《隨機變量及其分布列（1）》示范公開課教學課件【高中數(shù)學蘇教版】

第八章概率隨機變量及其分布列（1）蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊1．通過具體實例，了解隨機變量、離散型隨機變量的概念．2．理解取有限值的離散型隨機變量的概率分布的概念，會求簡單的離散型隨機變量的概率分布．3．理解兩點分布(0-1分布)．理解離散型隨機變量及其分布列的概念，求解簡單離散型隨機變量的概率分布．從函數(shù)的角度理解隨機變量．為了督促各地做好環(huán)境保護工作，環(huán)保部門決定在34個省級行政區(qū)中，隨機抽取6個進行突擊檢查，抽取到的省級行政區(qū)只要有一個不同就認為是不同的試驗結(jié)果，記樣本空間為Ω.(1)Ω中包含的樣本點數(shù)目是多少？(2)設抽得的省級行政區(qū)中直轄市個數(shù)為X，那么對Ω中的每一個樣本點，X都有唯一確定的值嗎？X的取值是固定不變的嗎？如果不是，X可取的值有哪些？34個省級行政區(qū)隨機抽取6個

23個省4個直轄市5個自治區(qū)2個特別行政區(qū)每一個樣本點變量X的唯一取值不同的樣本點X=0,1,2,3,4X的取值可能不同X：抽得的省級行政區(qū)中直轄市個數(shù)(4)拋擲一枚硬幣，將試驗結(jié)果“正面向上”用1表示，“反面向上”用0表示；(5)抽查學生的某項體育測試成績，將成績登記為優(yōu)、良、中、及格、不及格，分別用數(shù)值5,4,3,2,1來表示．根據(jù)以上情境，試分析樣本點與實數(shù)之間是否存在對應關(guān)系？因為對每一個樣本點，變量X都可取實數(shù)0,1,2,3,4中的一個值，即樣本點與實數(shù)0,1,2,3,4之間存在某種對應關(guān)系，也即樣本空間與實數(shù)集之間存在某種對應．(1)在一塊地里種下10棵樹苗，用實數(shù)m(m＝0,1,2,…，10)表示“成活樹苗的棵數(shù)”；(2)拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數(shù)，樣本空間為Ω＝{(x,y)|x,y＝1,2,…，6}，用x＋y表示“兩顆骰子向上的點數(shù)之和”，那么樣本點(x,y)就與實數(shù)x＋y對應；(3)接聽一個電話，用t(t∈(0,＋∞))表示“通話時長”．樣本點可以直接用數(shù)值來表示樣本點與數(shù)值無直接關(guān)系，則為每個樣本點指定一個數(shù)值對于任何一個隨機試驗，總可以把它的每個樣本點與一個實數(shù)對應，這時我們可通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X，來建立樣本點和實數(shù)的對應關(guān)系，從而實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化．樣本點所對應的變量X的取值，是否有一定規(guī)律？由于隨機試驗中樣本點的出現(xiàn)具有隨機性，所以變量X的取值也具有隨機性．定義一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應，則稱X為隨機變量．通常用大寫英文字母X,Y,Z(或小寫希臘字母ξ，η，ζ)等表示隨機變量，而用小寫英文字母x,y,z(加上適當下標)等表示隨機變量的取值．用變量X表示成活樹苗的棵數(shù)，則X的可能取值為0,1,2,…，10，共11個．(1)在一塊地里種下10棵樹苗，用實數(shù)m(m＝0,1,2,…，10)表示“成活樹苗的棵數(shù)”例結(jié)合以上定義，隨你能嘗試從函數(shù)的角度來理解隨機變量嗎？定義一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應，則稱X為隨機變量．通常用大寫英文字母X,Y,Z(或小寫希臘字母ξ，η，ζ)等表示隨機變量，而用小寫英文字母x,y,z(加上適當下標)等表示隨機變量的取值．隨機變量的取值X(ω)隨著試驗結(jié)果(樣本點)ω的變化而變化，其取值依賴于樣本點，并且所有可能取值是明確的．隨機變量是建立在Ω到R的對應，這里的樣本點ω相當于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當于函數(shù)的定義域，不同的是Ω不一定是數(shù)集．下列變量中哪些是隨機變量？如果是隨機變量，那么可能的取值有哪些？(1)一個實驗箱中裝有標號為1,2,3,3,4的5只白鼠，從中任取1只，記取到的白鼠的標號為X；(2)明天的降雨量L(單位：mm)；(3)先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，正面向上的次數(shù)X.用H表示“正面向上”，T表示“反面向上”，則樣本空間為{HH,HT,TH,TT}．正面向上(即出現(xiàn)H)的次數(shù)X是隨機變量，取值是0,1,2.X是隨機變量，可能的取值是1,2,3,4.

觀察各隨機變量的取值有什么不同？像（1）（3）這種取值為離散的數(shù)值的隨機變量稱為離散型隨機變量．而像(2)中取值為連續(xù)的實數(shù)區(qū)間的這種隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量．引入隨機變量后，我們可以用隨機變量的不同取值代表不同的樣本點，那么由多個樣本點構(gòu)成的復雜的隨機事件又怎樣表示呢？不同的隨機事件，都可以用隨機變量的取值或取值范圍來表示．“取到1號白鼠”{X＝1}“取到1號或2號白鼠”{X＜3}(1)一個實驗箱中裝有標號為1,2,3,3,4的5只白鼠，從中任取1只，記取到的白鼠的標號為X；(2)明天的降雨量L(單位：mm)；X是隨機變量，可能的取值是1,2,3,4.

