初中數(shù)學(xué)競賽知識點

初中數(shù)學(xué)競賽知識點歸納

一、數(shù)的整除(一)

如果整數(shù)A除以整數(shù)B(BWO)所得的商A/B是整數(shù)，那么叫做A被B整除.0能

被所有非零的整數(shù)整除.

一些數(shù)的整除特征

除數(shù)能被整除的數(shù)的特征

2或5末位數(shù)能被2或5整除

4或25末兩位數(shù)能被4或25整除

8或末三位數(shù)能被8或125整除

125

3或9各位上的數(shù)字和被3或9整除(如771,54324)

奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減，其差能被11整

11除

(如143,1859,1287,908270等)

7,11,13從右向左每三位為一段，奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)

和相減，其差能被7或11或13整除.(如1001,22743,

17567,21281等)

能被7整除的數(shù)的特征：

①抹去個位數(shù)②減去原個位數(shù)的2倍③其差能被7整除。

如1001100—2=98(能被7整除)

又如7007700-14=686,68-12=56(能被7整除)

能被11整除的數(shù)的特征：

①抹去個位數(shù)②減去原個位數(shù)③其差能被11整除

如1001100—1=99(能11整除)

又如102851028-5=1023102-3=99(能11整除)

二、倍數(shù).約數(shù)

1兩個整數(shù)A和B(BW0),如果B能整除A(記作BIA),那么A叫做B的

倍數(shù)，B叫做A的約數(shù)。例如3I15,15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。

2因為0除以非0的任何數(shù)都得0,所以0被非0整數(shù)整除。0是任何非0整數(shù)

的倍數(shù)，非0整數(shù)都是0的約數(shù)。如0是7的倍數(shù)，7是0的約數(shù)。

3整數(shù)A(AW0)的倍數(shù)有無數(shù)多個，并且以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)，0,±A,

±2A,……都是A的倍數(shù)，例如5的倍數(shù)有±5,±10,……。

4整數(shù)A(AW0)的約數(shù)是有限個的，并且也是以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)的，其

中必包括士1和土A。例如6的約數(shù)是±1,±2,±3,±6o

5通常我們在正整數(shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最

犬的公約數(shù)。

6公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)(例如15與28互質(zhì))。

7在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)=除數(shù)X商數(shù)+余數(shù)若用字母表示可記作：

A=BQ+R,當(dāng)A,B,Q,R都是整數(shù)且BW0時，A—R能被B整除

例如23=3X7+2貝U23-2能被3整除。

三、質(zhì)數(shù).合數(shù)

1正整數(shù)的一種分類：

質(zhì)數(shù)的定義：如果一個大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個正

整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱素數(shù)）。

合數(shù)的定義：一個正整數(shù)除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除,

這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。

2根據(jù)質(zhì)數(shù)定義可知

①質(zhì)數(shù)只有1和本身兩個正約數(shù)，

②質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù)2

如果兩個質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)那么其中必有一個是2,

如果兩個質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)那么其中也必有一個是2,

3任何合數(shù)都可以分解為幾個質(zhì)數(shù)的積。能寫成幾個質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合

數(shù)。

四、零的特性

一，零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是介于正數(shù)和負(fù)數(shù)之間的唯一中性數(shù)。零

是自然數(shù)，是整數(shù)，是偶數(shù)。

1,零是表示具有相反意義的量的基準(zhǔn)數(shù)。

例如：海拔0米的地方表示它與基準(zhǔn)的海平面一樣高

收支衡可記作結(jié)存0元。

2,零是判定正、負(fù)數(shù)的界限。

若a>0則a是正數(shù)，反過來也成立，若a是正數(shù)，則a>0

記作a>0oa是正數(shù)讀作a>0等價于a是正數(shù)

b<0<=>b是負(fù)數(shù)

c20oc是非負(fù)數(shù)（即c不是負(fù)數(shù)，而是正數(shù)或0）

d<0od是非正數(shù)（即d不是正數(shù)，而是負(fù)數(shù)或0）

ewOoe不是0（即e不是0,而是負(fù)數(shù)或正數(shù)）

3,在一切非負(fù)數(shù)中有一個最小值是0。

例如絕對值、平方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，它們的最小值都是0。

記作：|a|20,當(dāng)a=0時，lai的值最小,是0,

a2^0,a?有最小值0（當(dāng)a=0時）。

4,在一切非正數(shù)中有一個最大值是0o

例如一|xiwo,當(dāng)x=o時，一|X|值最大，是o,（...xwo時都是負(fù)數(shù)），

-（X-2）2<0,當(dāng)X=2時，一（X—2）2的值最大，是0。

二，零具有獨特的運算性質(zhì)

1,乘方：零的正整數(shù)次幕都是零。

2,除法：零除以任何不等于零的數(shù)都得零；

零不能作除數(shù)。從而推出，0沒有倒數(shù)，分?jǐn)?shù)的分母不能是0。

3,乘法：零乘以任何數(shù)都得零。即aX0=0,

反過來如果ab=0,那么a、b中至少有一個是0。

要使等式xy=0成立，必須且只需x=0或y=0o

4,加法互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。反過來也成立。

即a、b互為相反數(shù)oa+b=0

5,減法兩個數(shù)a和b的大小關(guān)系可以用它們的差的正負(fù)來判定，

若a-b=O,則a=b;若a-b>0,則a>b;若a-b〈O,則a<bo

反過來也成立,當(dāng)a=b時，a-b=O；當(dāng)a>b時,a-b>0；當(dāng)a<b時,a-b<0.

