廣東省惠州市高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)理試題版含解析

惠州市2017屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知A{1,2,4,8,16}，B{y|ylogx,xA}，則AIB（）2A．{1,2} B．{2,4,8}C．{1,2,4}D．{1,2,4,8}2．若復(fù)數(shù)z滿足z(1i)|1i|i，則z的實(shí)部為（）2121A．B．21C．1D．223x2x23．函數(shù)f(x)log(x21)x2，若f(a)1，則a的值是（）3A．2B．1C．1或2D．1或﹣2224．將函數(shù)y(sinxcosx)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的解 2 2AA．22B．8C．9D．108．某幾何體的三視圖如右圖，其正視圖中的曲線部分為半個(gè)圓弧，則該幾何體的表面積為（）A．219cmB．2224cmC．210624cmD．213624cm2cm3cm側(cè)視圖3cmcm21cm俯視圖2cm正視圖9．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用廣告費(fèi)用x（萬元）1245銷售額y（萬元）10263549根據(jù)上表可得回歸方程$yb$xa$的b$約等于9，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)，銷售額約為（）。A．54萬元B．55萬元C．56萬元D．57萬元10．已知三棱錐SABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB2，SASBSC2，則三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離是（）3333A．B．1C．3D．3211．雙曲線M:x2y21(a0,b0)實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為A,B，點(diǎn)P為雙曲線M上除A、B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若a2b2QAPA且QBPB，則動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。rrr 1 1A．2k(kZ)B．2k或2k(kZ)C．0D．2k或2k(kZ) 4 4第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題～第21題為必考題，第22題～第24題為選考題。 rr rrr13．已知|a|4，|b|2，且a與b夾角為120°，則(a2b)(ab)=________.a314．已知(x)5的展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a________.xyx15．設(shè)m1，變量x,y在約束條件ymx下，目標(biāo)函數(shù)zxmy的最大值為2，則m________.xy1 1 b16．已知數(shù)列{a},滿足a,ab1,bn(nN*)，則b______. n n 12n n n11a2 2017n三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分12分）在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若3cos(BC)16cosBcosC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a3，ABC的面積為22，求b,c邊長(zhǎng)．18．（本小題滿分12分）4月23日是世界讀書日，惠州市某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動(dòng)。為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間(單位：分鐘)的頻率分布直方圖，0.030且將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”，低于60分0.0250.0200.015鐘的學(xué)生稱為“非讀書迷”． 0.010頻率組距頻率組距（Ⅱ）將頻率視為概（Ⅱ）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校大量學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3非讀書迷讀書迷合計(jì)男15女45合計(jì)的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān)？人中“讀書迷”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)．n(adbc)2附：K2,nabcd(ab)(cd)(ac)(bd)220()PKk0.1000.0500.0250.0100.0010k2.7063.8415.0246.63510.82819．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，AB//CD，AB2AD2CD2，E是PB上的點(diǎn)． PAE（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBCAE（Ⅱ）若E是PB的中點(diǎn)，且二面角PACE的余弦值為6，求直線63B PA與平面EAC所成角的正弦值． DCOPQOPQ面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（本小題滿分12分）已知點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，直線AM與直線BM相交于點(diǎn)M，直線AM與直線BM的斜率分別記為k與AMk，且kk2．BM AM BM（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（Ⅱ）過定點(diǎn)F(0,1)作直線PQ與曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，OPQ的面積是否存在最大值？若存在，求出21．（本小題滿分12分）a(x1)已知函數(shù)f(x)lnx(aR)．x（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；1 1（Ⅱ）求證：x(1,2)，不等式 恒成立．lnxx12請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答。答題時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)并將相應(yīng)信息點(diǎn)涂黑。22．（本小題滿分10分）【選修4-1：幾何證明選講】如圖，AB是eO的直徑，弦CD與AB垂直，并與AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為弦CD上異于點(diǎn)E的任意一點(diǎn)，連接BF、AF并延長(zhǎng)交eO于點(diǎn)M,N．（Ⅰ）求證：B,E,F,N四點(diǎn)共圓；CEFO （Ⅱ）求證：AC2BFBMAB2EFO MD N23．