幾何造型的教案

幾何造型的教案第1頁(yè)/共116頁(yè)考慮直線段P0(x0,y0,z0)→P1(x1,y1,z1)

參數(shù)表示分量表示參數(shù)空間：參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理：直線段

第2頁(yè)/共116頁(yè)參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理：直線段直線段參數(shù)表示的直觀幾何意義參數(shù)空間中每一個(gè)參數(shù)(點(diǎn))都對(duì)應(yīng)于直線段上一個(gè)點(diǎn)參數(shù)空間的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)于直線段的兩個(gè)端點(diǎn)

第3頁(yè)/共116頁(yè)一般三維參數(shù)曲線形式：參數(shù)空間中每一個(gè)t對(duì)應(yīng)于曲線上一個(gè)點(diǎn)R(t)

圖形學(xué)中，參數(shù)空間通常是有限區(qū)間，此時(shí)參數(shù)曲線稱為參數(shù)曲線段圖形學(xué)中，參數(shù)函數(shù)通常為分段多項(xiàng)式或有理多項(xiàng)式曲線參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理：曲線第4頁(yè)/共116頁(yè)參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理：平面雙線性四邊面片：

(u,v)∈[0,1]×[0,1]四邊面片的四個(gè)頂點(diǎn)P0、P1、P2和P3對(duì)應(yīng)于參數(shù)曲面的四個(gè)角點(diǎn)R(0,0)、R(1,0)、R(1,0)和R(1,1)

第5頁(yè)/共116頁(yè)曲面參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理雙線性四邊面片第6頁(yè)/共116頁(yè)一般形式的空間參數(shù)曲面參數(shù)空間中每一點(diǎn)(u,v)對(duì)應(yīng)于曲面上一點(diǎn)R(u,v)如果曲面的參數(shù)空間是一個(gè)有限的定義域(如矩形)，則對(duì)應(yīng)的參數(shù)曲面稱為參數(shù)曲面片圖形學(xué)中常用的參數(shù)曲面為張量積分片多項(xiàng)式或有理多項(xiàng)式參數(shù)曲面參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理：曲面第7頁(yè)/共116頁(yè)參數(shù)表示的優(yōu)勢(shì)參數(shù)表示是顯式的對(duì)每一個(gè)參數(shù)值，可以直接計(jì)算曲面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)參數(shù)表示的物體可以方便地轉(zhuǎn)化為多邊形逼近表示曲面上的幾何量計(jì)算簡(jiǎn)便(微分幾何)：法向、曲率、測(cè)地線、曲率線等特殊形式的參數(shù)表示的外形控制十分直觀Bézier、B-樣條、NURBS(Non-UniformRationalB-Spline,非均勻有理B-樣條)曲線/曲面。第8頁(yè)/共116頁(yè)內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線Bézier曲線B-樣條曲線NURBS曲線參數(shù)曲面第9頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲線PierreBézier(1910.9.1-1999.11.25)發(fā)音：[BEHzeeeh]Bézier曲線第10頁(yè)/共116頁(yè)一條n次Bézier曲線： 多項(xiàng)式{Bi,n(t)}稱為Bernstein基函數(shù)：Bézier曲線定義

第11頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲線性質(zhì)端點(diǎn)插值： R(0)=R0

R(1)=Rn端點(diǎn)切向：R(0)=n(R1?R0)R(1)=n(Rn?Rn-1)

對(duì)稱性： ∑iRn-iBi,n(t)=∑iRiBi,n(t)曲線的控制頂點(diǎn)的幾何地位是對(duì)稱的三次Bézier曲線第12頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲線性質(zhì)凸包性：Bézier曲線位于控制多邊形的凸包內(nèi)幾何不變性：Bézier曲線的形狀僅與控制多邊形有關(guān)，與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)Bézier曲線的凸包性第13頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲線剖分性質(zhì)SubdivideBezierCurve(t0,R(t)){for(i=0;i<=n;i++)Ri(0)=Ri;for(s=1;s<=n;s++)for(i=0;i<=n-s;i++)

