小學(xué)奧數(shù) 幾何計數(shù)(三) 精選例題練習(xí)習(xí)題(含知識點撥)

7-8-3.計（教學(xué)目掌握計數(shù)常用方法；熟記一些計數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進(jìn)行計數(shù)．本講主要介紹了計數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹形圖法、插板法、對應(yīng)法等，并滲透分類數(shù)和用容斥原理的計數(shù)思想．知識要一、幾何計數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計數(shù)問題，如計算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個數(shù)，干個圖分平面所成的區(qū)域數(shù)等等．這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認(rèn)真分析，還是以找到一些處理方法的．常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等．n條線最多將平面分成(n2

個分n圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為(n個三角形將平面最多分成nn-1)+2部；個四邊形將平面最多分成4(n-1)+2部…在其它計數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等．解題時需要仔審題、綜合所學(xué)知識點逐步求解．排列問題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問題與各事物在的先后順序無關(guān)，只與這兩個組合中的元素有關(guān)．二、幾何計數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有n+1個點(包括兩個端)（或含有個基線段么n+1個把這條線段一共分成的線段總數(shù)為+(-…+2+1數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊．?dāng)?shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形（對應(yīng)法DE上條段，每條線段的兩端點與點連，可構(gòu)成一個三角形，共有15三角形，同樣一邊在上三角形也有15個，所以圖中共有個角形．

數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形（平行四邊形橫上共有n條段縱邊上共有條段則圖中共有長方形（平行四邊形個例題精模塊一、立體幾何計數(shù)【】用樣小正體木堆如圖立圖，么共了_________塊小方?！究键c】立體圖形幾何計數(shù)【度3星【型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，初試6題走美杯年，決賽，第8題【解析一有：

【答案】塊【】將個相的正體成個積立厘的方，表涂紅，后開，中有個涂的正體24個，有個涂的正體個?！究键c】立體圖形幾何計數(shù)【度3星【型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯年級，第題【解析】

，所以這個長方體的尺寸只有1，1，，，2五情況，其中只有尺寸為的長方體的表面染色后，有24個方體有2面涂紅，所以個涂紅的小正方體有個【答案】0【】如是個個長1的白小方體塊成棱為的方木，任挖其的3個長的正體然將有露外表面部上漆那余的4個長的正體恰有3面涂藍(lán)的多有個.【考點】立體圖形幾何計數(shù)【度3星【型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯年級，第題【解析】）角塊本身為3面暴露在外的小方塊；挖去外側(cè)面中部的小方塊，能夠增加塊面暴露在外的小方塊，加上角塊，共形成8塊3面涂漆的小方塊，為最優(yōu)方案因此挖去對稱的塊側(cè)中部的小方塊后，將產(chǎn)生16塊3面暴露在外的小方塊然后再挖去任意一個外側(cè)面中部的小方塊，將增加3塊面露在外的小塊，但同時破壞原來的塊3面外的小方塊所以最多有塊涂漆的小方塊【答案】17模塊二、幾何計數(shù)的應(yīng)用【】如，個正方的積是l平厘。在圖最多以出個積2平方厘的點方(頂都圖交點的方)。【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用【度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，級試【解析】每兩正方形可確定3個積是2平厘米的格點正方,總共有3×3=9()【答案】9【固圖中的個方都面為的方，積的矩有

個【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用【度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，二試，第題【解析】【答案】個【固下圖是個積于的正形成大方，中積的方有

個【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用【度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第題【解析】每兩正方形可確定3個積是2平厘米的格點正方,總共有24(個)【答案】個【】如所，邊為的小正形成4×4方圖，有25個格。以點頂?shù)慕侨?，條角長別1和的角角共個?！究键c】幾何計數(shù)的應(yīng)用【度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第2題【解析】我們一排連續(xù)三個正形叫做三連正方形，三連正方形的個數(shù)乘上每個三連正方形中直角三角形的個數(shù)就得到所求的總數(shù)＝64（）【答案】64【】用釘釘相間為1米正陣(如右圖．果一皮將當(dāng)?shù)膫€子結(jié)來就到個角，這得的角中面積于1平方米三形個數(shù)多？面等2平方米三形多個【解析】面積于1平厘米的三角形有個面積于平方厘米的三角形有8個(1)面等于1平厘米的分類統(tǒng)計如下：①底為2，為1