三，在近似數(shù)中，當(dāng)0作為有效數(shù)字時，它表示不同的精確度。

例如近似數(shù)1.6米與1.60米不同，前者表示精確到0.1米(即1分米)，

誤差不超過5厘米；后者表示精確到0.01米(即1厘米)，誤差不超過5毫米。

可用不等式表示其值范圍如下：

1.55W近似數(shù)1.6<1.651.595〈近似數(shù)1.60<1605

五、an的個位數(shù)

.1.整數(shù)a的正整數(shù)次累祝它的個位數(shù)字與a的末位數(shù)的n次基的個位數(shù)字相同。

例如20023與23的個位數(shù)字都是8o

2.0,1,5,6,的任何正整數(shù)次基的個位數(shù)字都是它們本身。例如57的個位數(shù)

是5,62。的個位數(shù)是6。

3.2,3,7的正整數(shù)次累的個位數(shù)字的規(guī)律見下表：

指數(shù)

12345678910.......

底22486248624.......

33971397139.......

數(shù)77931793179.......

其規(guī)律是：2的正整數(shù)次幕的個位數(shù)是按2、4、8、6四個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，即24k+1

與2124K+2與22,2張+3與23,2軌+4與的個位數(shù)是相同的(K是正整數(shù))。3

和7也有類似的性質(zhì)。

4.4,8,9的正整數(shù)次嘉的個位數(shù)，可仿照上述方法，也可以用4=22,

8=23,9=32轉(zhuǎn)化為以2、3為底的幕。

5.綜上所述，整數(shù)a的正整數(shù)次基的個位數(shù)有如下的一般規(guī)律：

a4K+m與的個位數(shù)相同(k,m都是正整數(shù))

六、數(shù)學(xué)符號

數(shù)學(xué)符號是表達(dá)數(shù)學(xué)語言的特殊文字。每一個符號都有確定的意義，即當(dāng)我們把

它規(guī)定為某種意義后，就不再表示其他意義。

數(shù)學(xué)符號一般可分為：

1,元素符號：通常用小寫字母表示數(shù)，用大寫字母表示點，用。和△表示

園和三角形等。

2,關(guān)系符號：如等號，不等號，相似s,全等絲，平行〃，垂直，等。

3,運算符號：如加、減、乘、除、乘方、開方、絕對值等。

4,邏輯符號：略

5,約定符號和輔助符號：例如我們約定正整數(shù)a和b中，如果a除以b的

商的整數(shù)部份記作Z(-),而它的余數(shù)記作R(-),那么

bb

Z(y)=3,R(y)=1；又如設(shè)國表示不大于X的最大整數(shù)，那么[5.2]

=5,[-5.2]=-6,=°，[-3]=-3o

正確使用符號的關(guān)健是明確它所表示的意義(即定義)

對題設(shè)中臨時約定的符號，一定要扣緊定義，由簡到繁，由淺入深，由

具體到抽象，逐步加深理解。

在解題過程中為了簡明表述，需要臨時引用輔助符號時，必須先作出明確的

定義，所用符號不要與常規(guī)符號混淆。

七、用字母表示數(shù)

L用字母表示數(shù)最明顯的好處是能把數(shù)量間的關(guān)系簡明而普遍地表達(dá)出來，從

具體的數(shù)字計算到用抽象的字母概括運算規(guī)律上，是一種飛躍。

2,用字母表示數(shù)時，字母所取的值，應(yīng)使代數(shù)式有意義，并使它所表示的實際

問題有意義。

例如①寫出數(shù)a的倒數(shù)②用字母表示一切偶數(shù)

解：①當(dāng)aWO時，a的倒數(shù)是,

a

②設(shè)n為整數(shù)，2n可表示所有偶數(shù)。

3,命題中的字母，一般要注明取值范圍，在沒有說明的情況下，它表示所學(xué)過

的數(shù)，并且能使題設(shè)有意義。

例題①化簡：⑴Ix—3I(x<3)⑵|x+5|

解：(l)Vx<3,/.x-3<0,

Ix—3I=—(x-3)=~x+3

⑵當(dāng)x?—5時，Ix+5I=x+5,

當(dāng)x<-5時，Ix+5I=-x—5(本題x表示所有學(xué)過的數(shù))

例②己知十位上的數(shù)是a,個位數(shù)是b,試寫出這個兩位數(shù)

解：這個兩位數(shù)是10a+b

(本題字母a、b的取值是默認(rèn)題設(shè)有意義，即a表示1到9的整數(shù)，b表

示0到9的整數(shù))

4,用字母等式表示運算定律、性質(zhì)、法則、公式時，一般左邊作為題設(shè)，所用

的字母是使左邊代數(shù)式有意義的，所以只對變形到右邊所增加的字母的取值

加以說明。

例如用字母表示：①分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)②分?jǐn)?shù)除法法則

解：①分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是？=^(mW0),2=絲二(mW0)

aamaa-i-m

a作為左邊的分母不另說明a#0,

②2+&=2x￡(dwo)d在左邊是分子到了右邊變分母，故另加說明。

acad

5,用字母等式表示運算定律、性質(zhì)、法則、公式，不僅可從左到右順用，還可

從右到左逆用；公式可以變形，變形時字母取值范圍有變化時應(yīng)加說明。例

如：

乘法分配律，順用a(b+c)=ab+ac,-(16—-24x—)=2—

81717171717

逆用5a+5b=5(a+b),6.25X3.14-5.25X3.14=3.14(6.25-5.25)=3.14

路程S二速度VX時間T,V=—（TWO）,T=±（VWO）

TV

6,用因果關(guān)系表示的性質(zhì)、法則，一般不能逆用。

例如：加法的符號法則如果a〉0,b>0,那么a+b〉O,不可逆

絕對值性質(zhì)如果a>0,那么|a|=a也不可逆（若|a|=a則a20）

7,有規(guī)律的計算，?？捎米帜副硎酒浣Y(jié)果，或概括成公式。

例1：正整數(shù)中不同的五位數(shù)共有幾個？不同的n位數(shù)呢？

解：不同的五位數(shù)可從最大五位數(shù)99999減去最小五位數(shù)10000前的所有正整

數(shù),即數(shù)999-9999=90000.