Ri(s)=(1-t0)Ri(s-1)+t0Ri+1(s-1);}Bézier曲線剖分示意圖Bézier曲線剖分算法描述第14頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲線剖分性質(zhì)每次剖分，曲線分為兩段新的Bézier曲線新的控制多邊形更加趨近于Bézier曲線當(dāng)剖分次數(shù)足夠大的時(shí)候，控制多邊形可以作為Bézier曲線的逼近第15頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲線的不足整體性質(zhì)：當(dāng)移動(dòng)曲線的一個(gè)控制頂點(diǎn)時(shí)，整條曲線的形狀都會(huì)發(fā)生改變表示復(fù)雜形狀時(shí)，需要將多條Bézier曲線光滑拼接起來(lái)，即Bézier樣條曲線。位置連續(xù)：C0(或G0)n次導(dǎo)數(shù)(或幾何)連續(xù)：Cn(或Gn)第16頁(yè)/共116頁(yè)Bezier曲線繪制實(shí)例在第一章Teapot程序基礎(chǔ)上修改（1）定義控制定點(diǎn)坐標(biāo)GLintnNumPoints=4;GLfloatctrlPoints[4][3]={{-4.0f,0.0f,0.0f}, {-6.0f,4.0f,0.0f}, {6.0f,-4.0f,0.0f}, {4.0f,0.0f,0.0f}}; 第17頁(yè)/共116頁(yè)（2）修改display函數(shù)，添加如下代碼

glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0f, 100.0f, 3, nNumPoints, &ctrlPoints[0][0]); glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);glMapGrid1d(100,0.0,100.0);glEvalMesh1(GL_LINE,0,100);第18頁(yè)/共116頁(yè)（3）因?yàn)榭刂祈旤c(diǎn)的坐標(biāo)超出視口范圍，所以必須調(diào)整視口坐標(biāo)的大?。涸瓉?lái)是glOrtho(-1.0,1.0,-1.0,1.0,-1.0,1.0);修改為glOrtho(-8.0,8.0,-8.0,8.0,-1.0,1.0);第19頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲線相關(guān)函數(shù)小結(jié)glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3,//Typeofdatagenerated0.0f, //Lowerurange100.0f, //Upperurange3, //DistancebetweenpointsinthedatanNumPoints, //numberofcontrolpoints&ctrlPoints[0][0]);//arrayofcontrolpoints第20頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲線相關(guān)函數(shù)小結(jié)逐點(diǎn)求值，然后折線連接glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);glEvalCoord1f((GLfloat)i);第21頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲線相關(guān)函數(shù)小結(jié)更簡(jiǎn)便的方式glMapGrid1d(100,0.0,100.0);

glEvalMesh1(GL_LINE,0,100);第22頁(yè)/共116頁(yè)內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線Bézier曲線B-樣條曲線NURBS曲線參數(shù)曲面第23頁(yè)/共116頁(yè)B-樣條曲線實(shí)列三次(四階)B-樣條曲線R0R1R2R3R4R5R6R7第24頁(yè)/共116頁(yè)B-樣條曲線的定義B-樣條曲線是分段連續(xù)的多項(xiàng)式曲線，其定義與節(jié)點(diǎn)向量密切相關(guān)定義在節(jié)點(diǎn)向量u={u0,u1,…,ui,…,un+k+1}上的k次(k+1階)、具有(n+1)個(gè)控制頂點(diǎn)的B-樣條曲線為：

第25頁(yè)/共116頁(yè)B-樣條曲線的定義

Ri為控制頂點(diǎn)，{Ri}i=0,1,…,n順次連接稱為曲線的控制多邊形

Ni,k(u)為單位化的B-樣條基函數(shù)：第26頁(yè)/共116頁(yè)B-樣條基函數(shù)實(shí)例n=3(4個(gè)控制頂點(diǎn))k=3三次(四階)曲線u=[00012222]在u=0.6

