2018年中考數(shù)學黃金知識點專題系列三【26-40】

2018年中考數(shù)學黃金知識點專題系列下

[26-40]

目錄

＞專題26四邊形

A專題27與圓有關的概念

A專題28與圓有關的角

A專題29與圓有關的位置關系

A專題30與圓有關的計算

A專題31圖形的變換

＞專題32整式及其運算

＞專題33分式及其計算

A專題34因式分解

＞專題35二次根式

＞專題36一元二次方程

?專題37解直角三角形

A專題38弧長及扇形的面積

?專題39尺規(guī)作圖

?專題40數(shù)據(jù)的收集與處理

專題26四邊形

聚焦考點☆溫習理解

一、四邊形的內角和定理及外角和定理

四邊形的內角和定理：四邊形的內角和等于360。。

四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。

推論：多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于(〃-2)?180°；

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。

二、平行四邊形

1、平行四邊形的概念

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形的性質

(1)平行四邊形的鄰角互補，對角相等。

(2)平行四邊形的對邊平行且相等。

推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

(3)平行四邊形的對角線互相平分。

(4)若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截.下的線段以對

角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積。

3、平行四邊形的判定

(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

三、矩形

1、矩形的概念

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

2、矩形的性質

(1)具有平行四邊形的一切性質

(2)矩形的四個角都是直角

(3)矩形的對角線相等

(4)矩形是軸對稱圖形

3、矩形的判定

(1)定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

(2)定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形

(3)定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形

四、菱形

1、菱形的概念

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

2、菱形的性質

(1)具有平行四邊形的一切性質

(2)菱形的四條邊相等

(3)菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

(4)菱形是軸對稱圖形

3、菱形的判定

(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

(2)定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

(3)定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

4、菱形的面積

S底邊長X高=兩條對角線乘積的一半

五、正方形

1、正方形的概念

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形的性質

(1)具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質

(2)正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

(3)正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角

(4)正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸

(5)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正

方形分成四個全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。

六、梯形

1、梯形的相關概念

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

2、等腰梯形的性質

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。

（3）等腰梯形的對角線相等。

（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。

3、等腰梯形的判定

（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。

4、梯形中位線定理

梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

名師點睛☆典例分類

考點典例一、四邊形的內角和及外角和

【例1】（2016廣西來賓第4題）如果一個正多邊形的一個外角為30°,那么這個正多邊形

的邊數(shù)是（）

A.6B.11C.12D.18

【答案】C.

【解析】

試題分析：這個正多邊形的邊數(shù)：360°+30°=12,故選C.

考點：多邊形內角與外角.

【點睛】本題考查了多邊形的內角和公式與外角和定理，熟記公式與定理是解題的關鍵.

【舉一反三】

（2016福建泉州第12題）十邊形的外角和是°.

【答案】360.

【解析】

試題分析：根據(jù)多邊形的外角和等于360。即可得十邊形的外角和是360。.

考點：多邊形內角與外角.

考點典例二、平行四邊形的性質與判定

【例2】（2016湖南湘西州第11題）下列說法錯誤的是（?）

A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

C.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

【答案】D.

【解析】

試題分析：根據(jù)平行四邊形的判定定理可得選項A,兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，，正確；

選項B,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，正確；選項C,一組對邊平行且相等的四邊形是平行四

邊形，正確；選項D,一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，例如：等腰梯形，錯

誤3故答案選D.

考點：平行四邊形的判定.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定方法，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關鍵.

【舉一反三】

（2016湖北襄陽第7題）如圖，在匚/ABCD中,AB>AD,按以下步驟作圖：以點A為圓心，

小于/〃的長為半徑畫弧，分別交力員AD于點、E,凡再分別以點反尸為圓心，大于!既

的長為半徑畫弧，兩弧交于點C；作射線4c交切于點〃，則下列結論中不能由條件推理得

出的是（）

A.4G平分/加8B.AD-DHC.DlbBCD.Clf-DII

【答案】D.

【解析】

試題分析：由角平分線的作法，依題意可知AG平分NDAB,A正確；ZDAH=ZBAH,又AB

〃DC,所以NBAH=NAD【I,所以，ZDA1I=ZADI1,所以，AD=DH,又AD=BC,所以，DH=

BC,B、C正確，故答案選D.

考點：平行四邊形的性質；平行線的性質.

考點典例三、矩形的性質與判定

【例3】（2016內蒙古包頭第17題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,

過點A作AELBD,垂足為點E,若NEAC=2/CAD,則/BAE=度.

【答案】22.5。.

