《隨機(jī)變量及其分布列（1）》示范公開(kāi)課教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)蘇教版】

第八章概率隨機(jī)變量及其分布列（1）蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)1．通過(guò)具體實(shí)例，了解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的概念．2．理解取有限值的離散型隨機(jī)變量的概率分布的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的概率分布．3．理解兩點(diǎn)分布(0-1分布)．理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，求解簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的概率分布．從函數(shù)的角度理解隨機(jī)變量．為了督促各地做好環(huán)境保護(hù)工作，環(huán)保部門決定在34個(gè)省級(jí)行政區(qū)中，隨機(jī)抽取6個(gè)進(jìn)行突擊檢查，抽取到的省級(jí)行政區(qū)只要有一個(gè)不同就認(rèn)為是不同的試驗(yàn)結(jié)果，記樣本空間為Ω.(1)Ω中包含的樣本點(diǎn)數(shù)目是多少？(2)設(shè)抽得的省級(jí)行政區(qū)中直轄市個(gè)數(shù)為X，那么對(duì)Ω中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，X都有唯一確定的值嗎？X的取值是固定不變的嗎？如果不是，X可取的值有哪些？34個(gè)省級(jí)行政區(qū)隨機(jī)抽取6個(gè)

23個(gè)省4個(gè)直轄市5個(gè)自治區(qū)2個(gè)特別行政區(qū)每一個(gè)樣本點(diǎn)變量X的唯一取值不同的樣本點(diǎn)X=0,1,2,3,4X的取值可能不同X：抽得的省級(jí)行政區(qū)中直轄市個(gè)數(shù)(4)拋擲一枚硬幣，將試驗(yàn)結(jié)果“正面向上”用1表示，“反面向上”用0表示；(5)抽查學(xué)生的某項(xiàng)體育測(cè)試成績(jī)，將成績(jī)登記為優(yōu)、良、中、及格、不及格，分別用數(shù)值5,4,3,2,1來(lái)表示．根據(jù)以上情境，試分析樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間是否存在對(duì)應(yīng)關(guān)系？因?yàn)閷?duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)，變量X都可取實(shí)數(shù)0,1,2,3,4中的一個(gè)值，即樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)0,1,2,3,4之間存在某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，也即樣本空間與實(shí)數(shù)集之間存在某種對(duì)應(yīng)．(1)在一塊地里種下10棵樹(shù)苗，用實(shí)數(shù)m(m＝0,1,2,…，10)表示“成活樹(shù)苗的棵數(shù)”；(2)拋擲兩顆骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，樣本空間為Ω＝{(x,y)|x,y＝1,2,…，6}，用x＋y表示“兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和”，那么樣本點(diǎn)(x,y)就與實(shí)數(shù)x＋y對(duì)應(yīng)；(3)接聽(tīng)一個(gè)電話，用t(t∈(0,＋∞))表示“通話時(shí)長(zhǎng)”．樣本點(diǎn)可以直接用數(shù)值來(lái)表示樣本點(diǎn)與數(shù)值無(wú)直接關(guān)系，則為每個(gè)樣本點(diǎn)指定一個(gè)數(shù)值對(duì)于任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，總可以把它的每個(gè)樣本點(diǎn)與一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)，這時(shí)我們可通過(guò)引入一個(gè)取值依賴于樣本點(diǎn)的變量X，來(lái)建立樣本點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)樣本點(diǎn)的數(shù)量化．樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的變量X的取值，是否有一定規(guī)律？由于隨機(jī)試驗(yàn)中樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有隨機(jī)性，所以變量X的取值也具有隨機(jī)性．定義一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，則稱X為隨機(jī)變量．通常用大寫(xiě)英文字母X,Y,Z(或小寫(xiě)希臘字母ξ，η，ζ)等表示隨機(jī)變量，而用小寫(xiě)英文字母x,y,z(加上適當(dāng)下標(biāo))等表示隨機(jī)變量的取值．用變量X表示成活樹(shù)苗的棵數(shù)，則X的可能取值為0,1,2,…，10，共11個(gè)．(1)在一塊地里種下10棵樹(shù)苗，用實(shí)數(shù)m(m＝0,1,2,…，10)表示“成活樹(shù)苗的棵數(shù)”例結(jié)合以上定義，隨你能嘗試從函數(shù)的角度來(lái)理解隨機(jī)變量嗎？定義一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，則稱X為隨機(jī)變量．通常用大寫(xiě)英文字母X,Y,Z(或小寫(xiě)希臘字母ξ，η，ζ)等表示隨機(jī)變量，而用小寫(xiě)英文字母x,y,z(加上適當(dāng)下標(biāo))等表示隨機(jī)變量的取值．隨機(jī)變量的取值X(ω)隨著試驗(yàn)結(jié)果(樣本點(diǎn))ω的變化而變化，其取值依賴于樣本點(diǎn)，并且所有可能取值是明確的．隨機(jī)變量是建立在Ω到R的對(duì)應(yīng)，這里的樣本點(diǎn)ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同的是Ω不一定是數(shù)集．下列變量中哪些是隨機(jī)變量？如果是隨機(jī)變量，那么可能的取值有哪些？(1)一個(gè)實(shí)驗(yàn)箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,3,4的5只白鼠，從中任取1只，記取到的白鼠的標(biāo)號(hào)為X；(2)明天的降雨量L(單位：mm)；(3)先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，正面向上的次數(shù)X.用H表示“正面向上”，T表示“反面向上”，則樣本空間為{HH,HT,TH,TT}．正面向上(即出現(xiàn)H)的次數(shù)X是隨機(jī)變量，取值是0,1,2.X是隨機(jī)變量，可能的取值是1,2,3,4.