處，基函數(shù)的和為：N1,3+N2,3+N3,3+N4,3=0.16+0.66+0.18+0.0=1.0u第27頁(yè)/共116頁(yè)B-樣條曲線性質(zhì)B-樣條曲線具有凸包性和幾何不變性。當(dāng)曲線的兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度是k+1時(shí)B-樣條曲線具有類似于Bézier曲線的性質(zhì)端點(diǎn)插值性質(zhì)端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與控制的起始邊與終止邊相切當(dāng)n=k+1時(shí)，B-樣條曲線就是一條Bézier曲線第28頁(yè)/共116頁(yè)B-樣條曲線性質(zhì)局部性：當(dāng)移動(dòng)一個(gè)控制頂點(diǎn)時(shí)，只會(huì)影響曲線的一部分，而不是整條曲線三次B-樣條曲線的局部性質(zhì)第29頁(yè)/共116頁(yè)內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線Bézier曲線B-樣條曲線NURBS曲線參數(shù)曲面第30頁(yè)/共116頁(yè)引入NURBS曲線的原因B-樣條情形不能精確表示二次曲面與平面的交線，如圓錐曲線(平面與圓錐的交線)拋物線橢圓(上)與圓(下)雙曲線第31頁(yè)/共116頁(yè)NURBS(Non-UniformRationalB-Spline)：非均勻有理B-樣條的簡(jiǎn)稱定義：NURBS曲線第32頁(yè)/共116頁(yè)NURBS曲線{Ni,k(u)}為單位化的B-樣條基函數(shù){Ri}為控制頂點(diǎn)NURBS曲線新增加的曲線控制手段是權(quán)因子{ωi}，首末兩個(gè)權(quán)因子ω0>0、ωn>0其余的權(quán)因子滿足ωi≥0第33頁(yè)/共116頁(yè)NURBS曲線的權(quán)因子每一個(gè)權(quán)因子對(duì)應(yīng)于一個(gè)控制頂點(diǎn)通過(guò)調(diào)整權(quán)因子的大小可以調(diào)整曲線的形狀。當(dāng)所有的權(quán)因子ωi=1時(shí)，就是B-樣條曲線；當(dāng)某個(gè)權(quán)因子ωi=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的控制頂點(diǎn)對(duì)曲線的形狀沒(méi)有影響當(dāng)ωi→∞時(shí)，曲線R(u)→Ri

，即曲線過(guò)點(diǎn)Ri

第34頁(yè)/共116頁(yè)NURBS曲線的例子NURBS曲線權(quán)因子對(duì)曲線形狀的影響第35頁(yè)/共116頁(yè)NURBS曲線表示圓用三個(gè)120°圓弧表示圓：u=[0001122333]k=3[ωi]=[1,?,1,?,1,?,1]控制頂點(diǎn)分布如右圖所示NURBS曲線表示圓R0R6R1R2R3R4R5第36頁(yè)/共116頁(yè)NURBS曲線繪制實(shí)例參考例子程序Nurb.c（1）定義NURBS對(duì)象指針變量、控制定點(diǎn)個(gè)數(shù)、控制定點(diǎn)坐標(biāo)、節(jié)點(diǎn)向量GLUnurbsObj*pNurb=NULL;GLintnNumPoints=4;GLfloatctrlPoints[4][4]={

{-2.0f,-2.0f,0.0f,1.0f},

{2.0*2.0f,-2.0*2.0f,0.0f,2.0f},{2.0f,6.0f,0.0f,1.0f},{6.0f,6.0f,0.0f,1.0f}

};GLfloatKnots[8]={0.0f,0.0f,0.0f,0.0f,1.0f,1.0f,1.0f,1.0f};第37頁(yè)/共116頁(yè)（2）在init函數(shù)中加載NURBS對(duì)象pNurb=gluNewNurbsRenderer();

gluNurbsProperty(pNurb,GLU_SAMPLING_TOLERANCE,25.0f);

gluNurbsProperty(pNurb,GLU_DISPLAY_MODE,(GLfloat)GLU_FILL);第38頁(yè)/共116頁(yè)（3）在display函數(shù)中添加繪制代碼

gluBeginCurve(pNurb);

gluNurbsCurve(pNurb,8,Knots, 4,&ctrlPoints[0][0],4,GL_MAP1_VERTEX_3);

