2n+1

兩式相減得：—Tn=3?—+2(.+_1_)-(2n+l)?—--，

23nn+1

222222

gp±Tn=3?l.+(UA_+A_+…+_A_)-(2n+l)<—L-,

222222?2“-12/1

i-vr

即Tn=3+l+L+L+L+...+—^—)-(2n+l)?_1_=3+―J-------(2n+l)?J-

222232n-22n1A2n

2

=5.2n+5

2n

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查錯(cuò)位相減

法，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

20.(13分)(2017?山東)已知函數(shù)f(x)=±x3-iax2,aWR,

32

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3))處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有

無極值，有極值時(shí)求出極值.

【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：

利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】15：綜合題；32：分類討論；4R：轉(zhuǎn)化法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3))處的

切線方程，

(2)先求導(dǎo)，再分類討論即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值

【解答】解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=1^3-X2,

3

Af(x)=x2-2x,

k=f(3)=9-6=3,f(3)=1x27-9=0,

3

曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3))處的切線方程y=3(x-3),即3x-y-9=0

(2)函數(shù)g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx=Aj<3-JLax2+(x-a)cosx-sinx,

32

.'.g'(x)=(x-a)(x-sinx),

令g，(x)=0,解得x=a,或x=0,

①若a>0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，g，(x)>0恒成立，故g(x)在(-8,o)上單調(diào)

遞增，

當(dāng)x>a時(shí)，g'(x)>0恒成立，故g(x)在(a,+°°)上單調(diào)遞增，

當(dāng)OVxVa時(shí)，gz(x)<0恒成立，故g(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，

.,.當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為g(a)=-la3-sina

6

當(dāng)x=0時(shí)，有極大值，極大值為g(0)=-a,

②若a<0時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，g，(x)>0恒成立，故g(x)在(-8,o)上單調(diào)

遞增，

當(dāng)x<a時(shí)，g'(x)>0恒成立，故g(x)在(-8,a)上單調(diào)遞增，

當(dāng)aVxVO時(shí)，gz(x)V0恒成立，故g(x)在(a,0)上單調(diào)遞減，

.,.當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為g(a)=-2-a3-sina

6

當(dāng)x=0時(shí)，有極小值，極小值為g(0)=-a

③當(dāng)a=0時(shí)，g'(x)=x(x+sinx),

當(dāng)x>0時(shí)，gz(x)>0恒成立，故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xVO時(shí)，gz(x)>0恒成立，故g(x)在(-8,o)上單調(diào)遞增，

Ag(x)在R上單調(diào)遞增，無極值.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系，關(guān)鍵

是分類討論，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題

22

2L(14分)(2017?山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：二+

2,2

ab

(a>b>0)的離心率為除，橢圓C截直線y=l所得線段的長度為2祀.

(I)求橢圓C的方程；

（II）動(dòng)直線I：y=kx+m（mWO）交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N

是M關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)，ON的半徑為|NO設(shè)D為AB的中點(diǎn)，DE,DF與。N

分別相切于點(diǎn)E,F,求NEDF的最小值.

【考點(diǎn)】KO：圓錐曲線的最值問題；K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【分析】（I）首先根據(jù)題中信息可得橢圓C過點(diǎn)（&,1）,然后結(jié)合離心率可

得橢圓方程；

（n）可將題目所求角度的最小值轉(zhuǎn)化為求角度正弦的最小值，結(jié)合題目信息可

求得D、N坐標(biāo)及ON半徑，進(jìn)而將DN長度表示出來，可求NEDF最小值.

【解答】解：（I）?橢圓C的離心率為返，

2

——,a*2=2b2,

a22乙

?.?橢圓C截直線y=l所得線段的長度為2a,

橢圓C過點(diǎn)（&,1）,

a2b2

/.b2=2,a2=4,

22

...橢圓C的方程為

42

（n）設(shè)A,B的橫坐標(biāo)為Xi，X2,

貝UA(xi，kxi+m),B(X2，kx2+m),D(—1-----y(x+x)+m),

212

聯(lián)立，可得(l+2k*2)*x2+4kmx+2m2-4=0,

y=kx+iri

Xi+X2=-,-馱」一,

l+2k2

AD(-2km,rn),

l+2k2l+2k2

VM(0,m),則N(0,-m),

AON的半徑為m|,

-2km)2..J.2m.l/4

5寸謂2)=2Vk+3k2+1

l+2kH2k

設(shè)NEDF=a,

9

■sin旦二典必=_______-_________J+2k乙

42

一2Vk+3k+l'

l+2k/

令y=L邈—,則y，J_^_,,

2Vk4+3k2+l2Vk4+3k2+l(k4+3k2+l)

當(dāng)k=0時(shí)，sin—得最小值，最小值為L.