（本小題滿分10分）【選修4-4：極坐標(biāo)和參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的傾斜角為且經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為26cos50．（Ⅰ）若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn)，求xy的取值范圍．24．（本小題滿分10分）【選修4-5：不等式選講】設(shè)函數(shù)f(x)|ax1|．（Ⅰ）若f(x)2的解集為[6,2]，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）當(dāng)a2時(shí)，若存在xR，使得不等式f(2x1)f(x1)73m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.惠州市2017屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科）參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分。題號(hào)題號(hào)123456789101112答案CAAABACCDACD1.C【解析】由已知可得B{log1,log2,log4,log8,log16}{0,1,2,3,4}，所以AIB{1,2,4}，所以選C. 2 2 2 2 22122122.【解析】由z(1i)|1i|i2i，得zi，則z的實(shí)部為，1i(1i)(1i)22故選A．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算3．【解析】若a2，則由f(a)1得，3a21，∴a2．此時(shí)不成立．若a2，則由f(a)1得，a2，故選A．5．5．【解析】圓22(2)(2)xya，圓心2,2，半徑a．故弦心距22222d．再由弦長(zhǎng)公式可得2911a；故選B． 2 4．【解析】將函數(shù)y(sinxcosx)sin(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，可得函數(shù) 2 4 11ysin(x)的圖象；再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的解析式為ysin(x)cosx，故選：A．422 2 2考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象變換．考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．16．【解析】k1,s3;k2,s;k3,s;k4,s2,以4作為一個(gè)周期，所以k2016,s2，故選A37．【解析】因?yàn)?a2b2，所以2ab1，212ab2152ba9b ab aba 1當(dāng)且僅當(dāng)即ab時(shí)“=成立，故選” Cab 2考點(diǎn)：基本不等式；等比數(shù)列的性質(zhì)．8．【解析】幾何體是一個(gè)組合體，包括一個(gè)三棱柱和半個(gè)圓柱，三棱柱的是一個(gè)底面是腰為2的等腰直角三角形，1高是3，其底面積為：2224，側(cè)面積為：32232626；圓柱的底面半徑是1，高是3，其21底面積為：21，側(cè)面積為：33；2∴組合體的表面積是π+62+4+6+3π=4π+10+62故選C． 1245 10263549 3,30，9．【解析】Qx 3,y 30，中心點(diǎn)為 4 4代入回歸方程得3027a$a$3$y9x3x6時(shí)$y57考點(diǎn)：回歸方程10．【解析】因?yàn)槿忮FSABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SASBSC2，S在面ABC內(nèi)的射影為AB中點(diǎn)H，SH平面ABC，SH上任意一點(diǎn)到A,B,C的距離相等．QSH3，CH1，在面SHC內(nèi)作SC的垂直平分線MO，則O為SABC的外接球球心． 23 3QSC2，SM1，OSM30，SO,OH，即為O到平面ABC的距離，故選A． 3 3∵點(diǎn)為雙曲線上除∵點(diǎn)為雙曲線上除、外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，22，2()fxx，1,1x，2()2fxxk，21,21xkk，由于直線yxa的斜率為1，在y軸上的截距等于a，在一個(gè)周期,11上，0a時(shí)滿足條件，14a時(shí)，在此周期上直線和曲線相切，并和曲線在下一個(gè)區(qū)間上圖11.【解析】設(shè)P(m,n),Q(x,y),雙曲線M:x2y21,實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)A(a,0),B(a,0)a2b2QA(xa,y),PA(ma,n)∵QA⊥PA，∴xamany0，可得many,xa ny n2y2同理根據(jù)QB⊥PB，可得ma兩式相乘可得m2a2 xa x2a2P(m,n) M AB m2n21a b b2 x2b2y2整理得n2(m2a2) 1故選：C．a(chǎn)2 a2 a212.【解析】設(shè)1x0，則0x1，f(x)x2x2f(x)， 綜上，象有一個(gè)交點(diǎn)，也滿足條件．由于f(x)的周期為2，故在定義域內(nèi)，滿足條件的a應(yīng)是Z．故選D．二．填空題：本大題共4小題，每小題5分201713.1214.615.1216.201813．【解析】Qar4,br2，且ar與br夾角為120，ar216,br24，arbrarbrcos1204214，ar2brarbrauur2arbr2br212，故答案為12．2考點(diǎn)：1、平面向量模與夾角；2、平面向量的數(shù)量積．a(chǎn)14.【解析】 r r1 5C1(a)30,a6515．【解析】作出可行域如圖所示，當(dāng)直線最大值，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 1 m∴11n∴11n，∴nb．則20172018．故答案為：20172018．5()()rrTCxx，53,122rr，z有zxmy經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，1(,)11mmm，，解之得12m或12m（舍去），，12，∴12b，∵nb，∴1b，∴111，又1.61.41.210.80.60.40.20.20.40.60.811.210.50.511.522.53z=x+myx+y=1y=mxy=xBAOxy所以m12.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.16．【解析】∵ab1ab1.4nn11n11a2n12bb1b1 n n n1 n∵b1 12．