gluEndCurve(pNurb);第39頁(yè)/共116頁(yè)（4）修改視口大小

glOrtho(-10.0,10.0,-10.0,10.0,-10.0,10.0);第40頁(yè)/共116頁(yè)NURBS相關(guān)函數(shù)總結(jié)glu中定義了NURBS對(duì)象的類型GLUnurbsObj*pNurb=NULL;構(gòu)造NURBS對(duì)象pNurb=gluNewNurbsRenderer();刪除NURBS對(duì)象gluDeleteNurbsRenderer(pNurb);第41頁(yè)/共116頁(yè)NURBS相關(guān)函數(shù)總結(jié)NURBS屬性設(shè)置采樣容差

gluNurbsProperty(pNurb,GLU_SAMPLING_TOLERANCE,25.0f);顯示模式

gluNurbsProperty(pNurb,GLU_DISPLAY_MODE,(GLfloat)GLU_FILL);第42頁(yè)/共116頁(yè)NURBS相關(guān)函數(shù)總結(jié)繪制（求值）函數(shù)

gluBeginCurve(pNurb);gluNurbsCurve(pNurb,8,Knots,//節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)組

4,//控制頂點(diǎn)的間隔

&ctrlPoints[0][0],4,//階數(shù)

GL_MAP1_VERTEX_3);gluEndCurve(pNurb);第43頁(yè)/共116頁(yè)內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線參數(shù)曲面Bézier曲面B-樣條曲面NURBS曲面第44頁(yè)/共116頁(yè)雙三次Bézier曲面實(shí)列雙三次Bézier曲面實(shí)例第45頁(yè)/共116頁(yè)m×n次Bézier曲面：Bi,m(u)和Bj,n(v)為Bernstein基函數(shù){Rij}規(guī)則連接形成控制網(wǎng)

Bézier曲面第46頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲面性質(zhì)Bézier曲面的控制頂點(diǎn)所形成的控制網(wǎng)格大致反應(yīng)了曲面的形狀，所以可通過(guò)編輯控制頂點(diǎn)的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)曲面形狀的改變

第47頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲面性質(zhì)Bézier曲面通過(guò)四個(gè)角點(diǎn)處的控制頂點(diǎn)第48頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲面性質(zhì)在角點(diǎn)處曲面與控制多邊形相切Bézier曲面具有剖分算法：用加密的控制多邊形來(lái)逼近顯示Bézier曲面第49頁(yè)/共116頁(yè)Bézier曲面的不足全局性：當(dāng)移動(dòng)一個(gè)控制頂點(diǎn)的位置時(shí)，整個(gè)曲面的形狀會(huì)發(fā)生改變，這對(duì)于外形設(shè)計(jì)是很不方便的生成復(fù)雜外形需要多個(gè)Bézier曲面的光滑拼接，十分復(fù)雜第50頁(yè)/共116頁(yè)Bezier曲面繪制實(shí)例（1）定義控制定點(diǎn)坐標(biāo)（2）在display函數(shù)中添加繪制代碼（3）修改視口大小以便觀察繪制效果第51頁(yè)/共116頁(yè)Bezier曲面繪制實(shí)例（1）定義控制定點(diǎn)坐標(biāo)GLintnNumPoints=3;GLfloatctrlPoints[3][3][3]={

{

{-4.0f,0.0f,4.0f},

{-2.0f,4.0f,4.0f},

{4.0f,0.0f,4.0f}

},

{

{-4.0f,0.0f,0.0f},

{-2.0f,4.0f,0.0f},

{4.0f,0.0f,0.0f}

},

{

{-4.0f,0.0f,-4.0f},

{-2.0f,4.0f,-4.0f},

{4.0f,0.0f,-4.0f}

}

};第52頁(yè)/共116頁(yè)（2）在display函數(shù)中添加繪制代碼

glMap2f(

GL_MAP2_VERTEX_3, //Typeofdatagenerated0.0f,

//Lowerurange10.0f, //Upperurange3,

//Distancebetweenpointsinthedata3,

//Dimensioninudirection(order)0.0f, //Lovervrange10.0f, //Uppervrange9, //Distancebetweenpointsinthedata3, //Dimensioninvdirection(order)&ctrlPoints[0][0][0]

); //arrayofcontrolpointsglEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);glMapGrid2f(10,0.0f,10.0f,10,0.0f,10.0f);glEvalMesh2(GL_LINE,0,10,0,10);第53頁(yè)/共116頁(yè)為了實(shí)現(xiàn)光照效果，必須定義法向量，因此調(diào)用glEnable(GL_AUTO_NORMAL);glMapGrid2f(10,0.0f,10.0f,10,0.0f,10.0f);glEnable(GL_AUTO_NORMAL);glEvalMesh2(GL_FILL,0,10,0,10); 第54頁(yè)/共116頁(yè)內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線參數(shù)曲面Bézier曲面B-樣條曲面NURBS曲面第55頁(yè)/共116頁(yè)B-樣條曲面定義：次數(shù)：ku×kv控制頂點(diǎn)數(shù)：(nu+1)×(nv+1)節(jié)點(diǎn)向量B-樣條曲面

第56頁(yè)/共116頁(yè)B-樣條曲面

{Rij}為控制頂點(diǎn)

Ni,ku(u)和Ni,kv(v)分別為定義在節(jié)點(diǎn)向量u和v上的規(guī)范化B-樣條基函數(shù)

第57頁(yè)/共116頁(yè)B-樣條曲面的重要性質(zhì)局部性質(zhì)控制頂點(diǎn)數(shù)目Bézier曲面的次數(shù)確定后，控制頂點(diǎn)數(shù)目就定了B-樣條曲面的次數(shù)確定后，控制頂點(diǎn)數(shù)目可任意其它性質(zhì)：參考曲線情形第58頁(yè)/共116頁(yè)B-樣條曲面實(shí)例具有6×6個(gè)控制頂點(diǎn)雙三次B-樣條曲面：(a)均勻節(jié)點(diǎn)向量u=v=[-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5]，所構(gòu)造曲面不插值角點(diǎn)(b)具有端點(diǎn)處4階重節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)向量u=v=[0,0,0,0,1,2,3,3,3,3]，曲面插值角點(diǎn)(c)采用了與圖(b)相同的節(jié)點(diǎn)向量，擾動(dòng)頂點(diǎn)R4,4的位置后，其形狀變化的紅色區(qū)域局限于變動(dòng)頂點(diǎn)的鄰域中．(a)均勻節(jié)點(diǎn)(b)端點(diǎn)重節(jié)點(diǎn)(c)B-樣條曲面的局部性R0,0R5,0R5,5R0,5R0,0R5,0R5,5R0,5R5,0R4,4R0,5R5,5R0,0第59頁(yè)/共116頁(yè)B-樣條曲面的不足不能精確表示常用的二次曲面：如球面、圓柱面、圓錐面等第60頁(yè)/共116頁(yè)內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線參數(shù)曲面Bézier曲面B-樣條曲面NURBS曲面第61頁(yè)/共116頁(yè)NURBS曲面NURBS曲面增加了權(quán)因子作為形狀控制手段包含B-樣條曲面和Bézier曲面可以精確表示機(jī)械零件中常用的二次曲面工業(yè)產(chǎn)品幾何定義的STEP標(biāo)準(zhǔn)(1991年):自由曲線曲面唯一地采用NURBS表示第62頁(yè)/共116頁(yè)NURBS曲面表示球面NURBS精確表示的球面及其控制頂點(diǎn)第63頁(yè)/共116頁(yè)NURBS曲面繪制實(shí)例參考程序Nurbs1.c（1）定義NURBS對(duì)象指針變量、控制定點(diǎn)個(gè)數(shù)、控制定點(diǎn)坐標(biāo)、節(jié)點(diǎn)向量（2）在init函數(shù)中加載NURBS對(duì)象（3）在display函數(shù)中添加繪制代碼（4）修改視口大小以便觀察繪制結(jié)果第64頁(yè)/共116頁(yè)（1）定義NURBS對(duì)象指針變量、控制定點(diǎn)個(gè)數(shù)、控制定點(diǎn)坐標(biāo)、節(jié)點(diǎn)向量