②底為2，高為1

③底為1，高為23×2=6(3×2=6(個3×2=6()④⑤

⑥底為1，高為

底為2，高為1

底為1，高為23×2=6(2×2=4(個2×2=4()所以，面積等于1平方厘米的三角形的個數(shù)有6+6+6+6+4+4=32(．(2)面等于2平厘米的分類統(tǒng)計如下：3×2=6()個所以，面積等于2平方厘米的三角形的個數(shù)有6+2=8(個．【】下中正形分9個同小方，們一有16個點共的點一，其中在條線的個點頂，以成角．這些角中與影角有樣小面的多個【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用【度】3星【型】解答【解析1顯然應(yīng)先求出陰影三角形的面積設(shè)原正方形的邊長是3則小正方形的邊長是1陰影三角形的面積是?×2×3=32思考圖中怎樣的三角形的面積等于（1一邊長，這邊上的高是3的角形的積等于（即形如圖中陰三角形這時，長為邊只能在原正方形的邊上，這樣的三角形有（（2一邊長3這邊上的高是的三角形的面積等于3這，長為的是原正方形的一邊或平行于一邊的分割線．這樣的三角形有（個）注意：不能與1中的三角形重復(fù)，所以這樣的三角形共有32+16=48（個【答案】個【固圖中每小方的長是l厘米則圖最可畫面是平厘的點角(頂在中叉上三形)____個【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用【度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試，第11題【解析】由三形面積為方厘米,可三角形的底高為6=1×6=2×3為圖形中長方形的長為3厘，寬為2厘當(dāng)角形的=厘米時有種情況=米時有種況所以，一共有8+2=10個【答案】個【】在個周有個，好圓八分以些點頂作角，以出個腰角．【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用【度】4星【題型】解答【解析由8個正把圓周八等分，所以以其中的任何3個點作為頂點都不能組成等邊三角．那么任意選取其中的一個點作為頂點，一個頂點上有三個不同的等腰三角形，圓周上有個點，所以一共有24個腰三角形這些等腰三角形互不相(否則設(shè)中有兩個等腰三角形相同，這兩個等腰三角形不可能是同一個頂點能是不同的頂點樣個等腰三角形必定是正三角形，與前面的分析不)，所以可以作出個等腰三角形．【答案】24等腰三角形【】圓上個，意點間接條，些在內(nèi)多個交？【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用【度】4星【題型】解答【解析圓上4點成一個四邊形，四邊形兩條對角線相交可以產(chǎn)生一個交點．問題轉(zhuǎn)化圓上個點可以組成多少個以他們?yōu)槎c的四邊形”利用上一講的知識，去掉重復(fù)的部分，可知有：10

個所以交點有個【答案】210個【】圓周有8點兩所連線叫弦”，兩連條弦各無共點共連條，弦不交連共________種【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【度4星【題型】解答【析本題以利用歸納的方法解決．圓周上只有個，只有1種法；若圓周上只有4個，先選中個點，可以與相鄰的兩個點相連，它連好后其它兩點只有1種連法，所以此時有1種連法；若圓周上只有6個，先選中1個，此時它可以與相鄰2個點相連，也可以相對的個點相連，若與相鄰的點相連，剩下的個點有連法；若與相對的點相連，剩下的4點只有1種連法，所以此時有種連法；若圓周上只有個，先選中一個點，此它可以與相鄰的個相連，也可以與與它相隔2個的另外兩個點相連．若與相鄰的點相連，剩下的6個點有5種法；若與相隔兩點的點相連，剩下的6個點被分成兩邊，一個點，只有種連法，一邊個，有種法．所此時共有214種連法．【答案】種接法【】九個小等的正形成右．從走到，次能著正形對線一個點另個點不許重路（圖虛就一走法那從A走到B共種不同的法【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用【度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級，初試題【解析路相當(dāng)于右圖中從到B不同路線（不走重復(fù)路線），從A到CD到方法都唯一，從出發(fā)有3種向，從發(fā)也有3方向（不一定是最短路線），根據(jù)乘法原理，共有3不同走法。【答案】種【】國際棋“馬”的法圖示位位的馬”只能到有的格．在5×5個格國象棋上如圖放四白（eq\o\ac(○,)示和枚黑（●表示要將枚馬至枚馬位，四黑移四白的置而必按國際棋規(guī)，子能動空中每格多一棋．么少要_________步．×