【解析】

試題分析：已知四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質可得AC=BD,OA=OC,OB=OD,即可得OA=OB=OC,由等

腰三角形的性質可得NOAC=NODA,ZOAB=ZOBA,即可得NAOE=NOAC+NOCA=2/OAC,再由NEAC=2/CAD,

可得/EAO=/AOE,因AEJLBD,可得/AE0=90°,所以/AOE=45°,所以N0AB=/0BA=67.5°,即/BAE=/OAB

-Z0AE=22.5°.

考點：矩形的性質；等腰三角形的性質.

【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊對等角的性質以及三角形的一個外角等于與它不相鄰

的兩個內角的和的性質，熟記各性質是解題的關鍵.

【舉一反三】

（2016遼寧營口第6題）如圖，矩形力靦的對角線交于點0,若乙4小30°,AB^Z,則小

的長為（）

A.2B.3C.2GD.4

【答案】A.

【解析】

試題分析：在矩形H5CD中，445090°,二,a4c3=30°,.45=2,.,..40218=2X2=4,,.?四邊形/BCD

是矩形，...。0。-4=：/02.故選A.

考點：矩形的性質.

考點典例四、菱形的性質與判定

【例4】（2016山東棗莊第9題）如圖，四邊形4%為是菱形，AC=8,DB=6,DHJ.AB

于H,則掰等于

2412

A.—B.—C.5D.4

【答案】A.

【解析】

試題分析：如圖，四邊形5是菱形，AC=8,。3=6,根據(jù)菱形的性質可得0A=4,0B=3,

124

由勾股定理可得AB=5,再由S菱形=萬AC-8。=AB-即可求得DH=^，故答案選A.

考點：菱形的性質.

【點睛】本題主要考查了根據(jù)菱形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵.

【舉一反三】

（2016青海第11題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,且AC=8,BD=6,

則菱形ABCD的高DII=

【答案】4.8.

【解析】

試題分析：在菱形ABCD中，AC1BD,

-/AC=8,BD=6,

/.0A=1AC=1X8=4,0B=1BD=1X6=3,

■>■>c

在RtAAOB中，由勾股定理可得AB=5,

\'DH1AB,

二.菱形ABCD的面積=1AC'BD=AB'DH,

即1

X6X8=5'DH,

、

解得DH=4.8.

考點：菱形的性質.

考點典例五、正方形的性質與判定

【例5】（（2016湖北襄陽第16題）如圖，正方形48（力的邊長為2后，對角線4G被相交

于點0,E是OC的中點。連接BE,過點A作AMLBE于點M交BD于點F則FM的長

為.

【答案】

【解析】

試題分析：正方形思口的邊長為20,所以，0A=0B=0C=2,又E為0C中點，所以，OE=1,由勾股定

理，得:BE=亞5S工心=—BE?AAI=-AE*BO,解得:AM—,BM=4AB'一出/"=/s——=二W：>

225V55

.E_BAIOB_BS￡?BEusi，nr-、ni

cosZJZBJ7=----=—,即nBnF=--------=1,所以FM=VBF~-二—.

BFBEOB5

考點：正方形的性質；銳角三角函數(shù)；勾股定理.

【點睛】本題考查了正方形的性質，直角三角形的性質的應用，題目比較典型，難度適中.

【舉一反三】

(2016湖北隨州第16題)如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點0.有

直角NMPN,使直角頂點P與點0重合，直角邊PM、PN分別與0A、0B重合，然后逆時針旋

轉/MPN,旋轉角為6(0°<0<90°),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交

OB于點G,則下列結論中正確的是.

(1)EF^20E；(2)S四邊彩闞：Sj；方彩般產1：4；(3)BE+BF^20A;(4)在旋轉過程中，當

3

△BEF與△COF的面積之和最大時,AEJ；(5)0G?BD=AE2+CF2.

【答案】(1),(2),(3),(5).

