平面的法向量

關(guān)于平面的法向量第一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一為了用向量的方法研究空間的線面位置關(guān)系，我們首先要知道如何用向量來刻畫直線和平面的“方向”呢？1、直線的方向向量直線上的非零向量以及與共線的非零向量叫做直線的方向向量第二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一練習(xí):設(shè)分別是的方向向量，判斷的位置關(guān)系第三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一如何用一個(gè)向量來刻畫平面的“方向”呢？第四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一由于垂直于同一平面的直線是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al

給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量,那么過點(diǎn)A,以向量為法向量的平面是完全確定的.幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有第五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一問題探討1、已知Ａ（1，1，-1），Ｂ（2，3，1），則直線ＡＢ的一個(gè)方向向量是

；變形：直線ＡＢ的模為1的方向向量是

。2、已知非零向量、及平面，若向量是平面的法向量，則是向量所在直線平行于或在內(nèi)的（）Ａ．充分必要條件Ｂ．充分不必要條件Ｃ．必要不充分條件Ｄ．既不充分也不必要條件

A第六頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一例2、在正方體中，求證：是平面的法向量．B1

C1CABED1D

A1Ｚxy證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，第七頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一第八頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一第九頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一練習(xí):第十頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一例3在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面經(jīng)過點(diǎn)，平面的法向量為，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求滿足的關(guān)系式。解：由題意得因?yàn)槭瞧矫娴姆ㄏ蛄?，所以從而即所以滿足條件的關(guān)系式為：得到平面可以用關(guān)于x,y,z的三元一次方程來表示第十一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一例題：xyz第十二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一第十三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一四、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)施直線的方向向量為，平面的法向量為

空間向量的應(yīng)用----求直線與平面所成的角設(shè)直線與平面所成的角為,直線的方向向量與平面的法向量的夾角為第十四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期一向量法：PA如圖，已知點(diǎn)P（x0,y0,z0）,A（x1,y1,z