×

○

○×

×

○○○×

××【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用【度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級，初賽4題【解析需移動8枚棋子，任意棋子只移動一步是無法到達(dá)目的空格當(dāng)中的，所以，最少需16步具體方案：如下圖，用四步交換兩枚棋子到目的空格當(dāng)中．用同樣的方法處理其他6枚棋子．一共需要1步．【答案】步【】請將個數(shù)”、三“學(xué)、三美填入右中使每橫、一排有三個，果在上擺“數(shù)，那可有_幾種同擺。【考點】復(fù)雜乘法原理【度3星【型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第題【解析】由于一個數(shù)”已填在左上角的方格內(nèi)，所以剩下的2個“數(shù)有兩種填法，如下圖所示：對于上面的兩個方，只要任何一空白方格中填入一個字，則個方都只有一填法，比如對于上左圖，在第二行第一列填入“學(xué)”，則第三行第一列和第二行第列都只能填“美則第三行第二列和第一行第三列都只能填“學(xué)，一行第二列只能填“美。以只要確定某一個空白方格中填的字，也確定了整個格的填法。而現(xiàn)在每個空白方格中可以填“學(xué)美有兩種填法，所以共有種足題意的填法。數(shù)

數(shù)數(shù)

數(shù)數(shù)

數(shù)【答案】種【】圖中有16個格要B，C，四不的子放方里并每每只出一棋．：有少不的法【考點】復(fù)雜乘法原理【難度3星【型】解答【解析】由于個棋子要一個一地放入方格內(nèi)，故可看成是分四步完成這件事．第一步放棋子A可放在個方格中的任意一個中有16不同的放法二放棋子于A放定那么放A的那一行和一列中的其他方格內(nèi)也不能放，還剩下方格可以放B，有9種法；第三步放，去掉B所的行和列的方格，還剩下四個方格可以放，有4種放法；最后一步放，再去掉C所的行和列的方格，只剩下一個方格可以放D，D有1種法．由乘法原理，共有576種不同的放法．【答案】【固在圖方內(nèi)入枚子要每、列都能一棋，有少放？【考點】復(fù)雜乘法原理【難度3星【型】解答【解析】要放枚棋子定要分五步完成察到圖中的表格正好是五列的好每列放個棋子是，我們不妨按第列第2列第、第4列、第5列順序依次擺放棋子．第一步：在第1列入個棋子．因為第列有兩個格，所以有放法．第二步：在第2列填入一個棋子．因為共有三個格，可是剛剛放在第一列的那個棋子占了其中的一行，所以有種法．第三步在3列填入一個棋子因為第3列有四個格可被放在第一列第列的那兩個棋子各占了一行，所以有4-2=2種法．第四步：在第4列入一個棋子．同理推得有種法．第五步：在第5列入一個棋子．同理推得有種法．根據(jù)乘法原理，往方格內(nèi)放入5枚子，每行每列只有一枚棋子，共有216種放．【答案】【】下圖一中象棋，果方備放個子要它不同行也不同列那么共多種同放方？楚河

