可測函數(shù)結(jié)構(gòu) Lusin定理_第1頁
可測函數(shù)結(jié)構(gòu) Lusin定理_第2頁
可測函數(shù)結(jié)構(gòu) Lusin定理_第3頁
可測函數(shù)結(jié)構(gòu) Lusin定理_第4頁
可測函數(shù)結(jié)構(gòu) Lusin定理_第5頁
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關(guān)于可測函數(shù)結(jié)構(gòu)Lusin定理第一頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日可測函數(shù)簡單函數(shù)是可測函數(shù)可測函數(shù)總可表示成一列簡單函數(shù)的極限問：可測函數(shù)是否是連續(xù)函數(shù)？可測集E上的連續(xù)函數(shù)定為可測函數(shù)第二頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日引理3.1第三頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日魯津定理設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則使得m(E-F)<ε且f(x)在F上連續(xù)。（去掉一小測度集，在留下的集合上成為連續(xù)函數(shù)）即：可測函數(shù)“基本上”是連續(xù)函數(shù)第四頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日魯津定理的證明1證明：由于mE[|f|=+∞]=0，故不妨令f(x)為有限函數(shù)(1)

當(dāng)f(x)為簡單函數(shù)時(shí)，當(dāng)x∈Ei時(shí)，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上連續(xù)，而Fi為兩兩不交閉集，故f(x)在上連續(xù)顯然F為閉集，且有第五頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日魯津定理的證明2(2)當(dāng)f(x)為有界可測函數(shù)時(shí)，由定理1.5知,存在簡單函數(shù)列{φn(x)}在E上收斂f(x)，利用(1)的結(jié)果知第六頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日第七頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日魯津定理的證明3則g(x)為有界可測函數(shù)，應(yīng)用(2)即得我們的結(jié)果（連續(xù)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉）(3)當(dāng)f(x)為一般可測函數(shù)時(shí)，作變換第八頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日證明：由條件知，，存在閉集使且f(x)在En連續(xù)，當(dāng)然f(x)在En上可測，設(shè)f(x)是E上實(shí)函數(shù)，對(duì)δ>0，

存在閉集，使且f(x)在上連續(xù)，

則f(x)是E上的可測函數(shù)

Lusin定理的逆定理第九頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日所以f(x)在上可測。

第十頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日魯津定理的另一表現(xiàn)形式(定理3.3)魯津定理（限制定義域）（即：去掉某個(gè)小測度集，在留下的集合上連續(xù)）（在某個(gè)小測度集上改變?nèi)≈挡⒀a(bǔ)充定義變成連續(xù)函數(shù)）若f(x)為上幾乎處處有限的可測函數(shù)，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε（對(duì)n維空間也成立）則及R上的連續(xù)函數(shù)g(x)

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