【解析】

試題分析：(1).「四邊形ABCD是正方形,

/.OB=OC,Z0BE=Z0CF^45°,ZB0C=90°,

.?.ZB0F+ZC0R=90o,

?/ZE0P=90°,

/.ZB0F+ZC0E=90O,

.\ZBOE=ZCOF,

在△BOE和ACOF中，

rZBOE=ZCOF

<OB=OC,

ZOBE=ZOCF

/.△BOE^ACOF<ASA),

/.OE=OF,BE=CF,

「.EX先OEj故正確；

(2)S四邊般OBBI^SABOE+SABOE-S&BOE+SACOI^SAIMC--S1E方彩ABCD,

4

：.S四邊彩QffiF：SiE方形ABO>=1：4；故正確；

(3)BE+BF=BF+CF=BC=OA；故正確；

(4)過點0作OH_LBC,

VBC=1,

.".OH=1BC=1,

22

設AE=x,則BE=CF=l-x,BF=x,

9

2

sAw+SAtw=1BE?BF+1CF?0H=1x(1-x)+1(1-x)xl=-1(x-1)~32,

2222224

Va=-l<0,

2

當X=時，SzsBEF+SdcOF最大；

4

即在旋轉過程中，當ABEF與△COF的面積之和最大時，AE=1；故錯誤；

4

(5)VZEOG=ZBOE,Z0EG=Z0BE=45°，

AAOEG^AOBE,

AOE：OB=OG：OE,

AOG-OB=OE2,

VOB=IBD,OE二變EF,

22

.?.OG?BD=EF2,

;在4BEF中,EF2=BE2+BF2,

/.EF2=AE2+CF2,

.-.OG?BD=AE2+CF2.故正確.

考點：四邊形綜合題.

考點典例六、等腰梯形的性質與判定

如圖，等腰梯形ABCD的周長為16,BC=4,CD=3,則AB=

【答案】5.

【解析】

試題分析：根據(jù)等腰梯形的性質可得出&=BC,再由BC=4,CD=3,得出AB的長.

試題解析：：四邊形ABCD為等腰梯形，，AD=BC,

,."BC=4,.,.AD=4,

：CD=3,等腰梯形ABCD的周長為16,...AB=16-3-4-4=5.

【點睛】本題考查了等腰梯形的性質，是基礎知識要熟練掌握.

【舉一反三】

如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC、DB相交于點P,ZBAC=ZCDB=90°,AB=AD=DC.則cosNDPC

正D..

c,23

【答案】A.

【解析】

試題分析：：.梯形ABCD是等腰梯形,

.".ZDAB+ZBAC=180O,AD//BC,

.".ZDAP=ZACB,ZADB=ZABD,

■/AB=AD=DC,

/.ZABD=ZADB,ZDAP=ZACD,

/.ZDAP=ZABD=ZDBC,

,."ZEAC=ZCDB=90O,

/.3ZABD=90°,

.\ZABD=30°,

在AABP中，

".,ZABD=30°,ZBAC=90°,

.,./APB=60°,

.../DPC=60°,

.".cos^DPC=cos60°=—.

2

故選A.

課時作業(yè)☆能力提升

選擇題

1.（2016貴州遵義第8題）如圖，在勿頗中，對角線4c與切交于點0,若增加一個條件,

使金靦成為菱形，下列給出的條件不正確的是（)

A.AB=ADB.ACVBDC.AOBDD.NBAONDAC

【答案】C.

【解析】

試題分析：A.根據(jù)菱形的定義可得，當一時%8CD是菱形；

B.根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判斷，力步》是菱形,

C.對角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是菱形，命題錯誤；

D.NB/OND/C時，中，...Z_4C3=NDTC,/.Z5.4OZ.4C5,：..4B=AC,：.°ABCD

是菱形.故選C.

考點：菱形的判定；平行四邊形的性質.

2.（2016湖南株洲第7題）已知四邊形四切是平行四邊形，對角線劭交于點。，E

是回的中點，以下說法錯誤的是（）

C.ABOE^AOBAD.AOBE-AOCE

【答案】D.

【解析】

試題分析：?.?四邊形四切是平行四邊形，.OB=OD,AB//DC,又；點后是比的中點,

.?.0￡是46切的中位線，：.OE=-DC,OE//DC,：.OE//AB,:"BO后/OBA,.?.選項力、B、C

2一

正確；

,JOB^OC,.?./初孚/以；.?.選項。錯誤；故選D.

考點：平行四邊形的性質.

3.（2016廣西河池第8題）如圖，在平行四邊形力靦中，N/8C的平分線交于5Z

戚=150°,則//的大小為（)

A.150°B.130°C.120°D.100°

【答案】C.

【解析】

試題分析：；四邊形-48是平行四邊形，二例BC,.?.3&=/（:無，?..此平分"E,\Z43￡=Z

CBE,：.^EB=^iSE,：.AB=AE,,：ABED=15Q°,，乙」更=乙=￡3=30°,，乙4=18?！鉠.45S-Z

.J￡5=1200,故選C.

考點：平行四邊形的性質.

4.（2016廣西河池第11題）如圖，將根沿鴕方向平移得到連接和，下列條件

A.A六BCB.AC=BCC.Z2>60°D./4華60°

【答案】B.