觀察各隨機(jī)變量的取值有什么不同？像（1）（3）這種取值為離散的數(shù)值的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．而像(2)中取值為連續(xù)的實(shí)數(shù)區(qū)間的這種隨機(jī)變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量．引入隨機(jī)變量后，我們可以用隨機(jī)變量的不同取值代表不同的樣本點(diǎn)，那么由多個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)雜的隨機(jī)事件又怎樣表示呢？不同的隨機(jī)事件，都可以用隨機(jī)變量的取值或取值范圍來(lái)表示．“取到1號(hào)白鼠”{X＝1}“取到1號(hào)或2號(hào)白鼠”{X＜3}(1)一個(gè)實(shí)驗(yàn)箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,3,4的5只白鼠，從中任取1只，記取到的白鼠的標(biāo)號(hào)為X；(2)明天的降雨量L(單位：mm)；X是隨機(jī)變量，可能的取值是1,2,3,4.

{50<L<100}“明天的降雨量L在50mm到100mm之間”“明天的降雨量超過(guò)100mm”{L>100}既然隨機(jī)事件可以用隨機(jī)變量表示，那么隨機(jī)事件發(fā)生的概率是否就可以用隨機(jī)變量的取值的概率來(lái)表示呢．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，X表示擲出的點(diǎn)數(shù)，X的可能取值為1,2,3,4,5,6，事件“擲出5點(diǎn)”可以表示為{X＝5}事件“擲出的點(diǎn)數(shù)不大于3”可以表示為{X≤3}事件“擲出奇數(shù)點(diǎn)”可以表示為{X＝1}∪{X＝3}∪{X＝5}

X123456P用表格表示為一般地，隨機(jī)變量X有n個(gè)不同的取值，它們分別是x1,x2,…，xn，且P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…，n，①則稱①為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列．也可以將①用下表的形式來(lái)表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn我們將此表稱為隨機(jī)變量X的概率分布表．它和①都叫作隨機(jī)變量X的概率分布．隨機(jī)變量的概率分布不僅能清楚地反映隨機(jī)變量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一個(gè)值的概率的大小，從而反映了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況，是進(jìn)一步研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征(均值、方差)的基礎(chǔ)．定義一般地，隨機(jī)變量X有n個(gè)不同的取值，它們分別是x1,x2,…，xn，且P(X＝xi)＝pii＝1,2,…，n，①則稱①為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列．也可以將①用下表的形式來(lái)表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn我們將此表稱為隨機(jī)變量X的概率分布表．它和①都叫作隨機(jī)變量X的概率分布．定義隨機(jī)變量的概率分布給出了隨機(jī)試驗(yàn)所有基本事件對(duì)應(yīng)的概率，試結(jié)合概率的基本性質(zhì)，寫(xiě)出這里pi滿足的條件．①pi≥0;②p1＋p2＋

…

＋pn＝1.離散型隨機(jī)變量的概率分布的兩個(gè)性質(zhì)(1)檢查寫(xiě)出的分布列是否正確；(2)在求分布列中的某些參數(shù)時(shí)，可以利用其概率和為1這一條件列出方程求出參數(shù)．應(yīng)用寫(xiě)出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)袋中有大小相同的10個(gè)紅球和5個(gè)白球，從袋中每次任取1個(gè)球，