推廣到n位正整數(shù)，則要觀察其規(guī)律

一位正整數(shù)，從1到9共9個，記作9X1

二位正整數(shù)從10到99共90個，記作9X10

三位正整數(shù)從100到999共900個，記作9義IO?

四位正整數(shù)從1000到9999共9000個，記作9X1（）3（指數(shù)3=44）

；.n位正整數(shù)共9義104個

例2________________________

ACDEB

在線段AB上加了3個點C、D、E后，圖中共有幾條線段？加n點呢？

條

共4

解：以A為一端的線段有：AC、AD、AE、AB

條

共3

以C為一端的線段有：（除CA外）CD、CE、CB

條

共2

以為一端的線段有：（除、外）、

條

DDCDADEDB共

1

以E為一端的線段有：（除ED、EC、EA外）EB

共有線段1+2+3+4=10（條）注意：3個點時，是從1加到4,因此

如果是n個點，則共有線段1+2+3+……+n+l==迎主義條

22

八、抽屜原則

1,4個蘋果放進(jìn)3個抽屜，有一種必然的結(jié)果：至少有一個抽屜放進(jìn)的蘋果不

少于2個（即等于或多于2個）；如果7個蘋果放進(jìn)3個抽屜，那么至少有一

個抽屜放進(jìn)的蘋果不少于3個（即的等于或多于3個），這就是抽屜原則的例

子。

2,如果用忱｝表示不小于%的最小整數(shù)，例如%｝=3,%｝=2。那么抽屜

原則可定義為：m個元素分成n個集合（m、n為正整數(shù)m〉n），則至少有一

個集合里元素不少于個。

3,根據(jù)像｝的定義，己知m、n可求%｝；

己知忱｝，則可求%的范圍，例如己知忱｝=3,那么2V%<3；己知何｝

=2,則IV%W2,即3<xW6,x有最小整數(shù)值4

九、一元一次方程解的討論

1,方程的解的定義：能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如：方程2x+6=0,x(x-1)=0,岡=6,0x=0,0x=2的解

分別是：x=—3,x=0或x=l,x=±6,所有的數(shù)，無解。

2,關(guān)于x的一元一次方程的解(根)的情況：化為最簡方程ax=b后，

討論它的解：當(dāng)a#0時，有唯一的解x=-；

a

當(dāng)a=0且bWO時，無解；

當(dāng)a=0且b=0時，有無數(shù)多解。I.?不論x取什么值，0x=0都成立)

3,求方程ax=b(aWO)的整數(shù)解、正整數(shù)解、正數(shù)解

當(dāng)aIb時，方程有整數(shù)解；

當(dāng)a1b,且a、b同號時，方程有正整數(shù)解；

當(dāng)a、b同號時，方程的解是正數(shù)。

綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應(yīng)先化為最簡方程ax=b

十、二元一次方程的整數(shù)解

1,二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax+by=c中，

若a,b的最大公約數(shù)能整除c,則方程有整數(shù)解。即

如果(a,b)|c則方程ax+by=c有整數(shù)解

顯然a,b互質(zhì)時一定有整數(shù)解。

例如方程3x+5y=l,5x-2y=7,9x+3y=6都有整數(shù)解。

返過來也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=l都沒有整數(shù)解，

(9,3)=3,而3不能整除10；(4,2)=2,而2不能整除1。

一般我們在正整數(shù)集合里研究公約數(shù)，(a,b)中的a,b實為它們的絕對值。

2,二元一次方程整數(shù)解的求法：

若方程ax+by=c有整數(shù)解，一般都有無數(shù)多個，常引入整數(shù)k來表示它的通解

(即所有的解)。k叫做參變數(shù)。

方法一，整除法：求方程5x+lly=l的整數(shù)解

解：(1),

555

設(shè)一=-女是整數(shù))，則y=l-5k(2),

把(2)代入(1)Wx=k-2(l-5k)=llk-2

Y=]-2

.?.原方程所有的整數(shù)解是(k是整數(shù))

y=1-52

方法二，公式法：

設(shè)ax+by=(^整數(shù)解尸=*°則通解是5=*°+尿(xo,yo可用觀察法)

7=NoU=%-ak

3,求二元一次方程的正整數(shù)解：

①出整數(shù)解的通解，再解x,y的不等式組，確定k值

②用觀察法直接寫出。

十一、二元一次方程組解的討論

1.二元一次方程組卜/+仿的解的情況有以下三種：

a2x+b2y=c2

①當(dāng)幺=a=￡t時，方程組有無數(shù)多解。（?.?兩個方程等效）

a2b2c2

②當(dāng)曳=時,方程組無解。（?.?兩個方程是矛盾的）

a2b2c2

③當(dāng)幺工土（即aib2—azbiWO）時，方程組有唯一的解:

a2b2

c}b2-c2b]