【解析】

試題分析：；將△力外沿回方向平移得到△〃〃，幺G9,.?.四邊形4;（券為平行四邊形,

當力小6c時，平行四邊形/如是菱形.故選B.

考點：菱形的判定；平移的性質.

5.（2016黑龍江綏化第10題）如圖，矩形465的對角線4G做相交于點"CE//BD,

DE//AC,若則四邊形況芯。的周長為（）

A.4B.8C.10D.12

【答案】B.

【解析】

試題分析：：四邊形/BCD為矩形，二3=。。，OB=OD,^.AOBD,：.a4=OB=OC=OD=2,"：CEHBD,

.,.四邊形DECO為平行四邊形，：嶼。。，.?.四邊形DECO為菱形，.?.gDE=E0002,則

四邊形OCED的周長為2+2+2+2=8,故選B.

考點：矩形的性質；菱形的判定與性質.

6.（2016四川南充第8題）如圖，對折矩形紙片4犯9,使48與加重合得到折痕跖，將

紙片展平；再一次折疊，使點〃落到跖上點G處，并使折痕經(jīng)過點4展平紙片后NZMG

的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C.

【解析】

試題分析：如圖所示：由題意可得：Z1=Z2,AN-MN,/欣源=90°,則A伏故/*A&,

2

則/2=/4,,JEF//AB,.,.Z4=Z3,/1=/2=/3=—X90°=30°：.^DAG=^.故選

3

C.

考點：翻折變換（折疊問題）.

7.（2016湖北十堰第8題）如圖所示，小華從A點出發(fā)，沿直線前進10米后左轉24,再

沿直線前進10米，又向左轉24°,…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共

走的路程是（）

/---------------

A.140米B.150米C.160米D.240米

【答案】B.

【解析】

試題分析：已知多邊形的外角和為360°,而每一個外角為24°,可得多邊形的邊數(shù)為360°

?24°=15,所以小明一共走了：15X10=150米.故答案選B.

考點：多邊形內角與外角.

8.（2016山東淄博第8題）如圖，正方形ABCD的邊長為10,AG=CH=8,BG=DH=6,連接GH,

則線段GH的長為（）

【答案】B.

【解析】

試題分析：如圖，延長BG交CH于點E,在AAEG和ACDH中，AB=CD=10,AG=CH=8,BG=DH=6,

.,.△AB(^ACDH(SSS),AG；+BG；=AB；,Z2=Z6,ZAGB=ZCHD=90°,X'."Z2+Z3=90°,N4+

Z5=90°,.\Z1=Z3=Z5,Z2=Z4=Z6,在^AEG和^BCE中,Z1=Z3,AB=BC,Z2=Z4,.,.AABG^ABCE

(ASA),.,.BE=AG=8,CE=BG=6,ZBEC=ZAGB=90o,.,.GE=EE-BG=8-6=2,

同理可得HE=2,在RTAGHE中，GH=20,故答案選B.

考點：正方形的性質；全等三角形的判定及性質；勾股定理.

二.填空題

9.（2016河南第10題）如圖，在/JABCD中,BELAB交對角線AC于點E,若Nl=20°,則

Z2的度數(shù)是.

【答案】110°.

【解析】

試題分析：由平行四邊形的性質可得AB〃CD,所以Nl=N3=20°,根據(jù)三角形外角的性質

可得N2=N3+NABE=20°+90°=110°.

考點：平行四邊形的性質；三角形外角的性質.

10.（2016湖北十堰第14題）如圖，在口ABCD中，AB=2/cm,AD=4cm,AC±BC,則ZkDBC

比aABC的周長長cm.

【答案】4.

【解析】

試題分析：在oABCD中，已知AB=CD=2而5,AD=BC=4cm,AO=CO,BO=DO,根據(jù)平行四邊形的性質得到

AB=CD=2/jjcm,AD=BC=4cm,AO=CO,BO=DO,又因AC±BC,根據(jù)勾股定理可得AC=6cin,即可得OC=3cm,

再由勾股定理求得BO==5cm,所以BD=10cm,所以ADBC的周長-2k詆的周長=B（？K：D+BD-（AB+BC+AC）=BD

-AC=10-6=4cm,

考點：平行四邊形的性質；勾股定理.

11.如圖，若該圖案是由8個全等的等腰梯形拼成的，則圖中的Nl=

【答案】67.5.

【解析】

試題分析：：.正八邊形的每個內角為曾二2J邢=135。,且該圖案由8個全等的等腰梯形拼成,

/.Zl=lx135°=67.5°.