取后不放回，

直到取出的球是白球?yàn)橹?，所需要的取球次?shù)．(2)從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取2張卡片上數(shù)字之和．認(rèn)真讀題、理解題意，正確寫(xiě)出隨機(jī)變量可能的取值．解：(1)設(shè)所需要的取球次數(shù)為X，則X＝1,2,3,4,…，10,11.X＝i表示前(i－1)次取到的均是紅球，

第i次取到白球，

這里i＝1,2,3,4,…，11.(2)設(shè)所取2張卡片上的數(shù)字之和為X，則X＝3,4,5,…，11.X＝3，表示“取出標(biāo)有數(shù)字1,2的兩張卡片”；X＝4，表示“取出標(biāo)有數(shù)字1,3的兩張卡片”；X＝5，表示“取出標(biāo)有數(shù)字2,3或1,4的兩張卡片”；寫(xiě)出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)袋中有大小相同的10個(gè)紅球和5個(gè)白球，從袋中每次任取1個(gè)球，

取后不放回，

直到取出的球是白球?yàn)橹?，所需要的取球次?shù)．(2)從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取2張卡片上數(shù)字之和．認(rèn)真讀題、理解題意，正確寫(xiě)出隨機(jī)變量可能的取值．X＝6，表示“取出標(biāo)有數(shù)字2,4或1,5的兩張卡片”；X＝7，表示“取出標(biāo)有數(shù)字3,4或2,5或1,6的兩張卡片”；X＝8，表示“取出標(biāo)有數(shù)字2,6或3,5的兩張卡片”；X＝9，表示“取出標(biāo)有數(shù)字3,6或4,5的兩張卡片”；X＝10，表示“取出標(biāo)有數(shù)字4,6的兩張卡片”；X＝11,表示“取出標(biāo)有數(shù)字5,6的兩張卡片”．關(guān)鍵：明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果(樣本點(diǎn))．注意：解答過(guò)程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設(shè)正面向上的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布．解：用H表示“正面向上”，T表示“反面向上”，可得右圖：故隨機(jī)變量X的概率分布如下表：X012P根據(jù)以上舉例，你可以嘗試總結(jié)一下求離散型隨機(jī)變量分布列的基本步驟嗎？①確定X的可能取值xi(i＝1,2,…，n)，以及取每個(gè)值表示的意義；②求出相應(yīng)的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,…，n)；③列成表格的形式．求離散型隨機(jī)變量分布列的基本步驟

故隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示：X01P隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值0和1本題中隨機(jī)變量的取值有什么特點(diǎn)？0-1分布、兩點(diǎn)分布X～0-1分布、X～兩點(diǎn)分布X01P下列敘述的量中，是離散型隨機(jī)變量的為(

)A.將一枚均勻硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B.某人早晨在車站等出租車的時(shí)間C.連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D.袋中有2個(gè)黑球和6個(gè)紅球，任取2個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性選項(xiàng)A，擲硬幣不是正面向上就是反面向上，次數(shù)之和為5，是常量；選項(xiàng)B，是隨機(jī)變量，但不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量；選項(xiàng)C，是隨機(jī)變量，其取值為1,2,3,…，所以是離散型隨機(jī)變量；選項(xiàng)D，事件發(fā)生的可能性不是隨機(jī)變量．

故答案為C．C袋中有大小相同的6個(gè)紅球和5個(gè)白球，從袋中每次任意取出一個(gè)球(取出的球不放回)，直到取出的球是白球?yàn)橹梗枰娜∏虼螖?shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為(

)A.1,2,…，6B.1,2,…，

7C.1,2,…，11 D.1,2,3,…可能第一次就取到白球，也可能把6個(gè)紅球都取完后，才取得白球，故X的可能取值為1,2,3,4,5,6,7.故答案為B．B盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色3種小球，已知紅球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的兩倍，黃球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的一半．現(xiàn)從該盒中隨機(jī)取出1個(gè)球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得－1分，試寫(xiě)出從該盒中取出1個(gè)球所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列．解：設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為n，則綠球的個(gè)數(shù)為2n，紅球的個(gè)數(shù)為4n，盒中小球的總個(gè)數(shù)為7n.

故從該盒中取出1個(gè)球所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列為：ξ10P隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的概率分布性質(zhì)隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)事件隨