2022年高考數(shù)學尖子生強基校考講義專題14：概率統(tǒng)計【原卷版】

2022年高考數(shù)學尖子生強基計劃專題14概率統(tǒng)計真題特點分析：【2020中科大】已知為的排列，若且，則為順序?qū)?，設為的順序?qū)Φ膫€數(shù)，則_______________．2.【2021中科大】拋擲一個均勻的骰子次，記該過程中出現(xiàn)的最大數(shù)字為，則________．二、知識要點拓展一．隨機事件的概率1.隨機事件在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，隨機事件一般用大寫英文字母等來表示；2.確定事件（1）必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件；（2）不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件；必然事件和不可能事件合起來稱為確定事件。3.事件A的概率：在大量重復進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，作P（A）.由定義可知0≤P（A）≤1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。4.等可能性事件的概率：一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件，通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成。如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是。如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P（A）=。?說明：使用公式P（A）=計算時，確定m、n的數(shù)值是關鍵所在，其計算方法靈活多變，沒有固定的模式，可充分利用排列組合知識中的分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理,必須做到不重復不遺漏。二．互斥事件的概率1.相關概念（1）互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件；（2）對立事件：其中必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件。2.對于互斥事件要抓住如下的特征進行理解：（1）互斥事件研究的是兩個事件之間的關系；（2）所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；（3）兩個事件互斥是從試驗的結(jié)果不能同時出現(xiàn)來確定的。從集合角度來看，A、B兩個事件互斥，則表示A、B這兩個事件所含結(jié)果組成的集合的交集是空集。對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作，從集合的角度來看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補集，即A∪=U，A∩=.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件。2.事件A、B的和記作A+B，表示事件A、B至少有一個發(fā)生.當A、B為互斥事件時，事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的，因此當A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1。當計算事件A的概率P（A）比較困難時，有時計算它的對立事件的概率則要容易些，為此有P（A）=1－P（）。對于n個互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式為P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。?說明：分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導思想。三．獨立事件的概率1.相關概念（1）相互獨立事件：事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫相互獨立事件。（2）獨立重復實驗：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，這個事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn（k）=Cpk（1－p）n－k。2.關于相互獨立事件也要抓住以下特征加以理解：（1）相互獨立也是研究兩個事件的關系；（2）所研究的兩個事件是在兩次試驗中得到的；（3）兩個事件相互獨立是從“一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生的概率沒有影響”來確定的。?注意互斥事件與相互獨立事件是有區(qū)別的：3.事件A與B的積記作A·B，A·B表示A與B同時發(fā)生。當A和B是相互獨立事件時，事件A·B滿足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），還要弄清·，的區(qū)別?！け硎臼录c同時發(fā)生，因此它們的對立事件A與B同時不發(fā)生，也等價于A與B至少有一個發(fā)生的對立事件即，因此有·≠，但·=。離散型隨機變量的分布列：一般地，設離散型隨機變量可能取的值為，取每一個值（）的概率，則稱下表為隨機變量的概率分布，簡稱為的分布列。........................數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為........................則稱為的數(shù)學期望（平均數(shù)，均值），簡稱為期望。它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。若（二項分布），則。二項分布：（1）定義：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率是：（其中）于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作，其中為參數(shù)，并記.（2）二項分布的判斷與應用.①二項分布，實際是對次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行次獨立重復，且每次試驗只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.②當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.4.幾何分布：“”表示在第次獨立重復試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把次試驗時事件發(fā)生記為，事不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨立事件的概率乘法分式：于是得到隨機變量的概率分布列.123…………我們稱服從幾何分布，并記，其中5.幾何概型（1）定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度、面積或體積成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．