2

考點：1.多邊形內角和定理；2.等腰梯形的性質.

12.（2016貴州銅仁第15題）將矩形他功氏片按如圖所示的方式折疊，EF,瓦為折痕，試問

AAEPrABEO.

【答案】90°.

【解析】

試題分析：由折疊的性質，得N4吠NA'EF,ABEG^ZB'EG,：.AAEP^ABEG=180°+

2=90°.故答案為：90°.

考點：翻折變換（折疊問題）.

13.（2016福建泉州第17題）如圖，在四邊形ABCD中，AB〃DC,E是AD中點，EFJ_BC于

點F,BC=5,EF=3.

（1）若AB=DC,則四邊形ABCD的面積S=；

（2）若AB>DC,則此時四邊形ABCD的面積S'S（用“>”或“=”或"V”

填空）.

【答案】（1）15；（2）=.

【解析】

試題分析：（1）*.^=00,AB//DC,

二四邊形ABCD是平行四邊形，

二.四邊形ABCD的面積5=5X3=15,

（2）如圖，連接EC,延長CD、BE交于點P,

是助中點，

.'.AE=DE,

又「AB"CD,

/.ZABE=ZP,ZA=ZPDE,

在△ABE和aDPE中，

'ZABE=NP

,"XA=Z.PDE>

AE=DE

/.△ABE^ADPE(AAS),

==

..S^：：Sit?：,BEPEf

?.S」3=Sac：,

則SA：C：=SJJ：：+SJ.C：I+S2.：C：

=Sj.?：：+S2.CC：+Sj.：CI

=SAPCE+SABCE

-2Sz\liCE

=2x1XBCXEF

2

=15,

...當AB>DC,則此時四邊形ABCD的面積S'=S,

考點：平行四邊形的判定與性質.

14.（2016江蘇鹽城第18題）如圖，已知菱形48切的邊長2,ZA=60°,點反廠分別在

邊AB,加上，若將沿直線如折疊，使得點A恰好落在切邊的中點G處，則EP-.

……7721

【答案].

20

【解析】

試題分析：延長8,過點尸作尸MlCD于點M連接G5、5D,作陽1公交于點H,如圖所示：

:乙5=6?！?四邊形.458是菱形，二NJ.Q460°,.,.41題)=30°,設兒女X,則D42x,F*出x,

\'DG=1,：.MG=x+l,：.(x+T)z+(y/3x)z=(2-2期？，解得：戶。.3,二。尸=0.6,乂尸=1.4,：^H=-AF=0.7,

2

*AFr-A義立二色,-：CD=BC,NC=60°,...△DC5是等邊三角形，：G是8的中點，;

210

BG1CD,'：BC=2,GUI,：.BG=^>設際y,則詼2-j,.\(^):+y2=(2-y)2,解得：尸0.25,

/?4￡=1.75,：.EH=AE-AH=1.75-0.7=1.05,：.EF=\[EHT+FHT=J1.052.故答案

V1020

20

考點：菱形的性質；翻折變換（折疊問題）.

三、解答題

15.（2016河北第22題）（本小題滿分9分）

己知〃邊形的內角和0=（zr2）X180°.

（1）甲同學說，。能取360。；而乙同學說，。也能取630。.甲、乙的說法對嗎？若對,

求出邊數(shù)〃.若不對，說明理由；

（2）若〃邊形變?yōu)椋↘x）邊形，發(fā)現(xiàn)內角和增加了360°,用列方程的方法確定乂

【答案】（1）甲對，乙不對，理由見解析；（2）2.

【解析】

試題分析：（D根據(jù)多邊形的內角和公式判定即可；（2）根據(jù)題意列方程，解方程即可.

試題解析：（1）甲對，乙不對.

■/8=360°,/.（jj-2）X180°=360°,

解得n=4.

夕=630°,/.（zr2）X180°=630°,

解得n=g.

為整數(shù)，夕不能取630。.

（2）由題意得,（JT-2）X180+360=X180,

解得x=2.

考點：多邊形的內角和.

16.（2016四川達州第20題）如圖，在oABCD中，已知AD>AB.

（1）實踐與操作：作/BAD的平分線交BC于點E,在AD上截取AF=AB,連接EF；（要求：

尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明.

Q

BC

【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形ABEF是菱形，理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由角平分線的作法容易得出結果，在仙上截取距AB,連接EF：畫出圖形即可；（2）由平

行四邊形的性質和角平分線得出NBAE=/AEB,證出BE=AB,由（1）得：AF=AB,得出BE=AF,即可得出結

論.