1221（這個解可用加減消元法求得）

'a[b2-a2b1

2.方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，一般是不定解，即有無數(shù)多解，若要求整

數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進(jìn)行。

求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當(dāng)己知

數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。

十二、用交集解題

1.某種對象的全體組成一個集合。組成集合的各個對象叫這個集合的元素。例

如6的正約數(shù)集合記作{6的正約數(shù)}={1,2,3,6},它有4個元素1,2,

3,6；除以3余1的正整數(shù)集合是個無限集，記作{除以3余1的正整數(shù)}

={1,4,7,10……},它的個元素有無數(shù)多個。

2.由兩個集合的所有公共元素組成的一個集合，叫做這兩個集合的交集

例如6的正約數(shù)集合A={1,2,3,6},10的正約數(shù)集合B={1,2,5,

10）,6與10的公約數(shù)集合C={1,2},集合C是集合A和集合B的交集。

3.幾個集合的交集可用圖形形象地表示，一一_

右圖中左邊的橢圓表示正數(shù)集合，/IE盲\

右邊的橢圓表示整數(shù)集合，中間兩個ffl（圓數(shù)?（鬻）婁攵）

的公共部分，是它們的交集一一正整皿隼集7

不等式組的解集是不等式組中各個不等式解輸交集K一'

例如不等式組⑴解的集合就是

-x<2…⑵

不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x>2的交集，x>3.

如數(shù)軸所示：一一--------------

023

4.一類問題，它的答案要同時符合幾個條件，一般可用交集來解答。把符合每

個條件的所有的解（即解的集合）分別求出來，它們的公共部分（即交集）就是

所求的答案。

有時可以先求出其中的一個（一般是元素最多）的解集再按其他條件逐一篩選、

剔除，得答案。

十三、用枚舉法解題

有一類問題的解答，可依題意一一列舉，并從中找出規(guī)律。列舉解答要注意：

①按一定的順序，有系統(tǒng)地進(jìn)行；

②分類列舉時，要做到既不重復(fù)又不違漏；

③遇到較大數(shù)字或抽象的字母，可從較小數(shù)字入手，由列舉中找到規(guī)律。

十四、經(jīng)驗歸納法

1.通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、研究問題的方法叫做歸納法。

通過有限的幾個特例，觀察其一般規(guī)律，得出結(jié)論，它是一種不完全的歸納法,

也叫做經(jīng)驗歸納法。例如

①由(-1)2=1,(―1)3=—1,(―1)4=1,....,

歸納出一1的奇次暴是一1,而一1的偶次累是1。

②由兩位數(shù)從10到99共90個(9X10),

三位數(shù)從100至U999共900個(9X102),

四位數(shù)有9X103=9000個(9X103),

歸納出n位數(shù)共有9X1()2(個)

③由1+3=22,1+3+5=32,*3+5+7=42...

推斷出從1開始的n個速續(xù)奇數(shù)的和等于產(chǎn)等。

可以看出經(jīng)驗歸納法是獲取新知識的重要手段，是知識攀緣前進(jìn)的階梯。

2.經(jīng)驗歸納法是通過少數(shù)特例的試驗，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論，要使規(guī)律明朗化,

必須進(jìn)行足別次數(shù)的試驗。

由于觀察產(chǎn)生的片面性，所猜想的結(jié)論，有可能是錯誤的，所以肯定或否定

猜想的結(jié)論，都必須進(jìn)行嚴(yán)格地證明。(到高中，大都是用數(shù)學(xué)歸納法證明)

十五、乘法公式

1.乘法公式也叫做簡乘公式，就是把一些特殊的多項式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，

直接應(yīng)用。

公式中的每一個字母，一般可以表示數(shù)字、單項式、多項式，有的還可以推

廣到分式、根式。

公式的應(yīng)用不僅可從左到右的順用(乘法展開)，還可以由右到左逆用(因

式分解)，還要記住一些重要的變形及其逆運算一一除法等。

2.基本公式就是最常用、最基夠的公式，并且可以由此而推導(dǎo)出其他公式。

完全平方公式：(a士b)2=a2±2ab+b2,

平方差公式：(a+b)(a—b)=a2—b2

立方和(差)公式：(a土b)差不ab+b2)=a3±b?

3.公式的推廣：

①多項式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即：多項式平方等于各項平方和加上每兩項積的2倍。

②二項式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4)

(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3+5ab4±b5)

注意觀察右邊展開式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律

③由平方差、立方和(差)公式引伸的公式

(a+b)(a3—a2b+ab2—b3)=a4—b4

(a+b)(a4—a3b+a2b2—ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5—a4b+a3b2—a2b3+ab4—b5)=a6—b6

注意觀察左邊第二個因式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律

在正整數(shù)指數(shù)的條件下，可歸納如下：設(shè)n為正整數(shù)

(a+b)(a2n1—a2n2b+a2n3b2—+ab2n2一b2n1)=a2n—b2n

(a+b)(a2n--a2n1b+a2n_2b2—?一ab2n-1+b2n)=a2n+l+b2n+l

類似地：

(a-b)(an^l+an-2b+an-;,b2+",+abr'_2+bn^l)=an—bn

4.公式的變形及其逆運算

由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab

由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3—3ab(a+b)