22

AZEDF的最小值是60。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線的最值問題，重要的是能將角度的最小值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求

解.

考點(diǎn)卡片

1.交集及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A

AB.

符號(hào)語言：AAB={x|xGA,且xWB}.

AHB實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素.

當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交

集.

運(yùn)算形狀：

①ACB=BCA.②AC0=0.③ACA=A.④ACBUA,AABUB.⑤ACB=A=AUB.⑥

AAB=0,兩個(gè)集合沒有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧[u(APB)=(CuA)U

(CuB).

【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中："且"與"所有"的理解.不能

把"或"與"且"混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩

圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題.

2.真題集萃

【真題強(qiáng)化】

eg：1.從集合{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a,則使命題：“存在x

e(-3,3)使關(guān)于x的不等式x2+ax+2Vo有解”為真命題的概率是：()

解：令f(x)=x2+ax+2,?.,存在xe(-3,3)使關(guān)于x的不等式x?+ax+2Vo有

解，

故函數(shù)f(x)=x2+ax+2至少有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(-3,3)上，

‘△=a2-8>0

，△二a2-8>0-3<技<3

故有①<f(-3)f(3)<0，或②f(-3)>0

a>0f(-3)>0

a>0

解①可得a>AL解②可得2注Vavlk

33

把①②的解集取并集可得2&<a<+8,且aWlk

3

再由aG集合{1,2,3,4,5},可得a=3、4、5,共3個(gè)，而所有的a共有5

個(gè)，

故所求事件的概率為3,

5

故答案為2.

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要是對(duì)概念進(jìn)行了考察,重點(diǎn)考察了韋達(dá)定理的應(yīng)用和概率的表達(dá),

像這種集合采用枚舉法來表達(dá)，數(shù)據(jù)又比較少的題，一般的解法就是一一帶入然

后驗(yàn)證.

eg：2.命題甲：集合乂=a|1?2-21?+：1=0}為空集；命題乙：關(guān)于x的不等式x2+

(k-1)x+4>0的解集為R.若命題甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)k

的取值范圍是：—

解：?.?集合乂=僅|1?(2-21?+1=0}為空集,

當(dāng)k#0時(shí)，△=(-2k)2-4kV0,解得OVkVl,

當(dāng)k=0時(shí)，方程變?yōu)?=0,無解，滿足題意，

故可得0WkVI；

又???關(guān)于x的不等式x2+(k-1)x+4>0的解集為R,

(k-1)2-4X4VO,解得-3<k<5,

當(dāng)甲命題為真，乙命題為假時(shí)，可得

[0,1)C{(…，-3]U[5,+8)}=0,

當(dāng)甲命題為假，乙命題為真時(shí)，可得

{(-8,0)U[1,+8)}n(-3,5)=(-3,0)U[1,5),

故答案為：(-3,0)U[1,5)

點(diǎn)評(píng)：這其實(shí)是個(gè)綜合題，主要考察了一元二次函數(shù)根的求解和根與系數(shù)的關(guān)系

以及兩個(gè)命題的邏輯關(guān)系，這種問題個(gè)個(gè)擊破就可以了，先把一個(gè)命題的解求出

來，然后在看看兩個(gè)解之間的關(guān)系進(jìn)行綜合.

【解題方法點(diǎn)撥】

從這兩個(gè)例題當(dāng)中可以看出集合問題一般喜歡和一元二次函數(shù)或者邏輯關(guān)

系結(jié)合起來一起考，所以在復(fù)習(xí)這個(gè)章節(jié)的時(shí)候，必須對(duì)一元二次函數(shù)的基本性

質(zhì)和邏輯關(guān)系的一些基本概念同時(shí)復(fù)習(xí).

3.復(fù)合命題的真假

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

含有邏輯連接詞"或""且""非"的命題不一定是復(fù)合命題.若此命題的真假滿

足真值表，就是復(fù)合命題，否則就是簡單命題.邏輯中的"或""且""非"與日常用

語中的"或""且""非"含義不盡相同.判斷復(fù)合命題的真假要根據(jù)真值表來判

定.【解題方法點(diǎn)撥】

能判斷真假的、陳述句、反詰疑問句都是命題，而不能判斷真假的陳述句、

疑問句以及祈使句都不是命題.能判斷真假的不等式、集合運(yùn)算式也是命題.寫

命題p的否定形式，不能一概在關(guān)鍵詞前、力r不"，而要搞清一個(gè)命題研究的對(duì)