（2）四邊形ABEF是菱形；理由如下：

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD//BC,

/.ZDAE=ZAEB,

?「AE平分/BAD,

.,.ZBAE=ZDAE,

.".ZBAE=ZAEB,

.\BE=AB,

由（1）得：AF^AB,

.\BE=AF,

又■E#AF,

..?四邊形ABEF是平行四邊形，

,/AF=AB,

二.四邊形ABEF是菱形.

考點：角平分線的畫法；平行四邊形的性質；菱形的判定.

17.（2016湖北鄂州第18題）（本題滿分8分）如圖，OABCD中，BD是它的一條對角線,

過A、C兩點作AE_LBD,CF1BD,垂足分別為E、F,延長AE、CF分別交CD、AB于M、N。

（1）（4分）求證：四邊形CMAN是平行四邊形。

（2）（4分）已知DE=4,FN=3,求BN的長。

【答案】（1）詳見解析；（2）5.

【解析】

試題分析：（D通過AE1BD,CF1BD月AEIICF,再由四邊形ABCD是平行四邊形得到ABIICD,由兩組對

邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形CMAN是平行四邊形；＜2）證明逐/NBF,根據(jù)全等三

角形的性質可得DE=BF=4,再由勾股定理得BN=5.

試題解析：⑴證明：：AE1BDCF1BD

/.AE//CF

又..?四邊形ABCD是平行四邊形

/.AB//CD

四邊形CMAN是平行四邊形

⑵由⑴知四邊形CMAN是平行四邊形

.,.CM=AN.

又：四邊形ABCD是平行四邊形

/.AB=CD,ZMDE=ZNBF.

/.AB-AN=CD-CM,即DM=BN.

在和/NBF中

ZMDE=ZNBF,ZDEM=ZBFN=90O,DM=BN

二.△MDE逐NNBF

.*.DE=BF=4,

由勾股定理得BN=4FN：+BF'=J3J4：=5.

答：BN的長為5.

考點：平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理.

專題27與圓有關的概念

聚焦考點☆溫習理解

1、圓的定義

在二個個坐面內，…線段.9A繞宜囿定的二個端點。旋轉二周，…另二個端點A.隨之旋轉所.

形成的圖形叫做圓，固定的端點o叫做圓心，線段0A叫做半徑。

2、弦

連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）

3.直徑

經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。（如圖中的CD）

直徑等于半徑的2倍。

4.半圓

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

5.弧、優(yōu)弧、劣弧

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

弧用符號表示，以A,B為端點的弧記作“病”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€字母表示）：小于半圓的弧叫做劣弧（多用兩個字母

表示）

5、垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對.的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

6、圓的對稱性

1、圓的軸對稱性

圓是軸對稱圖形,經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。

2、圓的中心對稱性

圓懸以圓心為對掰史心的史心對稱圖形?一

7、弦心距

從圓心倒」弦的距離叫做弦心距。

名師點睛☆典例分類

考點典例一、垂徑定理

【例1】（2016湖北黃石第8題）如圖所示，。。的半徑為13,弦AB的長度是24,ONA.AB,

垂足為N,則0N=（）

A.5B.7C.9D.11

第8題圖

【答案】A.

【解析】

試題分析：已知。。的半徑為13,弦的長度是24,ON-AB,垂足為N,由垂徑定理可得AN=BN=12,

再由勾股定理可得0N=5,故答案選A.

考點：垂徑定理；勾股定理.

【點睛】根據(jù)“兩條輔助線（半徑和邊心距），一個直角三角形，兩個定理（垂徑定理、勾

股定理）”解決即可。

【舉一反三】

（2016湖南長沙第16題）如圖，在。。中.，弦AB=6,圓心0到AB的距離OC=2,則。。的

半徑長為

o

B

【答案】V13.

【解析】

試題分析：已知弦AB=6,圓心0到AB的距離0C為2,根據(jù)垂徑定理可得AC=BC=3,ZAC0=90°,

由勾股定理可求得OA=JW.

考點：垂徑定理；勾股定理.

考點典例二、求邊心距

[例2]（2016貴州貴陽第8題）小穎同學在手工制作中，把一個邊長為12須的等邊三角

形紙片貼到一個圓形的紙片上，若三角形的三個頂點恰好都在這個圓上，則圓的半徑為（）

A.2\/3cmB.4>/3cmC.6-73cmD.86cm

【答案】B.

【解析】

試題分析：過點/作BC邊上的垂線交BC于點D,過點8作NC邊上的垂2戔交AD于點O,則。為圓心.