由公式的推廣③可知：當(dāng)n為正整數(shù)時

an-bn能被a-b整除，

a2n+l+b2n+l能被a+b整除，

a2n—b2n能被a+b及a—b整除。

十六、整數(shù)的一種分類

1.余數(shù)的定義：在等式A=mB+r中，如果A、B是整數(shù)，m是正整數(shù)，

r為小于m的非負(fù)整數(shù)，那么我們稱r是A除以m的余數(shù)。

即：在整數(shù)集合中被除數(shù)=除數(shù)X商十余數(shù)(0W余數(shù)(除數(shù))

例如：13,0,-1,一9除以5的余數(shù)分別是3,0,4,1

(—1=5(—1)+4。一9=5(—2)+1o)

2.顯然，整數(shù)除以正整數(shù)m,它的余數(shù)只有m種。

例如整數(shù)除以2,余數(shù)只有0和1兩種，除以3則余數(shù)有0、1、2三種。

3.整數(shù)的一種分類：按整數(shù)除以正整數(shù)m的余數(shù)，分為m類，稱為按模m分

類。例如：

m=2時，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩類，記作{2k},{2k-l}(k為整數(shù))

m=3時,分為三類,記作{3k},{3k+l},{3k+2}.

或{3k},{3k+l},{3k-l)其中{3k—l}表示除以3余2。

m=5時,分為五類，{5k}.{5k+l},{5k+2},{5k+3},{5k+4}

或{5k},{5k±l),{5k±2},其中5k-2表示除以5余3。

4.余數(shù)的性質(zhì)：整數(shù)按某個模m分類，它的余數(shù)有可加，可乘，可乘方的運算

規(guī)律。

舉例如下：

①(3ki+l)+(3k2+l)=3(ki+k2)+2(余數(shù)1+1=2)

②(4ki+l)(4k2+3)=4(4kik2+3ki+k2)+3(余數(shù)1X3=3)

③(5k±2)2=25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4(余數(shù)22=4)

以上等式可敘述為：

①兩個整數(shù)除以3都余1,則它們的和除以3必余2。

②兩個整數(shù)除以4,分別余1和3,則它們的積除以4必余3。

③如果整數(shù)除以5,余數(shù)是2或3,那么它的平方數(shù)除以5,余數(shù)必是

4或9。

余數(shù)的乘方，包括一切正整數(shù)次暴。

如：?.?17除以5余2,176除以5的余數(shù)是4(26=64)

5.運用整數(shù)分類解題時，它的關(guān)維是正確選用模m。

十七、奇數(shù)偶數(shù)

1.奇數(shù)和偶數(shù)是在整數(shù)集合里定義的，能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)，如2,0-2-,

不能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)，如一1,1,3。

如果n是整數(shù)，那么2n是偶數(shù)，2n—l或2n+l是奇數(shù)。如果n是正整數(shù)，

那么2n是正偶數(shù)，2n-l是正奇數(shù)。

2.奇數(shù)、偶數(shù)是整數(shù)的一種分類?？杀硎緸?

整數(shù)或整數(shù)集

偶數(shù)

這就是說，在整數(shù)集合中是偶數(shù)就不是奇數(shù)，不是偶數(shù)就是奇數(shù)，如果既不是

偶數(shù)又不是奇數(shù)，那么它就不是整數(shù)。

3.奇數(shù)偶數(shù)的運算性質(zhì)：

奇數(shù)土奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)土偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)土偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)義奇數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)的正整數(shù)次幕是奇數(shù)，偶數(shù)的正整數(shù)次事是偶數(shù)，

兩個速續(xù)整數(shù)的和是奇數(shù)，積是偶數(shù)。

十八、式的整除

1.定義：如果一個整式除以另一個整式所得的商式也是一個整式，并且余式是

零，則稱這個整式被另一個整式整除。

2.根據(jù)被除式=除式X商式+余式，設(shè)f(x),p(x),q(x)都是含x的整式，

那么式的整除的意義可以表示為：

若f(x)=p(x)Xq(x),則稱f(x)能被p(x)和q(x)整除

例如:”?一3x~4=(x—4)(x+1),

...x2—3x—4能被(x—4)和(x+1)整除。

顯然當(dāng)x=4或x=—1時X?—3x—4=0,

3.一般地，若整式f(x)含有x-a的因式，則f(a)=0

反過來也成立，若f(a)=0,則x—a能整除f(x)。

4.在二次三項式中

若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab貝Up=a+b,q=ab

在恒等式中，左右兩邊同類項的系數(shù)相等。這可以推廣到任意多項式。

十九、因式分解

我們學(xué)過因式分解的四種基本方法：提公因式法，運用公式法，十字相乘法，分

組分解法。下面再介貂兩種方法

1.添項拆項。是.為了分組后，能運用公式(包括配方)或提公因式

例1因式分解：①x4+x2+l②a3+b3+c3—3abc

①分析：x,+l若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4+x2+1=x4+2x2+1—x2=(x2+1)2—x2=(x2+1+x)(x2+1—x)

②分析：a3+t?要配成(a+b)3應(yīng)添上兩項3a2b+3ab?

