(湖南專用)中考數(shù)學總復習-專題四-歸納與猜想(專題講練+名師解讀+考向例析+提升演練)含解析

PAGE專題四歸納與猜想歸納猜想問題指的是給出一組具有某種特定關系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關的操作、變化過程，要求通過觀察、分析、推理，探求其中所蘊涵的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論，在解答過程中需要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、試驗、證明等數(shù)學活動，以加深學生對相關數(shù)學知識的理解，認識數(shù)學知識之間的聯(lián)系．在試卷中多以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)．考向一數(shù)字規(guī)律問題數(shù)字規(guī)律問題，即按一定的規(guī)律排列的數(shù)之間的相互關系或大小變化規(guī)律的問題．【例1】如圖，一個數(shù)表有7行7列，設aij表示第i行第j列上的數(shù)(其中i＝1,2,3，…，j＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的數(shù)a53＝7.12343212345432 3456543 4567654 5678765 6789876 78910987則(1)(a23－a22)＋(a52－a53)＝__________.(2)此數(shù)表中的四個數(shù)anp，ank，amp，amk，滿足(anp－ank)＋(amk－amp)＝__________.解析：根據(jù)數(shù)表中數(shù)字排列規(guī)律，得a23＝4，a22＝3，a52＝6，a53＝7，所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.對于(2)中四個數(shù)anp，ank，amp，amk，可以發(fā)現(xiàn)anp與ank為同一行的數(shù)，且其差為第p個數(shù)與第k個數(shù)之差，同理amk與amp之差也為同行中第k個數(shù)與第p個數(shù)之差．根據(jù)數(shù)表中數(shù)字排列規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)這兩個差互為相反數(shù)，所以(anp－ank)＋(amk－amp)＝0.答案：(1)0(2)0方法歸納解答數(shù)字規(guī)律問題的關鍵是，仔細分析數(shù)表中或行列中前后各數(shù)之間的關系，從而發(fā)現(xiàn)其中所蘊涵的規(guī)律，利用規(guī)律解題．考向二數(shù)式規(guī)律問題解答此類問題的常用方法是：(1)將所給每個數(shù)據(jù)化為有規(guī)律的代數(shù)式或等式；(2)按規(guī)律順序排列這些式子；(3)將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用代數(shù)式或等式表示出來；(4)用題中所給數(shù)據(jù)驗證規(guī)律的正確性．【例2】給出下列命題：命題1：直線y＝x與雙曲線y＝eq\f(1,x)有一個交點是(1,1)；命題2：直線y＝8x與雙曲線y＝eq\f(2,x)有一個交點是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))；命題3：直線y＝27x與雙曲線y＝eq\f(3,x)有一個交點是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，9))；命題4：直線y＝64x與雙曲線y＝eq\f(4,x)有一個交點是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，16))；……(1)請你閱讀、觀察上面命題，猜想出命題n(n為正整數(shù))；(2)請驗證你猜想的命題n是真命題．解：(1)命題n：直線y＝n3x與雙曲線y＝eq\f(n,x)有一個交點是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)，n2))；(2)將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)，n2))代入直線y＝n3x得：右邊＝n3×eq\f(1,n)＝n2，左邊＝n2，∴左邊＝右邊．∴點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)，n2))在直線y＝n3x上．同理可證：點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)，n2))在雙曲線y＝eq\f(n,x)上，∴直線y＝n3x與雙曲線y＝eq\f(n,x)有一個交點是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)，n2)).方法歸納此類問題要從整體上觀察各個式子的特點，猜想出式子的變化規(guī)律，并進行驗證．對于本題來說，關鍵是發(fā)現(xiàn)變化的點的坐標的橫坐標和縱坐標之間的關系，同時找出兩個函數(shù)的系數(shù)和橫坐標的關系．考向三數(shù)形規(guī)律問題根據(jù)一組圖形的排列，探究圖形變化所反映的規(guī)律，其中以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見．【例3】用同樣大小的小圓按下圖所示的方式擺圖形，第1個圖形需要1個小圓，第2個圖形需要3個小圓，第3個圖形需要6個小圓，第4個圖形需要10個小圓，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要小圓__________個(用含n的代數(shù)式表示)．解析：觀察圖形可知，第n個圖形比第(n－1)個圖形多n個小圓，所以第n個圖形需要小圓1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)．