線性代數(shù)課件第十四講

§3.6性變換及其矩陣表基本概映射象（1-1）（到上的）映射的相等：記為

:AB。對(duì)aA有(a)(a)，映射的復(fù)合

:A

BC

對(duì)a

(a)(變換

:A線性變換:VVV為數(shù)域F若對(duì)任意的V及任意的kF()()((k)k(3.6.4求導(dǎo)變D:D(f(x))

f'(

f(x)F[3.6.6數(shù)乘變換：kF,V，()

0零變換0

1為恒等變換或單位變換性質(zhì)

若kii，則(ki(i（線性無(wú)關(guān)的怎樣可逆變換：性質(zhì)若是線性變換，則1線性變換的矩陣(表示設(shè)為n維線性空間V

1,2,,

(j),

ajj，則(aj(j)。由此可知，(由(j唯一由(j唯一(j)a1j1a2

anjn

j1,2,,

a1n a2n(1),(2),,(n)1,2,,n aa

ann記為[1,2,,n]A為在基1,,n下V上的零變換單位變換數(shù)乘變換在V的任意基下的矩陣分別為0,IkI。例3.6.10求Fx]n中求導(dǎo)變換D在自然基：1xx2xn1求法：先求

D(x),

Dxn1)定理3.6.3設(shè)是線性空間V上的一個(gè)線性變示為A，即[1,,n][1,,n]A對(duì)任意的V，設(shè)

xii，(yiiY注意：與坐標(biāo)變換有何不同定義

)()()(

(k)()

k()若在基：1,,n

B

A

k

定理3.6.4設(shè)是線性空間V1,,n[1,,n][1,,n]A則可逆A定義3.6.8設(shè)V,V是數(shù)域F上的兩個(gè)線性空間,V到V的一個(gè)映射.若對(duì)任意V及kF,

)()(

(k)k(則稱是V到V的一個(gè)線性映射,此時(shí),若還是雙射,則稱是V到V的一個(gè)同構(gòu)映射.例如,數(shù)域F上的n維線性空間V同構(gòu)于向量空間Fn.再如,數(shù)域F上的n維線性空間V上所有的線性變換的集合V*V*與Fnn同線性變換在不同基下的矩在線性空間V中取兩個(gè)基：1,,n1,,n。同時(shí)[1,,n][1,,n]A

[1,,n][1,,n [1,,n][1,,n[1,,n]([1,,n]P)([1,,n])([1,,n]A)P[1,,n](P BP例在R3((x1,x2,x3)T)(x1

x2,x1x2,x3求在自然基：1,2,3求1(1,0,0)T,

線性變換的特征值與特征向[1,,n][1,,n]A在V中，能否找到適當(dāng)?shù)幕?，使得在該基下的矩不妨設(shè)已經(jīng)找到，為12,n，于是有[1,,n[(1),,(n)][1,,n即

n(i)i

設(shè)[1,n1,,n]P P1

n定義3.6.7設(shè)為數(shù)域F上線性空間V上的一個(gè)線性變換。若存在數(shù)F和非零向量V，使得()則稱數(shù)為線性變換的一個(gè)特征值為對(duì)應(yīng)特征值的特征向量。結(jié)論：線性變換在某個(gè)基下的矩陣為對(duì)角陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量()AX其中，為A是在基：1,,n下的即xii類(lèi)似地，可定義矩陣的特征值與特征向量線性空間的基、維數(shù)、坐（求過(guò)渡矩陣，求坐標(biāo)生成子空間、解空（求基、維數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組（Sidt正交化方法正交矩線性變換的矩陣表第四 行列§4.1排n階排列。定義在一個(gè)排列中，如果兩個(gè)位置上的數(shù)排序數(shù)j1j2…jn的逆序數(shù)記為(j1j2…jn) 行列式的定a11x1a12x2 x 其中aijbi（ij1,2）xj（j12）

a12a21x1

aa

,

a

11

11 表示

a12

11

稱符號(hào)①為二階行列式。它aij稱為它的元素ij表示aij所在的列

aij所在的行數(shù)

x 其中aijbi（i,j=1,2,3）xj（j=1,2,記

a22 當(dāng)D

x1

D

x2D a2D2

為三階行列式。它含有三行、三列，aij稱為它的

aij所在的行數(shù)j表示aij所

三階行列式的實(shí)質(zhì)意義是式③右端的代數(shù)式，3D

a13a22a31a12a21a33a11a23a32j1j2j31,2,3（2）項(xiàng)的個(gè)數(shù)：31,23（3）項(xiàng)的符號(hào)：(1)j1j2j3

2a22

131,2,313定義n2

(i,

1,2,nnn

n階行列式，aij稱之為第ij列的元素。n階行列式表示一個(gè)數(shù)，其值為

1jj1

a2

1 n階行列式的展開(kāi)式定義nA

a2n n

ann

為方陣A的行列式，記

|A|

detA求|A|

A |A

a33

(1)(jjj

)

123

1 2 3

4

a44a4j4

j4a3j3

j3

a2j2 a4j4

j2j1|A

(1)(1234)a

設(shè)A

|A|的值為A若A（下三角行列式 行列式的性

|A|為（下性質(zhì)1設(shè)Aaij]nnn即

|A||AT

設(shè)A

|A|的值也為A性質(zhì)2設(shè)A

是n階方陣AB，則|A||B|aajaaaja推論若行列式有兩行完全相同，則該行列式性質(zhì)3設(shè)Aaij]nnn階方陣AB則|B

k|A|k推論1推論2問(wèn)題對(duì)方陣A，|kA|與|A|性質(zhì)4設(shè)An

Abs1

csn 令

as1,n as1,n A

,A

cs2

as1,n

as1,n

則|A||A||A|問(wèn)題對(duì)同階方陣AB

AB|

|A|,|B|性質(zhì)5設(shè)AnAB，則|A||B|aajaaj1aj2ajnabcdabdcbadcbacd解

dR2(1)R1acR3(1)R4

d dc

dcdcdabbbbabbbbabbbbabbbba解

a3b a D4b

babbbbbabbbb(a10bab0b0bab00a0bba000a

a a 1(a11

(a3b)(ab)3naDnbbbb bbb 例設(shè)A1,2,31]、B1,2,