群的定義及性質(zhì)

§6.2群的定義

6.2.1半群6.2.2群6.2.3群的性質(zhì)

6.2.1半群--半群的定義設(shè)G是一個(gè)非空集合，若·為G上的二元代數(shù)運(yùn)算，且滿足結(jié)合律，則稱該代數(shù)系統(tǒng)（G，·）為半群。6.2.1半群--半群的例例.設(shè)S是一個(gè)非空集合，ρ（S）是S的冪集，∩和∪是ρ（S）上的交運(yùn)算和并運(yùn)算，則（ρ（S），∩），（ρ（S），∪）都為半群。例.設(shè)Z為整數(shù)集，+、-、·是數(shù)的加法、減法和乘法，則（Z，+）、（Z，

·）都是半群；（Z，-）不是半群。

半群的例例.設(shè)N為自然數(shù)集，規(guī)定N上的運(yùn)算“⊙”如下：a⊙b=a+b+a·b，顯然，⊙為N上的二元代數(shù)運(yùn)算。對(duì)N中任意三個(gè)元素a，b，c，有：（a⊙b）⊙c=（a+b+a·b）⊙c=（a+b+a·b）+c+（a+b+a·b）·c=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，a⊙（b⊙c）=a⊙（b+c+b·c）=a+（b+c+b·c）+a·（b+c+b·c）=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，故，（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）.因此，（N，

⊙）為半群。

設(shè)（G，·）為半群，如果滿足下面條件：(1)有壹（單位元）：G中有一個(gè)元素1，適合對(duì)于G中任意元素a，都有1·a=a·1=a;(2)有逆：對(duì)于G中任意a，都可找到G中一個(gè)元素a-1，滿足a·a-1=a-1·a=1，則稱（G，

·）為群。如果群G包含的元素個(gè)數(shù)有限，則稱G為有限群，否則稱G為無(wú)限群。

6.2.2群--群的定義6.2.2群--群的例設(shè)Z為整數(shù)集，+、·是數(shù)的加法和乘法，則半群（Z，+）是群，稱為整數(shù)加法群。因?yàn)榇嬖谠?，適合對(duì)于Z中任意元素a，都有0+a=a+0=a；且對(duì)于Z中任意a，都可找到Z中一個(gè)元素-a，滿足a+（-a）=（-a）+a=0。半群（Z，

·）不是群。因?yàn)殡m然存在單位元素1，適合對(duì)于Z中任意元素a，都有1·a=a·1=a，但除了1和-1外，其它元素均無(wú)逆元素。

設(shè)Q為所有有理數(shù)組成的集合，R為所有實(shí)數(shù)組成的集合，C為所有復(fù)數(shù)組成的集合，Q*為所有非零有理數(shù)組成的集合，R*為所有非零實(shí)數(shù)組成的集合，C*為所有非零復(fù)數(shù)組成的集合，+、·是數(shù)的加法和乘法，則（Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群；（Q，

·）、（R，

·）、（C，·）都不是群；（Q*，·）、（R*，·）、（C*，·）都是群。

6.2.2群--群的例設(shè)S是一個(gè)非空集合，ρ（S）是S的冪集，∩和∪是ρ（S）上的交運(yùn)算和并運(yùn)算，則半群（ρ（S），∩）不是群，單位元素:S，但除了S，其它元素都不存在逆元素；半群（ρ（S），∪）也不是群，單位元素：，但除了

，其它元素都不存在逆元素。6.2.2群--群的例設(shè)N為自然數(shù)集，規(guī)定N上的運(yùn)算“⊙”如下：a⊙b=a+b+a·b。

已證：（N，

⊙）為半群。

但（N，

⊙）不是群。反證：若不然，（N，

⊙）是群，則一定有單位元素，設(shè)為e，則對(duì)N中任意元素a，都有

e⊙a(bǔ)=a，即e+a+e·a=a，因此，e=0，但0N，矛盾。因此，（N，

⊙）無(wú)單位元素，故不是群。6.2.2群--群的例例.設(shè)A是實(shí)數(shù)域上所有n階非奇異矩陣的集合，*為矩陣的乘法，則（A，*）

是群。例.設(shè)S={0，1，2，……m-1}，規(guī)定S上的運(yùn)算⊕如下：

a⊕b=

其中a，b是S中任意元素，+、-為數(shù)的加與減。則（S，⊕）是群，稱為模m的整數(shù)加法群。

6.2.2群--群的例定理6.2.1

群的單位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。即,設(shè)（G，·）是一個(gè)群，則G中恰有一個(gè)元素1適合1·a=a·1=a，而且對(duì)于任意a恰有一個(gè)元素a-1適合a·a-1=a-1·a=1。

證明：若1和1’都是單位元素，則1’=1·1’=1，故1’=1。若b和c都有a-1的性質(zhì)，則b=b·1=b·（a·c）=（b·a）·c=1·c=c，故b=c。群中，（a-1）-1=a,(a·b)-1=b-1·

a-1。

6.2.3群的性質(zhì)--（1）定理6.2.2群定義中的條件（1）和（2）可以減弱如下：（1）’G中有一個(gè)元素左壹適合1·a=a;（2）’