解：a3+b3+c3—3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3—3abc—3a2b—3ab2

=(a+b)3+c3—3ab(a+b+c)

=(a+b+c)E(a+b)2—(a+b)c+c21—3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2—ab-ac—be)

例2因式分解：①x3—llx+20②a5+a+l

①分析：把中項一Ux拆成一16x+5x分別與x5,20組成兩組，則有公因式可提。

(注意這里16是完全平方數(shù))

②解：x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4)

=x(x+4)(x—4)+5(x+4)=(x+4)(x2—4x+5)

③分析：添上一a?和a?兩項，分別與a5和a+1組成兩組，正好可以用立方差

公式

解：a5+a+l=a5—a2+a2+a+1=a2(a3—1)+a2+a+1

=a2(a—1)(a2+a+l)+a2+a+1=(a2+a+l)(a3—a2+l)

2.運用因式定理和待定系數(shù)法

定理:⑴若x=a時,f(x)=O,[即f(a)=O],則多項式f(x)有一次因式x—a

⑵若兩個多項式相等，則它們同類項的系數(shù)相等。

例3因式分解：①x3—5X2+9X-6②2X3—13X2+3

①分析：以x=±l,±2,±3,±6(常數(shù)6的約數(shù))分別代入原式，若值為0,則

可找到一次因式，然后用除法或待定系數(shù)法，求另一個因式。

解：?；x=2時，X3—5x2+9x—6=0..,.原式有一次因式x—2,

x3—5X2+9X—6=(x—2)(X2—3x+3,)

②分析：用最高次項的系數(shù)2的約數(shù)±1,±2分別去除常數(shù)項3的約數(shù)

±1,±3得商士1,±2,±-,再分別以這些商代入原式求值，

22

可知只有當(dāng)x=，時，原式值為0。故可知有因式2x-l

2

解：?.?x=L時，2x3—13x2+3=0,.?.原式有一次因式2X—1,

2

2

設(shè)2x3—13x?+3=(2X—1)(x+ax—3),(a是待定系數(shù))

比較右邊和左邊x?的系數(shù)得2a-l=-13,a=-6

2x3—13x+3=(2x—1)(x2—6x—3)。

例4因式分解2x2+3xy—9y2+14x—3y+20

V2x2+3xy—9y2=(2x—3y)(x+3y),用待定系數(shù)法，可設(shè)

2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+a)(x+3y+b),a,b是待定的系數(shù)，

比較右邊和左邊的x和y兩項的系數(shù)，得

a+2。=14a=4

解得

3a—3b=—3b=5

2x2+3xy—9y2+14x—3y+20=(2x—3y+4)(x+3y+5)

又解：原式=2x2+(3y+14)x—(9y2+3y—20)這是關(guān)于x的二次三項式

常數(shù)項可分解為一(3y—4)(3y+5),用待定系數(shù)法，可設(shè)

2x2+(3y+14)x—(9y2+3y—20)=[mx—(3y—4)][nx+(3y+5)]

比較左、右兩邊的x2和X項的系數(shù)，得m=2,n=l

/.2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)

二十、代數(shù)恒等式的證明

證明代數(shù)恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法兩種相反的恒等變形，要特別

注意運用乘法公式和等式的運算法則、性質(zhì)。

具體證法一般有如下幾種

1.從左邊證到右邊或從右邊證到左邊，其原則是化繁為簡。變形的過程中要不

斷注意結(jié)論的形式。

2.把左、右兩邊分別化簡，使它們都等于第三個代數(shù)式。

3.證明：左邊的代數(shù)式減去右邊代數(shù)式的值等于零。即由左邊一右邊=0可得

左邊=右邊。

4,由己知等式出發(fā)，經(jīng)過恒等變形達(dá)到求證的結(jié)論。還可以把己知的條件代入

求證的一邊證它能達(dá)到另一邊，

二H—、比較大小

1.比較兩個代數(shù)式的值的大小，一般要按字母的取值范圍進(jìn)行討論，常用求差

法。根據(jù)不等式的性質(zhì)：

當(dāng)a—b>0時，a>b；當(dāng)a—b=0時，a=b；當(dāng)a—b<0時a<b。

2.通常在寫成差的形式之后，用因式分解化為積的形式，然后由負(fù)因數(shù)的個數(shù)

決定其符號。

3.需要討論的可借助數(shù)軸，按零點分區(qū)。

4.實數(shù)(有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱)的平方是非負(fù)數(shù)，在決定符號時常用到它。

即若a是實數(shù)，則a?2。，由此而推出一系列絕對不等式(字母不論取什么值,

永遠(yuǎn)成立的不等式)。諸如

?3

(a—b)2?0,a2+l>0,a2+a+l=(a+-)2+->0

24

—a2^0,—(a2+a+2)<0當(dāng)aWb時，一(a-b)2<0

二十二、分式

1.除式含有字母的代數(shù)式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值

確定的。

⑴分式a中，當(dāng)BW0時有意義；當(dāng)A、B同號時值為正，異號時值為負(fù)，反過

B

來也成立。分子、分母都化為積的形式時，分式的符號由它們中的負(fù)因數(shù)的個數(shù)

來確定。

(2)若A、B及2都是整數(shù)，那么A是B的倍數(shù)，B是A的約數(shù)。

B

(3)一切有理數(shù)可用《■來表示，其中A是整數(shù)，B是正整數(shù)，且A、B互質(zhì)。

2.分式的運算及恒等變形有一些特殊題型，要用特殊方法解答方便。

二十三、遞推公式

1.先看一例：a尸b,a?=—,a3=-一...an+i=—-這里ai,a2,a3.......an,an+i是對應(yīng)于

a\a2an

正整數(shù)1,2,3……n,n+l的有序的一列數(shù)(右下標(biāo)的數(shù)字表示第幾項)，這一列

數(shù)只要給出某一項數(shù)值，就可以推出其他各項數(shù)值。

71|

例如：若ai=10,則a2=—=—,a3=10,a4=—,as=10.......