漢界【考點】復(fù)雜乘法原理【難度3星【型】解答【解析】第一棋子有90種法，第二個棋子有72種法，根據(jù)乘法原理，共有6480（種）不同的放置方法．【答案】【固國象棋是的方網(wǎng)下的方有個子于區(qū)中國象中“車同國棋的車”一都以位于一橫或行對棋吃如棋進(jìn)到一刻下的方只下個車”，么兩個車”位有少情？【考點】復(fù)雜乘法原理【難度3星【型】解答【解析】對于果只有一只車的情況，它可以有種放位置，如果在棋盤中再加入一“，那么它不能在原來那車的同行或同列出現(xiàn)，他只能出現(xiàn)在其他七行七列，所以它只7×7=49中擺放，所以這兩個車的擺放位置有64×49=3136方法．【答案】模塊三、幾何計數(shù)與找規(guī)律【】下圖兩圖形實線分別根根位的棍圍的如按規(guī)律每一層上面層擺兩小方圍的形用60多根棍，么成圖有層，用多根棍【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【度2星【型】解答【析通過察每增加一層，恰好增加6根棍，這根好是增加那一層比上一層多擺出的兩個正方形多用的，即前層用，前2層，前層4+6×2根前用4+6×(n-1)根，現(xiàn)在共用了多根，應(yīng)減去4是的倍數(shù)，所以共用小棍64根，圍成的圖形有層．【答案】11層根【】如圖示長相的柴擺成3的格其中每小格邊由根柴組，那一需多根柴?【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【度2星【題型】解答【解析橫需根豎放需1997×3根共根【答案】根【】用3根長火可擺一等邊角．圖這的邊角拼成個大等邊角.果個等三形每由根火柴成那一要多根柴【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【度2星【型】解答【析把大等邊三角形分為20層別計算火柴的根數(shù)：最上一層只用了3根柴；從上向下數(shù)第二層用了根從上向下數(shù)第二層用了根……從上向下數(shù)第二層用了3×20=60根所以總共要用火柴3×1+2+3+…）=630．【答案】630【固用三根柴拼一小eq\o\ac(△,“)”，若根柴成圖示狀大角，你一數(shù)有少三形【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【度2星【題型】解答【解析首清狀如圖大三角形共有多少層往層3根柴層根火柴；第三層用根柴；第四層2根柴；第五層用5根柴…第層用3n根火柴．根據(jù)題意，有：312，故2，即形狀如圖的大三角形共有層是邊長為8根柴的大正三角形．然后，數(shù)出共有多少個三角形．尖朝上的三角形共：7)6)(14)2)個；尖朝下的三角形共：(13)50(個；所以，共有三角形：50(個)．本題小結(jié)：尖朝上的三角形：每一種尖朝上的三角形個數(shù)都是由開的連續(xù)然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各個連續(xù)自然的和都比上一次少一個最大的加數(shù)，直到1為．尖朝下的三角形的數(shù)也是從開的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個和恰是尖朝上的第二個和，依次各個和都比上一個和少最大的兩個加數(shù)，以類推直到零為止．【答案】個【】3根火可擺一小角。圖用多火擺了個空大角已大角外沿每邊是20根火。成個共要根火?？铡究键c】幾何計數(shù)與找規(guī)律【度4星【型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，級，決賽，第題【解析】水平向的火柴有11974（）其它兩個方向的火柴與水平放下的火柴個數(shù)相同，所以擺成這個圖共需要222（根）火柴?！敬鸢浮?22根【】一張方紙片長寬倍先折正形再折成方，對成方，，共折7次將打展平數(shù)數(shù)折分成正形有少？【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【度4星【型】解答【解析從單情況入手，從第一次對折開始分析，第一次對折，展平，折痕分割成的正方形共21個；第二次對折，展平，折痕分割成的長方形共4

個；第三次對折，展平，折痕分割成的正方形共2

個；第四次對折，展平，折痕分割成的長方形1

4

個；第五次對折，展平，折痕分割成的正方形共32

5

個；第六次對折，展平，折痕分割成的長方形共64

6

個；第七次對折，展平，折痕分割成的正方形1

7

個．觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，奇數(shù)次對折時，展平后的折痕分割成的圖形是正方形，所以