對(duì)于任意a，有一個(gè)元素左逆a-1適合

a-1·a=1。

證明：只要證明由（1）’、（2）’（和其余的條件聯(lián)合）可以推出（1）和（2），即只需證明a·1=a和a·a-1=1。6.2.3群的性質(zhì)--（2）先證a·a-1=1。因?yàn)椋╝-1·a）·a-1=1·a-1=a-1，故（a-1·a）·a-1=a-1。由（2）’，

a-1也應(yīng)該有一個(gè)左逆適合b·a-1=1于是，一方面有：b·(（a-1·a）·a-1）)=b·a-1=l，另一方面有：b·（（a-1·a）·a-1）=(b·a-1)·(a·a-1)=1·（a·a-1）=a·a-1，因此，a·a-1=1。再證a·1=a。a·1=a·(a-1·a)=(a·a-1)·a=1·a=a。證明定理6.2.3群定義中的條件（1）和（2）等于下列可除條件：對(duì)于任意a，b，有χ使χ·a=b，又有y使a·y=b。證明：首先證明在任一群中可除條件成立。因?yàn)?，取?b·a-1，y=a-1·b，即得χ·a=b，a·y=b，故，由（1）和（2）可以推出可除條件成立。6.2.3群的性質(zhì)--（3）證明再證明由可除條件也可以推出（1）’，（2）’，因而可以推出（1），（2）。取任意c∈G，命1為適合х·c=c的х，則1·c=c。今對(duì)于任意a，有y使c·y=a，故1·a=1·（c·y）=（1·c）·y=c·y=a，即（1）’成立。令a-1為適合х·a=1的х，則a-1·a=1，故（2）’

成立。

定理6.2.4

設(shè)G是一個(gè)群，在一個(gè)乘積a1…an中可以任意加括號(hào)而求其值。證明：

只要證明任意加括號(hào)而得的積等于按次序由左而右加括號(hào)所得的積（…（（a1·a2）·a3）…·an-1）·an

（1）

用數(shù)學(xué)歸納法證明。n=1，2，3，命題顯然。假定對(duì)少于n個(gè)因子的乘積（1）式成立，以下證對(duì)n個(gè)因子的乘積（1）式也成立。6.2.3群的性質(zhì)--（4）

設(shè)A為由a1…an任意加括號(hào)而得到的乘積，往證A等于（1）式。設(shè)在A中最后一次計(jì)算是前后兩部分B與C相乘：A=（B）·（C）

由歸納假設(shè)，C等于按次序自左而右加括號(hào)所得的乘積（D）·an。由結(jié)合律，

A=(B)·(c)=(B)·((D)·an)=((B)·(D))·an。證明（B）·（D）的因子個(gè)數(shù)小于n，再由歸納假設(shè)，(B)·(D)等于按次序由左而右加括號(hào)所得的乘積：(B)·(D)=(…((a1·a2)·a3)…·an-2)·an-1因而A=((B)·(D))·an=((…((a1·a2)

·a3)…·an-2)

·an-1)

·an即A等于（1）式。

證明6.2.3群的性質(zhì)--（5）n個(gè)a連乘所得的積稱為a的n次方，記為an。規(guī)定:

a0=1，a-n=（an）-1。對(duì)于任意整數(shù)m，n，下面定律成立第一指數(shù)律：am·an=am+n，第二指數(shù)律：（am）n=amn但一般群中第三指數(shù)律(a·b)n=an·bn不成立。Abel群

若群（G，·）的運(yùn)算·適合交換律，則稱（G，·）為Abel群或交換群。

例.

整數(shù)加法群為Abel群。實(shí)數(shù)域上所有n階非奇異矩陣的集合在矩陣的乘法下不是Abel群。6.2.3群的性質(zhì)—

（6:Abel群中的性質(zhì)）天才的挪威數(shù)學(xué)家Abel定理6.2.5在一個(gè)Abel群（G，·）中，一個(gè)乘積可以任意顛倒因子的次序而求其值。

證明：考慮一個(gè)乘積a1·…·an。設(shè)σ是{1，…，n}上的一個(gè)一對(duì)一變換，欲證

aσ（1）·…·aσ（n）=a1·…·an

對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法，n=1時(shí)定理顯然成立。假定n-1時(shí)定理已真，證明n時(shí)定理亦真。6.2.3群的性質(zhì)—

（6:Abel群中的性質(zhì)）設(shè)將a1·…·an中各因子任意顛倒次序而得一式P=aσ（1）·…·aσ（n）因子an必在P中某處出現(xiàn)，因而P可以寫(xiě)成

P=（P′）·an·（P″）Pˊ或P″中可能沒(méi)有元素，但照樣適用以下的論證，由交換律，P=Pˊ·（an·P″）=Pˊ·（P″·an）=（Pˊ·P″）·an，現(xiàn)在Pˊ·P″中只有n-1個(gè)元素a1，…，an-1，只不過(guò)次序有顛倒，故由歸納法假定，Pˊ·P″=a1·…·an-1。因此，P=（Pˊ·P″）·an=a1·…·an-1·an，從而歸納法完成，定理得證。在Abel群中，第三指數(shù)律成立：(a·b)m=am·bm，m為任意整數(shù)。6.2.3群的性質(zhì)—

（6:Abel群中的性質(zhì)）加法群:(G,+)

永遠(yuǎn)假定加法群是一個(gè)Abel群乘法群加法群1