象是個(gè)體還是全體，如果研究的對(duì)象是個(gè)體，只須將"是"改成"不是"，將"不是"

改成"是"即可.如果命題研究的對(duì)象不是一個(gè)個(gè)體，就不能簡單地將"是"改成"不

是"，將"不是"改成"是"，而要分清命題是全稱命題還是存在性命題(所謂全稱命

題是指含有"所有""全部""任意"這一類全稱量訶的命題；所謂存在性命題是指含

有"某些""某個(gè)""至少有一個(gè)"這一類存在性量詞的命題，全稱命題的否定形式是

存在性命題，存在性命題的否定形式是全稱命題.因此，在表述一個(gè)命題的否定

形式的時(shí)候，不僅"是"與"不是"要發(fā)生變化，有關(guān)命題的關(guān)鍵詞也應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的

變化，常見關(guān)鍵詞及其否定形式附表如下：

4.命題的真假判斷與應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

判斷含有"或"、"且"、"非"的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真

假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假.

注意："非p"的正確寫法，本題不應(yīng)將"非p"寫成"方程x2-2x+l=0的兩根都不是

實(shí)根"，因?yàn)?都是"的反面是"不都是"，而不是"都不是"，要認(rèn)真區(qū)分.

【解題方法點(diǎn)撥】

1.判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中

簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假.

2.判斷一個(gè)“若p則q"形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方

法：若"pq",則"若p則q”為真；而要確定“若p則q"為假，只需舉出一個(gè)反

例說明即可.

3.判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真

同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷.

【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知

識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn).

5.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

所謂單調(diào)性一般說的是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，即在某個(gè)定義域內(nèi)，函數(shù)的

值域隨著自變量的增大而增大或者減小，那么我們就說這個(gè)函數(shù)具有單調(diào)性.它

是求函數(shù)值域或者比較大小的常用工具.

【解題方法點(diǎn)撥】

定義法、導(dǎo)數(shù)法、性質(zhì)法

①定義法：在滿足定義域的某區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)自變量的值XI、X2,當(dāng)X1VX2時(shí)都

有f（Xl）<f（X2）.那么就說f（X）在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).

②導(dǎo)數(shù)法：（當(dāng)函數(shù)在所考察區(qū)間內(nèi)可微（可導(dǎo)）時(shí)，才能利用導(dǎo)數(shù)研究它的單

調(diào)性）若f（x）>0則f（x）單調(diào)上升，則函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增（如果存在有限個(gè)

孤立的點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)為0仍為遞增函數(shù)）.

③性質(zhì)法：n個(gè)單調(diào)遞增（遞減）的函數(shù)的和仍為遞增（遞減）函數(shù)

【命題方向】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.

作為一個(gè)工具，凡是涉及到最值問題、大小比較問題都應(yīng)立馬聯(lián)想到它的

單調(diào)性，并對(duì)一般常見函數(shù)的單調(diào)性有清醒的認(rèn)識(shí)，這里面的一個(gè)擴(kuò)展是一些數(shù)

列問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)來求解.

6.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有f（-X）

=-f（X）,那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0,0）對(duì)稱.②

如果函數(shù)f（X）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有f（-X）

=f（X）,那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱.

【解題方法點(diǎn)撥】

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f(x)=-f(-X)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f(x)=f(-X)這個(gè)去求解；

④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相

反.

例題：函數(shù)y=x|x|+px,)

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶D.與p有關(guān)

解：由題設(shè)知f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

因?yàn)閒(-x)=-x|-x-px=-x|x|-px=-f(x),

所以f(x)是奇函數(shù).

故選B.

【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其

圖象一起分析，確保答題的正確率.

7.函數(shù)的值

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

函數(shù)不等同于方程，嚴(yán)格來說函數(shù)的值應(yīng)該說成是函數(shù)的值域.函數(shù)的值

域和定義域一樣，都是?？键c(diǎn)，也是易得分的點(diǎn).其概念為在某一個(gè)定義域內(nèi)因

變量的取值范圍.

【解題方法點(diǎn)撥】

求函數(shù)值域的方法比較多，常用的方法有一下幾種:

①基本不等式法:如當(dāng)x>0時(shí),求2x+2的最小值,有2X+髻2標(biāo)

X

②轉(zhuǎn)化法：如求|x-5|+|x-3|的最小值,那么可以看成是數(shù)軸上的點(diǎn)到x=5和

x=3的距離之和，易知最小值為2；

③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)的值最后進(jìn)行

比較

例題：求f(x)=lnx-x在(0,+°°)的