設。。的半徑為R,由等邊三角形的性質知：Z（95030°,0B=R,：.BD=cosZOBCX0B=R,

2

BC=2BD=43R.■/3C=12,：.R=^=4j3.故選B.

考點：三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質.

【點睛】作出幾何圖形，再由外接圓半徑、邊心距和邊長的一半組成的三角形中，己知外接

圓半徑和特殊角，可求得邊心距.考查了等邊三角形的性質.注意：等邊三角形的外接圓和

內切圓是同心圓，圓心到頂點的距離等于外接圓半徑，邊心距等于內切圓半徑.

【舉一反三】

如.圖，半徑為5的（DA中，弦BC,ED所對的圓心角分別是/BAC,ZEAD.已知DE=6,ZBAC+

NEAD=180°,則弦BC的弦心距等于()

【答案】D.

考點：1.圓周角定.理；2.全等三角形的判定和性質；3.垂徑定理；4.三角形中位線定理.

【分析】如答圖，過點A作AHLBC于H,作直徑CF,連接BF,

答圖

/ZBAC+ZEAD=180°,ZBAC+ZBAF=180°,

:.ZDAE=ZBAF.

j'.W=.AB

在和aABF中，＜-DAE=一BAF,

〔AE=AF

.,.△ADE^AABF(SAS)..\DE=BF^6.

?/AH1BC,.".CH=BH.

又,「CA=AF,「.AH為ACBF的中位線.」.AH=GBF=3.

故選D.

考點典例三、最短路線問題

【例3】如圖，MN是半徑為1的。0的直徑，點A在。0上，/AMN=30°,點B為劣弧AN

的中點.點P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為()

B

A.5/2B.1C.2D.25/2

【答案】A.

【解析】作點B關于MN的對稱點B',連接OA、OB、OB'、AB',

則AB'與MN的交點即為PA+PB的最小時的點，PA+PB的最小值=人8',

VZAMN=30°,

.,.ZA0N=2ZAMN=2X30°=60°,

???點B為劣弧AN的中點，

11

AZB0N=-ZA0N=-X6O0=30°，

22

由對稱性，/B'0N=ZB0N=30°,

NAOB'=ZA0N+ZB/0N=600+30°=90°,

.,-△AOB,是等腰直角三角形，

=5/20A=\/2X1=5/2,

即PA+PB的最小值=a.

【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓

周角的2倍的性質，作輔助線并得到△AOB，是等腰直角三角形是解題的關鍵.

【舉一反三】

（2016浙江臺州第10題）如圖，在△力勿中，力廬10,A（=8,BC=&,以邊47的中點。為圓

心，作半圓與力。相切，點只0分別是邊比■和半圓上的動點，連接閭，則尸0長的最大值

與最小值的和是（）

A.6B.2V13+1C.9D.一

3

【答案】C.

【解析】

試題分析：如圖，設。。與X。相切于點E,連接二，作0Pli5c垂足為P1交。。于0,此時垂線段0Pl

0

最短，最小值為OPi-OQi,'：AB=10,AC=i,3C=6,：.AB-=AC+BC,.\Z090,-：AOP}B=90°,

/.OPJlAC

■：AO=OB,：.P,C=P}B,：.0P^AO4,。/一。0=1,如圖，當吐在￡B邊上時，P2

與5重合時，最大值=5+3=8,.?.P。長的最大值與最小值的和是9.故選C.

課時作業(yè)☆能力提升

一.選擇題

1.（2016福建南平第6題）若正六邊形的半徑長為4,則它的邊長等于（）

A.4B.2C.2A/3D.473

【答案】A.

【解析】

試題分析：正六邊形的中心角為360。+6=60°,那么外接圓的半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角

形，故正六邊形的半徑等于4,則正六邊形的邊長是4.故選A.

考點：正多邊形和圓.

2.（2016內蒙古巴彥淖爾第3題）如圖，線段45是。。的直徑，弦mJ_46,ZC4J?=40O,

則NA?與N力切分別等于（）

B.50°,100°C.50°,80°D.4O0,

100°

【答案】B.

【解析】

試題分析：'：CDLAB,陷90°,戶40°,/.Z6>50°,：.ZABD=ZC=50°,:

OB=OD,:.NABD=NODB=5Q°,：.NAOD=/ABANOD%\00°,故選B.

考點：圓周角定理；垂徑定理.

3.已知。0的直徑CD=10cm,AB是。0的弦,AB_LCD,垂足為M,且AB=8cm,則AC的長為（）

A.2-JScmB.4石cmC.25/5cm或445cmD.52\/3cm或46cm

【答案】C.