1055

2.為了計算的方便，通常把遞推公式寫成以ai和n表示an的形式，這可用經(jīng)驗歸

納法。例如：把遞推公式an+i=an+5改為用ai和n來表示

a2=ai+5,a3=a2+5=(ai+5)+5=ai+2X5,a4=a3+5=(ai+2X5)+5=ai+3X5

......./.an=ai+(n-l)5

如果已知ai=10,求azo,顯然代入這一公式方便。A2O=1O+19X5=1O5

3.有一類問題它與正整數(shù)的順序有關(guān)，可尋找遞推公式求解，這叫遞推法。

二十四、連續(xù)正整數(shù)的性質(zhì)

一.兩個連續(xù)正整數(shù)

1.兩個連續(xù)正整數(shù)一定是互質(zhì)的，其商是既約分?jǐn)?shù)。

2.兩個連續(xù)正整數(shù)的積是偶數(shù)，且個位數(shù)只能是0,2,6o

3.兩個連續(xù)正整數(shù)的和是奇數(shù)，差是1。

4.大于1的奇數(shù)都能寫成兩個連續(xù)正整數(shù)的和。例如3=1+2,79=39+40,111

=55+56o

二.計算連續(xù)正整數(shù)的個數(shù)

例如：不同的五位數(shù)有幾個？這是計算連續(xù)正整數(shù)從10000到99999的個數(shù),

它是99999-10000+1=90000(個)

11

Ln位數(shù)的個數(shù)一般可表示為9*10汽11為正整數(shù)，10。=1)

例如一位正整數(shù)從1到9共9個(9X10°),

二位數(shù)從10到99共90個(9X10')

三位數(shù)從100到999共900個(9X102)...

2.連續(xù)正整數(shù)從n到m的個數(shù)是m-n+1

把它推廣到連續(xù)奇數(shù)、連續(xù)偶數(shù)、除以模m有同余數(shù)的連續(xù)數(shù)的個數(shù)的計算,

舉例如下：

3.從13到49的連續(xù)奇數(shù)的個數(shù)是"二上+1=19

2

從13到49的連續(xù)偶數(shù)的個數(shù)是竺士+1=18

2

4.從13到49能被3整除的正整數(shù)的個數(shù)是竺二身+1=12

3

從13到49的正整數(shù)中除以3余1的個數(shù)是"二上+1=13

3

你能從中找到計算規(guī)律嗎?

三.計算連續(xù)正整數(shù)的和

1.1+2+3+……+n=(1+n)-(n是正整數(shù))

2

連續(xù)正整數(shù)從a到b的和記作(a+b)",+l

把它推廣到計算連續(xù)奇數(shù)、連續(xù)偶數(shù)、除以模m有同余數(shù)的和，舉例如下：

2.11+13+15H---F55=(11+55)X—=759('.?從11到55有奇數(shù)土“

22

+1=23個)

3.11+14+17+…+53=(11+53)X”=480('.?從11到53正整數(shù)中除

2

以3余2的數(shù)的個數(shù)共立1+1=15)

3

四.計算由連續(xù)正整數(shù)連寫的整數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字和

1.123456789各數(shù)位上的數(shù)字和是(0+9)+(1+8)+…+(4+5)

=9X5=45

2.1234…99100計算各數(shù)位上的數(shù)字和可分組為:(0,99),(1,98),

(2,97)???(48,51),(49,50)共有50個18,加上100中的1

，各數(shù)位上的數(shù)字和是18X50+1=901

五.連續(xù)正整數(shù)的積

從1開始的n個正整數(shù)的積1X2X3X…Xn記作n!,讀作n的階乘

1.n個連續(xù)正整數(shù)的積能被n!整除，

如11X12X13能被1X2X3整除；97X98X99X100能被4!整除；

a（a+1）（a+2）…（a+n）能被（n+1）!整除。

2.n!含某因質(zhì)數(shù)的個數(shù)。舉例如下：

①1X2X3X…義10的積中含質(zhì)因數(shù)2的個數(shù)共8個

其中2,4,6,8,10都含質(zhì)因數(shù)2暫各計1個，共5個

其中4=22含兩個質(zhì)因數(shù)2增加了1個

其中8=23含三個質(zhì)因數(shù)2再增加2個

②1X2X3X…X130的積中含質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)的計算法

5,10,15,-125,130均含質(zhì)因數(shù)5暫各計1個，共26個

其中25,50,75,100均含52有兩個5各加1個，共4個

其中125=53含三個5再增加2個

...積中含質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)是32

二十五、十進(jìn)制的記數(shù)法

1.十進(jìn)制的記數(shù)法就是用0,1,2…9十個數(shù)碼記數(shù)的方法，位率是逢十進(jìn)一。

底數(shù)為10的各整數(shù)次幕，恰好是十進(jìn)制數(shù)的各個位數(shù)：

10°=1（個位數(shù)一第1位），1。|=10（十位上的數(shù)一第2位），

1。2=100（百位上的數(shù)一第3位），…l（）n（第什1位上的數(shù)）

例如54307記作5X10，+4X103+3X102+0X1O'+7X1O°

2.十進(jìn)制的n位數(shù)（n為正整數(shù)），axa1ai---an記作:

nln2

10ai+l0_a2+10~3+…+]g2an2+1()an-1+an

其中最高位aiWO,即0<aW9,其它是0Wai,a2,a3…anW9

3.各位上的數(shù)字相同的正整數(shù)記法：

例如?.?999=1000—1=1()3—1,9999=1()4—1,-999…9=10M

10"-110"-1

111…1=333…3=

9'"不3'3

4解答有關(guān)十進(jìn)制數(shù)的問題，常遇到所列方程，少于未知數(shù)的個數(shù)，這時需要

根據(jù)各位上的數(shù)字都是表示0到9的整數(shù)，這一性質(zhì)進(jìn)行討論

二十六、選擇題解法（一）

1.選擇題有多種類，這里只研究有唯一答案的選擇題解法。

2.對“有唯一答案”的選擇題解答，一般從兩方面思考：直接選擇正確的答案

或逐一淘汰錯誤的選擇項。

3.判斷的根據(jù)有：運用概念辨析，借助圖形判別，直接推理演算，列舉反例否

定，代入特殊值驗證等等。

4.必須注意：

①先易后難，尋找突破口。

②否定選擇項，只要有一個反例。

③對涉及數(shù)值（包括比較大?。┑倪x擇題，可考慮用符合條件的特殊值代

入判斷，包括利用連續(xù)數(shù)，奇偶數(shù)，平方數(shù)，個位數(shù)等特征。

④概念辨析要注意類同概念的差異，特殊點的取舍，凡分區(qū)討論字母的取

值，要做到既不違漏又不重復(fù)。

⑤能借助圖形判別的，應(yīng)按比例畫出草圖。

二十七、識圖

1.幾何學(xué)是研究物體形狀、大小、位置的學(xué)科。

2.幾何圖形就是點，線，面，體的集合。點是組成幾何圖形的基本元素?！镀矫?/p>

幾何學(xué)》只研究在同一平面內(nèi)的圖形的形狀、大小和相互位置。

3.幾何里的點、線、面、體實際上是不能脫離物體而單獨存在的。因此單獨研究

點、線、面、體，要靠正確的想像

點：只表示位置，沒有大小，不可再分。

線：只有長短，沒有粗細(xì)。線是由無數(shù)多點組成的，即“點動成線”。

面：只有長、寬，沒有厚薄。面是由無數(shù)多線組成的，“線動成面”。

4.因為任何復(fù)雜的圖形，都是由若干基本圖形組合而成的，所以識別圖形的組合

關(guān)系是學(xué)好幾何的重要基礎(chǔ)。

識別圖形包括靜止?fàn)顟B(tài)的數(shù)一數(shù)，量一量，比一比，算一算；運動狀態(tài)中的位

置、數(shù)量的變化，圖形的旋轉(zhuǎn)，摺疊，害肝卜，并合，比較等。還要注意一般圖

形和特殊圖形的差別。

二十八、三角形的邊角性質(zhì)

三角形邊角性質(zhì)主要的有：

1.邊與邊的關(guān)系是：任意兩邊和大于第三邊，任意兩邊差小于第三邊，反過來

要使三條線段能組成一個三角形，必須任意兩條線段的和都大于第三條線段,

即最長邊必須小于其他兩邊和。用式子表示如下：

a+h>c

a,b,c^AABC的邊長o"+c>a>=|a-b\<c<a+b

c+a>b

推廣到任意多邊形：任意一邊都小于其他各邊的和

2.角與角的關(guān)系是：三角形三個內(nèi)角和等于180。；任意一個外角等于和它不相

鄰的兩個內(nèi)角和。

推廣到任意多邊形：四邊形內(nèi)角和=2X180。，五邊形內(nèi)角和=3X18(T

六邊形內(nèi)角和=4X180°n邊形內(nèi)角和=(n—2)180°

3.邊與角的關(guān)系

①在一個三角形中，等邊對等角，等角對等邊；

大邊對大角，大角對大邊。

②在直角三角形中，

△ABC中NC=Rt/oa2+〃=。2（勾股定理及逆定理）

ZC=RtZ]

△ABC中>=a：b：c=l：62

ZA=30°

ZC=RtZ

△ABC中>=a：b：c=l：i：4i

ZA=45°

二十九、概念的定義

i.概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形態(tài)。概念是用詞（或符號）表現(xiàn)出來的。例

如：水果，人，上午，方程，直線，三角形，平行，相等以及符號=g，〃，

，等等都是概念。

2.概念是概括事物的本質(zhì)，事物的全體，事物的內(nèi)在聯(lián)系。例如水果這一概念

指的是桃，李，蘋果，……這一類食物的全體，它們共同的本質(zhì)屬性是有豐

富的營養(yǎng)，充足的水份，可食的植物果實，而區(qū)別于其他食物（如蔬菜）。

人們在生活，學(xué)習(xí)，工作中時時接觸概念，不斷地學(xué)習(xí)概念，加深對概念的

正確認(rèn)識，同時運用概念進(jìn)行工作，學(xué)習(xí)和生活，

3.正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提。

4.理解概念就是對名詞，符號的含義的正確認(rèn)識，一般包含兩個方面：

①明確概念所反映的事物的共同本質(zhì)屬性，即概念的內(nèi)涵；

②明確概念所指的一切對象的范圍，即概念的外延。

例如“代數(shù)式”這一概念的內(nèi)涵是：用運算符號連結(jié)數(shù)或表示數(shù)的字母的式

子；概念的外延是一切具體的代數(shù)式一一單項式，多項式，分式，有理式，根式,

無理式。

又如“三角形”的概念內(nèi)涵是三條線段首尾順次相接的封閉圖形；它的外延

是不等邊三角形，等腰三角形，等邊三角形，直角三角形，鈍角三角形，銳角三

角形等一切三角形。

就是說要正確理解名詞或符號所反映的“質(zhì)