（2）在幾何概型中，事件的概率的計算公式為：．（3）古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個．（4）幾何概型的兩個特征：①試驗結(jié)果有無限多；②每個結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的．事件可以理解為區(qū)域的某一子區(qū)域，事件的概率只與區(qū)域的度量（長度、面積或體積）成正比，而與的位置和形狀無關．（5）解決幾何概型的求概率問題關鍵是要構(gòu)造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率．三、典例精講例1．（復旦）某種細胞如果不能分裂則死亡，并且一個細胞死亡和分裂為兩個細胞的概率都為?，F(xiàn)有兩個這樣的細胞，則兩次分裂后還有細胞存活的概率是（）。（B）（C）（D）例2．（復旦）隨機任取一個正整數(shù)，則它的3次方的個位和十位上的數(shù)字都是1的概率是（）。（B）（C）（D）例3．體育彩票的抽獎是從寫在36個球上的36個號碼隨機搖出7個．有人統(tǒng)計了過去中特等獎的號碼，聲稱某一號碼在歷次特等獎中出現(xiàn)的次數(shù)最多，它是一個幸運號碼，人們應該買這一號碼，也有人說，若一個號碼在歷次特等獎中出現(xiàn)的次數(shù)最少，由于每個號碼出現(xiàn)的機會相等，應該買這一號碼，你認為他們的說法對嗎？例4．（復旦）在半徑為1的圓周上隨機選取3點，它們構(gòu)成一個銳角三角形的概率是（）（B）（C）（D）例5．（清華）系統(tǒng)內(nèi)有個元件，每個元件正常工作的概率為，，若有超過一半的元件正常工作，則系統(tǒng)正常工作，求系統(tǒng)正常工作的概率，并討論的單調(diào)性。例6．（清華）投擲一枚硬幣（正反等可能），設投擲次不連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的概率為，求；寫出的遞推公式，并指出單調(diào)性；是否存在？有何統(tǒng)計意義。例7．（復旦）一袋中有個白球和個黑球。從中任取一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，另補一個白球放到袋中。在重復次這樣的操作后，記袋中白球的個數(shù)為。求的數(shù)學期望；設，求；證明：的數(shù)學期望。例8．（北大）已知基因型為AA、Aa、aa的比例為，且。求子一代AA、Aa、aa的比例；子二代與子一代比例是否相同？四、真題訓練1.（復旦）一批襯衣中有一等品和二等品，其中二等品率為0.1.將這批襯衣逐漸檢測后放回，在連續(xù)三次檢測中，至少有一件是二等品的概率為（）。（A）0.271（B）0.243（C）0.1（D）0.0812.（復旦）設甲、乙兩個袋子中裝有若干個均勻的白球和紅球，且甲、乙兩個袋子中的球數(shù)為1:3.已知從甲袋中摸到紅球的概率為，而將甲、乙兩個袋子中的球裝在一起后，從中摸到紅球的概率為。則從乙袋中摸到紅球的概率為（）（B）（C）（D）3.（復旦）復旦大學外語系某年級舉行一次英語口語演講比賽，共有十人參賽，其中一班有三位，二班有兩位，其他班有五位。若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班的三位同學恰好演講序號相連。問二班的兩位同學的演講序號不相連的概率是（）（B）（C）（D）4.（武大）一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：組距(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]頻數(shù)234542則樣本在上的頻率為（）。（B）（C）（D）5.（武大）某工廠新招了8名工人，其中有2名車工和3名鉗工，現(xiàn)將這8名工人平均分配給甲、乙兩個車間，那么車工和鉗工均不能分到同一車間的概率是（）（B）（C）（D）6.（華南理工）甲、乙兩人下圍棋，下三盤棋，甲：平均能贏兩盤，某日，甲、乙進行五打三制勝賽，那么甲勝出的概率為。7.（同濟）從1-100這100個自然數(shù)中取2個數(shù)，它們的和小于等于50的概率是。8.（上海交大）6名考生坐在兩側(cè)各有通道的同一排座位上應考，考生打完試卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷離開座位，則其中一人交卷時為到達通道而打擾其余尚在考試的考生的概率為。9.（同濟）從0,1,2，。。。9這10個數(shù)碼中隨機抽出5個，排列成一行，則恰好構(gòu)成可以被25整除的五位數(shù)的概率是（用分數(shù)給出答案）。10.（南大）設是隨機事件，且。則。11.（浙大）甲乙兩人輪流擲硬幣，第一局甲先擲，誰先擲出正面誰就勝，上一局的負者下一局先擲。問：（1）任意一局甲勝的概率；（2）第局甲勝的概率。12.（武大）從一個裝有三個紅球、兩個白球的口袋中任取兩球放入一個箱子中。求箱子中兩球都是紅球的概率；記“從箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”為一次操作，如果操作三次，求恰有兩次取到紅球的概率。13.（復旦），求：（1）有交點的概率；（2）求交點個數(shù)的數(shù)學期望。五、強化訓練A組1、（交大）6名考生坐在兩側(cè)各有通道的同一排座位上應考，考生答完試卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷離開座位，則其中一人交卷時為到達通道而打擾其余尚在考試的考生的概率為。2、（交大）甲乙兩廠生產(chǎn)同一種商品，甲廠生產(chǎn)的此商品占市場上的，乙廠生產(chǎn)的占；甲廠商品的合格率為95%，乙廠商品的合格率為90%，若某人購買了此商品發(fā)現(xiàn)為次品，則此次品為甲廠生產(chǎn)的概率為。3、（科大）已知正方體各個面的中心，甲乙分別相互獨立地從這6個點中取出3個，則構(gòu)成兩個三角形全等的概率是。4、（武大）某工廠新招了8名工人，其中有2名車工和3名鉗工，現(xiàn)將這8名工人平均分配給甲、乙兩個車間，那么車工和鉗工均不能分配到同一個車間的概率為（）5、（復旦）設甲、乙兩個袋子中裝有若干個均勻的白球和紅球，且甲、乙兩個袋子中的球數(shù)為1：3。已知從甲袋中摸到紅球的概率為，而將甲、乙兩個袋子中的球裝在一起后，從中摸到紅球的概率為。則從乙袋中摸到紅球的概率為（）（A） （B） （C） （D）6、（復旦）隨機任取一個正整數(shù)，則它的3次方的個位和十位上的數(shù)字都是1的概率是（）（A） （B） （C） （D）7、（復旦）在半徑為1的圓周上隨機選取3點，它們構(gòu)成一個銳角三角形的概率是（）（A） （B） （C） （D）8、（武大）從一個裝有三個紅球、兩個白球的口袋中任取兩球放入一個箱子中，（1）求箱子中兩球都是紅球的概率；（2）記“從箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”為一次操作，如果操作三次，求恰有兩次取到紅球的概率。B組1、（清華）已知某音響設備由五個部件組成，A電視機、B影碟機、C線路、D左聲道和E右聲道，其中每個部件工作的概率如下圖所示。能聽到聲音，當且僅當A與B中有一工作，C工作，D與E中有一工作；且若D和E同時工作則有立體聲效果。求：（1）能聽到立體聲效果的概率；（2）聽不到聲音的概