【解析】

試題分析：根據(jù)題意畫出圖形，由于點C的位置不能確定，故應分兩種情況進行討論

連接ACfAO,

?「OO的直徑CD=10cm,AB1CD,AB=8cm,.,.AM=AB=1X8=4cm,0D=0C=5cm.

22

當c點位置如答圖1所示時，

."OA=5cjn^AM=4cm,CD_1_AB,「.OV=JOA)—=《3--4-=3cm.

.\CM=OC+OM=5+3=8cm..??在RtAAMC中,AC=7AM：-CM:=J干-S：=4式cm.

當C點位置如圖2所示時，同理可得0M=3cm,

,.，0C=5cm,.*.MC=5-3=2cm.

?.在RtZkAMC中,AC=—CXI*=*^4*—2*=2>/5cm.

綜上所述，AC的長為2J?cm或4行61.

故選C.

考點：1.垂徑定理；2.勾股定理：3.分類思想的應用.

4.已知。。的面積為2",則其內接正三角形的面積為【】

A.3#>B.3\/6C.—>/3D.—\/6

22

【答案】C.

【解析】

試題分析：作出圖形如圖，連接OB,A0并延長交BC于點H,則AC1BC且BH=CH,N0BH=3W.

,.'◎0的面積為2n,二OA=OB=JI.

J.OH=172.BH=-J6.：.AH=--j2.BC=#.

222

LLL

故選c.

5.如圖，MN是。0的直徑，點A是半圓上的三等分點，點B是劣弧AN的中點，點P是直徑

MN上一動點.若MN=2>/^,則PA+PB的最小值是（）

A.2及B.V2C.1D.2

【答案】D.

【解析】作點A關于MN的對稱點A',連接A'B,交MN于點P,連接0A',OA,OB,PA,

AA'.

???點A與A'關于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，

二/A'0N=ZA0N=60o,PA=PA',

?.?點B是弧AN的中點，

AZB0N=30°,

.?.NA'OB=ZA;0N+ZB0N=90",

又?.?OA=OA'=y/2,

.'.A'B=2.

，PA+PB=PA'+PB=A'B=2.

故選1）.

二.填空題

6.（2016貴州貴陽第14題）如圖，己知。。的半徑為6。;，弦18的長為8。?，戶是4?延

長線上一點，BP=2cm,則市〃/的的值是.

【答案邛.

【解析】

試題分析:作。一于M如圖所示:則.」.1*5工￡:,.'.0!f=-JOAZ-AM~~~4*=2-^5(cm),

考點：垂徑定理；解直角三角形.

7.（2016黑龍江綏化第16題）如圖，。。的直徑必=20頷，4?是。。的弦，ABLCD,垂足

為M,若Q歸6an,則加的長為cm.

【答案】16.

【解析】

試題分析：連接出，的直徑。20c勿，.=10c/,在燈中，由勾股定理得:

A,滬,1()2-6?=8cm,.?.由垂徑定理得：A廬24佐16面.故答案為：16.

考點：垂徑定理.

8.如圖，AB是。。的直徑，弦CD_LAB于點E,0C=5cm,CD=6cm,則0E=cm.

【答案】4.

【解析】

試題分析：；CDJLAB

.*.CE=—CD=—X6=3cm,

22

在RtZkOCE中，0E=J0C：-CE，=V-'-3*=4cm.

考點：1.垂徑定理；2.勾股定理.

9.如圖，AB為。。的直徑,CDJ_AB,若AB=10,CD=8,則圓心0到弦CD的距離為

【答案】3.

【解析】連接0C,由AB=10得出0C的長，再根據(jù)垂徑定理求出CE的長，根據(jù)勾股定理求

出0E即可.

試題解析：連接0C,

??,AB為。0的直徑，AB=10,

A.0C=5,

VCD±AB,CD=8,

???CE=4,

/.0E=VOC2-CE2=A/52-42=3.

考點：1.垂徑定理；2.勾股定理.

10.如圖,AB為。。的直徑,CDLAB,若AB=10,CD=8,則圓心0到弦CD的距離為

【答案】3.

【解析】

試題分析：連接0C,由AB=10得出0C的長，再根據(jù)垂徑定理求出CE的長，根據(jù)勾股定理求出0E即可.

試題解析：連接oc,

.「AB為。。的直徑，AB=10,

.\0C=5,

"."CDlAB,CD=8,

.\CE=4,

.,.0E=4oc'-CEr=75：-42=3.

考點：1.垂徑定理；2.勾股定理.

11.00的