∴數(shù)列1是以﹣2為首項(xiàng)，﹣1為公差的等差數(shù)列，，∴ 12 b11 bn1bb1 nn1 2017n考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）由3cos(BC)16cosBcosC，得3(cosBcosCsinBsinC)1，...............2分1即cos(BC)，.......................................3分31在ABC內(nèi),cosAcos(BC)．.....................................5分3（Ⅱ）∵0A，，1 由S 22，得bcsinA22，即bc6．.........................6分ABC2由余弦定理，得a2b2c22bccosA，.............................7分∴9(bc)22bc(1cosA)(bc)216，∴bc5．.................................................................9分 bc5 b2b3 由 ，得 或 ．............................................12分bc6 c3c2考點(diǎn)：1、三角恒等變換；2余弦定理、；3、正弦定理的應(yīng)用．18．（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）2×2列聯(lián)表如下：非讀書迷讀書迷合計(jì)男401555女202545合計(jì)6040100100(40251520)2易知K2的觀測(cè)值k8.249....................4分60405545因?yàn)?.249>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān)．..............5分2（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知從該校學(xué)生中任意抽取1名學(xué)生恰為“讀書迷”的概率為,..............6分52由題意可知X:B(3,),X的所有可能取值為0,1,2,3,......................7分5 3 27 23 54P(X0)C0()3,P(X1)C1()()2, 35 125 355 125336 2 8P(X2)C2()2 ,P(X3)C3()3...........9分55125 35 125X的分布列為XX0123P2712554125361258125..............................................................分26E(X)3................................................11分55 2 218D(X)3(1)......................................12分 5 52519．（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）證明：PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，.......................1分AB2，ADCD1，ACBC2AC2BC2AB2，ACBC...........................................2分又BCPCC，PC面PBC，BC面PBC...................3分AC平面PBC，.................................................................4分∵AC平面EAC，平面EAC平面PBC...........................5分（Ⅱ）以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，ACDEPxACDEPxyz1a設(shè)P（0，0，a）（a0），則E（，，），2211aCA(1,1,0)，CP(0,0,a)，CE(,,)，.......6分222設(shè))設(shè)),,(zyxn為面EAC的法向量，則0CEnCAn，即0,0azyxyx，取ax，ay，2z，則)2,,(aan，..............8分依題意，362,cos2aanmnmnm，則2a...............9分于是)2,2,2(n.........................................10分取m=（1，－1，0）ur則mCPmCA0，m為面PAC的法向量設(shè)直線PA與平面EAC所成角為332,cossinnPAnPAnPA即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為323220．（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）設(shè)Mx,y，則ky,kyx1， MA x1MB x1所以yy2所以x2y21x1（未寫出范圍扣一分）............4分x1x1 2（Ⅱ）由已知當(dāng)直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程是ykx1，........5分 y2聯(lián)立x221，消去y得k22x22kx10，.....................6分ykx1因?yàn)?k24k228k210，所以kR，...............7分設(shè)Px,y,Qx,y，xx2k,xx1......................8分 11 2 2 1 2 k2212 k22 S 1OFxx1xx24xx2k21........10分 OPQ 2 1 22 1 2 1 2 k22②若0a，當(dāng)(0,②若0a，當(dāng)(0,)xa時(shí)，/()0fx，()fx在(0,)a單調(diào)遞減．21111222kkOPQ面積的最大值為22．.......................................12分22考點(diǎn)：1、求曲線的方程；2、橢圓的方程；3、利用基本不等式求最值．21．（本小題滿分12分）xa【解析】（Ⅰ）f(x)的定義域?yàn)?0,)，f/(x) ....................3分x2①若a0,f/(x)0，f(x)在(0,)上單調(diào)遞增...................4分當(dāng)x(a,)時(shí)，f/(x)0，f(x)在(a,)單調(diào)遞增．.................6分 1 1 1（Ⅱ）Q1x2等價(jià)于(x1)lnx2(x1)0………………7分lnxx12 (x1) 1令F(x)(x1)lnx2(x1)，則F/(x)lnx2lnx1………………9分 x x1由（Ⅰ）知，當(dāng)a1時(shí)f(x)f(1)0，f(x)f(1)，即lnx10................10分min x所以F/(x)0，則F(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，所以F(x)F(1)0 1 1 1即有1x2時(shí) ………12分lnxx12考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想22.（本小題滿分10分）即180BEFBNF即180BEFBNFo，則,,,BEFN四點(diǎn)共圓．..............5分（Ⅱ）由直角三角形的射影定理可知2,ACAEAB.................6分相似可知：BFBEBABM，()BFBMBABEBABAEAggg,ABDMNEFO又CDAB,則BEFBNF90o，.......4分 CBFBMAB2ABAE.........................………8分BFBMAB2AC2,即AC2BFBMAB2.............................10分23.（本小題滿分10分）【解析】（Ⅰ）將C的極坐標(biāo)方程2