GLUnurbsObj*pNurb=NULL;GLintnNumPoints=4;//4X4

第65頁(yè)/共116頁(yè)GLfloatctrlPoints[4][4][3]={{{-6.0f,-6.0f,0.0f}, //u=0, v=0{ -6.0f,-2.0f,0.0f}, // v=1{-6.0f,2.0f,0.0f}, // v=2 {-6.0f,6.0f,0.0f}},// v=3

{{-2.0f,-6.0f,0.0f}, //u=1 v=0{-2.0f,-2.0f,8.0f}, // v=1{-2.0f,2.0f,8.0f}, // v=2{-2.0f,-2.0f,0.0f}, // v=1{-2.0f,2.0f,0.0f}, // v=2{-2.0f,6.0f,0.0f}}, // v=3

{{2.0f,-6.0f,0.0f},//u=2 v=0{2.0f,-2.0f,8.0f},// v=1{2.0f,2.0f,8.0f}, // v=2{2.0f,-2.0f,0.0f},// v=1{2.0f,2.0f,0.0f}, // v=2{2.0f,6.0f,0.0f}},// v=3{{6.0f,-6.0f,0.0f}, //u=3 v=0{6.0f,-2.0f,0.0f}, // v=1{6.0f,2.0f,0.0f}, // v=2{6.0f,6.0f,0.0f}}};// v=3GLfloatKnots[8]={0.0f,0.0f,0.0f,0.0f,1.0f,1.0f,1.0f,1.0f};第66頁(yè)/共116頁(yè)（2）在init函數(shù)中加載NURBS對(duì)象

glEnable(GL_AUTO_NORMAL);//SetuptheNurbsobjectpNurb=gluNewNurbsRenderer();第67頁(yè)/共116頁(yè)（3）在display函數(shù)中添加繪制代碼

gluBeginSurface(pNurb);

//EvaluatethesurfacegluNurbsSurface(pNurb, //pointertoNURBSrenderer8,Knots, //No.ofknotsandknotarrayudirection 8,Knots, //No.ofknotsandknotarrayvdirection4*3, //Distancebetweencontrolpointsinudir.3, //Distancebetweencontrolpointsinvdir.&ctrlPoints[0][0][0],//Controlpoints4,4, //uandvorderofsurfaceGL_MAP2_VERTEX_3); //Typeofsurface