{50<L<100}“明天的降雨量L在50mm到100mm之間”“明天的降雨量超過100mm”{L>100}既然隨機事件可以用隨機變量表示，那么隨機事件發(fā)生的概率是否就可以用隨機變量的取值的概率來表示呢．擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，X表示擲出的點數(shù)，X的可能取值為1,2,3,4,5,6，事件“擲出5點”可以表示為{X＝5}事件“擲出的點數(shù)不大于3”可以表示為{X≤3}事件“擲出奇數(shù)點”可以表示為{X＝1}∪{X＝3}∪{X＝5}

X123456P用表格表示為一般地，隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x1,x2,…，xn，且P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…，n，①則稱①為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．也可以將①用下表的形式來表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn我們將此表稱為隨機變量X的概率分布表．它和①都叫作隨機變量X的概率分布．隨機變量的概率分布不僅能清楚地反映隨機變量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一個值的概率的大小，從而反映了隨機變量在隨機試驗中取值的分布情況，是進一步研究隨機變量的數(shù)字特征(均值、方差)的基礎．定義一般地，隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x1,x2,…，xn，且P(X＝xi)＝pii＝1,2,…，n，①則稱①為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．也可以將①用下表的形式來表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn我們將此表稱為隨機變量X的概率分布表．它和①都叫作隨機變量X的概率分布．定義隨機變量的概率分布給出了隨機試驗所有基本事件對應的概率，試結(jié)合概率的基本性質(zhì)，寫出這里pi滿足的條件．①pi≥0;②p1＋p2＋

…

＋pn＝1.離散型隨機變量的概率分布的兩個性質(zhì)(1)檢查寫出的分布列是否正確；(2)在求分布列中的某些參數(shù)時，可以利用其概率和為1這一條件列出方程求出參數(shù)．應用寫出下列隨機變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)袋中有大小相同的10個紅球和5個白球，從袋中每次任取1個球，

取后不放回，

直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)．(2)從分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取2張卡片上數(shù)字之和．認真讀題、理解題意，正確寫出隨機變量可能的取值．解：(1)設所需要的取球次數(shù)為X，則X＝1,2,3,4,…，10,11.X＝i表示前(i－1)次取到的均是紅球，

第i次取到白球，

這里i＝1,2,3,4,…，11.(2)設所取2張卡片上的數(shù)字之和為X，則X＝3,4,5,…，11.X＝3，表示“取出標有數(shù)字1,2的兩張卡片”；X＝4，表示“取出標有數(shù)字1,3的兩張卡片”；X＝5，表示“取出標有數(shù)字2,3或1,4的兩張卡片”；寫出下列隨機變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)袋中有大小相同的10個紅球和5個白球，從袋中每次任取1個球，

取后不放回，

直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)．(2)從分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取2張卡片上數(shù)字之和．認真讀題、理解題意，正確寫出隨機變量可能的取值．X＝6，表示“取出標有數(shù)字2,4或1,5的兩張卡片”；X＝7，表示“取出標有數(shù)字3,4或2,5或1,6的兩張卡片”；X＝8，表示“取出標有數(shù)字2,6或3,5的兩張卡片”；X＝9，表示“取出標有數(shù)字3,6或4,5的兩張卡片”；X＝10，表示“取出標有數(shù)字4,6的兩張卡片”；X＝11,表示“取出標有數(shù)字5,6的兩張卡片”．關(guān)鍵：明確隨機變量的所有可能取值，以及取每一個值對應的意義，即一個隨機變量的取值對應一個或多個隨機試驗的結(jié)果(樣本點)．注意：解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設正面向上的次數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布．解：用H表示“正面向上”，T表示“反面向上”，可得右圖：故隨機變量X的概率分布如下表：X012P根據(jù)以上舉例，你可以嘗試總結(jié)一下求離散型隨機變量分布列的基本步驟嗎？①確定X的可能取值xi(i＝1,2,…，n)，以及取每個值表示的意義；②求出相應的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,…，n)；③列成表格的形式．求離散型隨機變量分布列的基本步驟

故隨機變量X的概率分布如下表所示：X01P隨機變量X只取兩個可能值0和1本題中隨機變量的取值有什么特點？0-1分布、兩點分布X～0-1分布、X～兩點分布X01P下列敘述的量中，是離散型隨機變量的為(

)A.將一枚均勻硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B.某人早晨在車站等出租車的時間C.連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)D.袋中有2個黑球和6個紅球，任取2個，取得一個紅球的可能性選項A，擲硬幣不是正面向上就是反面向上，次數(shù)之和為5，是常量；選項B，是隨機變量，但不能一一列出，不是離散型隨機變量；選項C，是隨機變量，其取值為1,2,3,…，所以是離散型隨機變量；選項D，事件發(fā)生的可能性不是隨機變量．

故答案為C．C袋中有大小相同的6個紅球和5個白球，從袋中每次任意取出一個球(取出的球不放回)，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為(

)A.1,2,…，6B.1,2,…，

7C.1,2,…，11 D.1,2,3,…可能第一次就取到白球，也可能把6個紅球都取完后，才取得白球，故X的可能取值為1,2,3,4,5,6,7.故答案為B．B盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色3種小球，已知紅球個數(shù)是綠球個數(shù)的兩倍，黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半．現(xiàn)從該盒中隨機取出1個球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得－1分，試寫出從該盒中取出1個球所得分數(shù)ξ的分布列．解：設黃球的個數(shù)為n，則綠球的個數(shù)為2n，紅球的個數(shù)為4n，盒中小球的總個數(shù)為7n.

故從該盒中取出1個球所得分數(shù)ξ的分布列為：ξ10P隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量的概率分布性質(zhì)隨機試驗隨機事件隨