答案：eq\f(1,2)n(n＋1)方法歸納解決這類問題的關鍵是，仔細分析前后兩個圖形中基礎圖案的數(shù)量關系，從而發(fā)現(xiàn)其數(shù)字變化規(guī)律．具體地說，先根據(jù)圖形寫出數(shù)字規(guī)律，然后將每一個數(shù)字改寫為等式，再比較各等式的相同點和不同點，分析不同點(數(shù)字)與等式序號之間的關系，從而得到一般規(guī)律．一、選擇題1．如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中eq\x\to(FK1)，eq\x\to(K1K2)，eq\x\to(K2K3)，eq\x\to(K3K4)，eq\x\to(K4K5)，eq\x\to(K5K6)…的圓心依次按點A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6….當AB＝1時，l2011等于() 圖2 圖3(2)圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為S1；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為S2(如圖2)，則S2＝__________.(3)按(1)(2)的方法，再在余下的四個三角形中，分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形的面積和為S3(如圖3)；繼續(xù)操作下去…，則第10次剪取時，S10＝__________.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積和．參考答案專題提升演練1．B可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每段弧的度數(shù)都等于60°，Kn－1Kn的半徑為n，所以l2011＝eq\f(60π×2011,180)＝eq\f(2011π,3).2．D由題意知，OA＝1，OD＝2，DA＝eq\r(5)，∴AB＝AD＝eq\r(5)，利用互余關系證得△DOA∽△ABA1，∴eq\f(DO,AB)＝eq\f(OA,BA1)，∴BA1＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)eq\r(5)，∴A1B1＝A1C＝eq\f(3,2)AB＝eq\f(3\r(5),2)，同理，A2B2＝eq\f(3,2)A1B1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2eq\r(5)，一般地AnBn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))neq\r(5)，第2011個正方形的面積為(A2010B2010)2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))4020，故選D.3．3n－2思路一：將數(shù)列看成1＋3×0,1＋3×1,1＋3×2，…，1＋3×(n－1)，所以第n個數(shù)是1＋3×(n－1)，即3n－2.思路二：將數(shù)列看成3×1－2,3×2－2,3×3－2，…，3×n－2，所以第n個數(shù)是3n－2.4.eq\f(1,28)因為A1，B1分別是EF，F(xiàn)D的中點，所以A1B1＝eq\f(1,2)ED.因為正六角星形A1F1B1D1C1E1∽正六角星形AFBDCE，所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積∶正六角星形AFBDCE的面積＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4).所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積＝eq\f(1,4).同理正六角星形A2F2B2D2C2E2的面積∶正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4)，所以正六角星形A2F2B2D2C2E2的面積＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2.如此下去…，則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))4＝eq\f(1,28).5．(2,1006)6．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1；(2)n(n＋2)－(n＋1)2＝－1；(3)一定成立．理由：因為n(n＋2)－(n＋1)2＝n2＋2n－(n2＋2n＋1)＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1，故(2)中的式子一定成立．7．解：(1)圖②：(－60)÷(－12)＝5，圖③：(－2)×(－5)×17＝170，(－2)＋(－5)＋17＝17，170÷10＝17.(2)圖④：5×(－8)×(－9)＝360，5＋(－8)＋(－9)＝－1，y＝360÷(－12)＝－30，圖⑤：eq\f(1×x×3,1＋x＋3)＝－3，解得x＝－2.8．解：(1)如圖甲，由題意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝1.如圖乙，設MN＝x，則由題意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x，∴3x＝2eq\r(2)，解得x＝eq\f(2\r(2),3).∴S正方形PNMQ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))2＝eq\f(8,9).又∵1＞eq\f(8,9)，∴甲種剪法所得的正方形的面積更大．(2)S2＝eq\f(1,2).(3)S10＝eq\f(1,29).解法1：探索規(guī)律可知：Sn＝eq\f(1,2n－1).剩余三角形的面積和為2－(S1＋S2＋…＋S10)＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1