//DonewithsurfacegluEndSurface(pNurb);第68頁(yè)/共116頁(yè)（4）修改視口大小以便觀察繪制結(jié)果glOrtho(-10.0,10.0,-10.0,10.0,-10.0,10.0);第69頁(yè)/共116頁(yè)小結(jié)物體的參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理：曲線、曲面參數(shù)曲線：Bézier、B-樣條和NURBS曲線參數(shù)曲面：Bézier、B-樣條和NURBS曲面僅僅做了簡(jiǎn)要介紹，數(shù)學(xué)味道太濃，關(guān)于參數(shù)曲線曲面造型技術(shù)的內(nèi)容可以單獨(dú)作為一門(mén)課第70頁(yè)/共116頁(yè)幾何物體的表示隱式曲面細(xì)分曲面物體的CSG樹(shù)表示自然景物表示方法第71頁(yè)/共116頁(yè)幾何物體的表示隱式曲面細(xì)分曲面物體的CSG樹(shù)表示自然景物表示方法第72頁(yè)/共116頁(yè)隱式曲面R3中的隱式曲面表示為：{(x,y,z)R3:f(x,y,z)=0}三維空間中的一個(gè)二維曲面(二維流形)f(x,y,z)稱為隱式函數(shù)：數(shù)學(xué)表達(dá)式或過(guò)程定義的函數(shù)當(dāng)f(x,y,z)為多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，隱式曲面稱為代數(shù)曲面第73頁(yè)/共116頁(yè)隱式曲面舉例球面：x2+y2+z2=1圓柱面：x2+y2=1第74頁(yè)/共116頁(yè)隱式曲面與參數(shù)曲面的比較與參數(shù)曲面相比，隱式曲面的優(yōu)點(diǎn)隱式曲面可以表示具有復(fù)雜拓?fù)涞男螤頝URBS曲面只能表示拓?fù)涞葍r(jià)于矩形的四邊曲面NURBS曲面表示非退化封閉光滑曲面時(shí)，需要光滑拼接隱式曲面比NURBS曲面更適合于進(jìn)行布爾運(yùn)算、光線跟蹤、點(diǎn)集判斷等第75頁(yè)/共116頁(yè)隱式曲面與參數(shù)曲面的比較與參數(shù)曲面相比，隱式曲面的不足隱式曲面表示不直觀，難以進(jìn)行外形的交互修改。NURBS曲面的外形控制手段非常直觀隱式曲面通常沒(méi)有邊界，而NURBS曲面具有顯式的邊界隱式曲面難以直接進(jìn)行顯示，而NURBS曲面則可以借助于剖分算法，對(duì)逼近多邊形表示進(jìn)行繪制第76頁(yè)/共116頁(yè)隱式曲面與參數(shù)曲面的相互轉(zhuǎn)化隱式化：從參數(shù)曲面到隱式曲面消除NURBS曲面的兩個(gè)參數(shù)(u,v)得到其隱式表示參數(shù)化：從隱式曲面到參數(shù)曲面并非所有的隱式曲面都可以參數(shù)化對(duì)于非退化的二次代數(shù)曲面和具有一個(gè)奇異點(diǎn)的三次代數(shù)曲面，可以進(jìn)行有理多項(xiàng)式參數(shù)化第77頁(yè)/共116頁(yè)圖形學(xué)中常用的隱式曲面造型技術(shù)基于骨架的隱式曲面造型基于點(diǎn)、線和面骨架的Metaball方法基于骨架的卷積曲面基于點(diǎn)骨架的Metaball造型基于點(diǎn)、直線混合骨架的Metaball造型第78頁(yè)/共116頁(yè)圖形學(xué)中常用的隱式曲面造型技術(shù)代數(shù)曲面片造型技術(shù)，包括二次代數(shù)曲面、A-Patch方法等代數(shù)曲面片造型第79頁(yè)/共116頁(yè)隱式曲面的顯示多邊形化：用平面多邊形逼近隱式曲面，MarchingCube方法光線跟蹤：生成高質(zhì)量的圖像粒子系統(tǒng)：在隱式曲面上均勻布撒粒子多邊形化光線投射粒子系統(tǒng)第80頁(yè)/共116頁(yè)幾何物體的表示隱式曲面細(xì)分曲面物體的CSG樹(shù)表示自然景物表示方法第81頁(yè)/共116頁(yè)細(xì)分曲面Chaikin算法(1974)：均勻二次B-樣條曲曲線的離散生成輸入多邊形折線每次在邊的1:3和3:1處生成兩個(gè)新頂點(diǎn)，按規(guī)律連接新生成的頂點(diǎn)極限曲線為均勻二次B-樣條曲線第82頁(yè)/共116頁(yè)Chaikin算法舉例Chaikin算法示意圖Chaikin算法動(dòng)態(tài)示意圖第83頁(yè)/共116頁(yè)Doo-Sabin細(xì)分曲面DonaldDoo和MalcolmSabin推廣了Chaikin算法由二次B-樣條曲線推廣到二次B-樣條曲面輸入為一個(gè)多邊形面片，經(jīng)過(guò)重復(fù)的剖分，生成光滑的極限曲面第84頁(yè)/共116頁(yè)Doo-Sabin細(xì)分曲面的生成規(guī)則面點(diǎn)(facepoint)：面的頂點(diǎn)的平均邊點(diǎn)(edgepoint)：邊的中點(diǎn)新頂點(diǎn)(newVertex)：對(duì)每個(gè)面的每一個(gè)頂點(diǎn)，計(jì)算面點(diǎn)、兩個(gè)邊點(diǎn)和原有頂點(diǎn)的平均Doo-Sabin細(xì)分曲面生成的各類頂點(diǎn)第85頁(yè)/共116頁(yè)Doo-Sabin細(xì)分曲面新頂點(diǎn)連接初始多邊形及生成的新頂點(diǎn)對(duì)于每個(gè)面，連接生成的新頂點(diǎn)對(duì)于每個(gè)老頂點(diǎn)，連接與之相鄰的新頂點(diǎn)對(duì)于每條邊，連接與該邊相鄰的兩個(gè)面上的對(duì)應(yīng)新頂點(diǎn)第86頁(yè)/共116頁(yè)細(xì)分曲面實(shí)例Doo-Sabin細(xì)分曲面Catmull-Clark細(xì)分曲面第87頁(yè)/共116頁(yè)其它類型細(xì)分曲面Catmull-Clark細(xì)分曲面(雙三次B-樣條曲面)Loop細(xì)分曲面(六次三角樣條曲面)Loop細(xì)分曲面實(shí)例第88頁(yè)/共116頁(yè)細(xì)分曲面的優(yōu)勢(shì)與不足優(yōu)勢(shì)極限曲面C1或C2連續(xù)的光滑曲面可以表示任意拓?fù)溥m合于動(dòng)畫(huà)造型、快速顯示不足奇異點(diǎn)處沒(méi)有解析表達(dá)，難以計(jì)算微分量難以精確控制其外形難以構(gòu)造高階光滑曲面第89頁(yè)/共116頁(yè)更多的細(xì)分曲面實(shí)例第90頁(yè)/共116頁(yè)幾何物體的表示隱式曲面細(xì)分曲面物體的CSG樹(shù)表示自然景物表示方法第91頁(yè)/共116頁(yè)物體的CSG樹(shù)表示CSG：ConstructiveSolidGeometry表示實(shí)體：即有邊界，也包含內(nèi)部表示邊界：多邊形、參數(shù)曲面、隱式曲面、細(xì)分曲面CSG樹(shù)表示：面向澆鑄、加工或拉伸等CAD/CAM過(guò)程第92頁(yè)/共116頁(yè)物體的CSG樹(shù)表示CSG樹(shù)：通過(guò)一系列幾何操作將簡(jiǎn)單的基本體素組合起來(lái)基本體素：立方體、球、圓柱、圓錐等幾何操作布爾運(yùn)算：并、交、差、補(bǔ)等幾何變換：平移、旋轉(zhuǎn)、放縮、剪切等CSG樹(shù)：含有豐富的造型信息物體生成過(guò)程物體表示第93頁(yè)/共116頁(yè)一個(gè)CSG樹(shù)表示的實(shí)例立方體立方體并減圓柱體第94頁(yè)/共116頁(yè)物體的CSG樹(shù)表示的分析CSG樹(shù)的缺點(diǎn)繪制耗時(shí)限制了物體外形的修改改進(jìn)：混合表示將邊界表示和布爾運(yùn)算結(jié)合起來(lái)，形成一種界與邊界表示和CSG實(shí)體表示之間的混合表示第95頁(yè)/共116頁(yè)幾何物體的表示隱式曲面細(xì)分曲面物體的CSG樹(shù)表示自然景物表示方法第96頁(yè)/共116頁(yè)自然景物表示方法自然景物的模擬是圖形學(xué)中最具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題之一山、樹(shù)木、花草、火焰、云、煙、流體等目前三種常用方法分形基于語(yǔ)法規(guī)則的L-系統(tǒng)粒子系統(tǒng)第97頁(yè)/共116頁(yè)分形分形(Fractal)的主要特征：自相似性質(zhì)：分形物體的任何一個(gè)部分都和物體整體具有某種程度的相似無(wú)限小細(xì)節(jié)性質(zhì)：當(dāng)無(wú)限地放大分形物體時(shí)，物體總是表現(xiàn)有細(xì)節(jié)，而不是像歐氏空間的物體一樣最終會(huì)表現(xiàn)出光滑性