向量法在立體幾何中的應(yīng)用672

BDBDPA在立體幾何中的應(yīng)用李鵬近幾年的高考立體幾何題，絕大部分都可以利用幾何法和向量法去求解。在利用幾何法求解時(shí)需要考生有較強(qiáng)的空間思維能力與邏輯推理能力，必須有較完整的“一作、二證、三計(jì)算”的步驟；而利用向量法來(lái)求解，僅需將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成有關(guān)向量的運(yùn)算問(wèn)題來(lái)處理，即將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，簡(jiǎn)捷方便，不用作圖而直接計(jì)算。下面就利用向量法解決立體幾何的一些方法進(jìn)行歸類(lèi)和梳理。mnmn方向bBxyz，則有B0,0,0,D2,1,0,P0,0,2,A0,2,02.10coscosBD,PABDPA5BDPA5arccos—求空間直線(xiàn)所成的角，可避免作輔助線(xiàn)及復(fù)雜嚴(yán)謹(jǐn)AA圖5n是平面的法向量，再求cos求的角.AA0,2,0,C2,0,0,D2,1,0,P0,0,2，故CP2,0,2AP0,2,2,DP2,1,2x,y,z2z02z0n1ciCPCP|n1l中由線(xiàn)面角的范圍為2_o_arccos .2aicsinarccos .27如圖7，求平面和的二面角的平面角的大小，設(shè)m,n2分別為二面7兩個(gè)半平面的法向量，二面角的大小轉(zhuǎn)化為兩個(gè)法向量的夾nn1n求得值,則二面角大小，若二面角為鈍二面角則二面角大小ACABCDBABCBP2CD2，E為PD的中點(diǎn)，求面ACCDP與面ADP所成二面角的大小。圖8Bxyz則有C2,0,0,D2,1,0,P0,0,2,CPCD1,0nCPnCP2x2z0y0nCDnCD，3故COScosm,n2n1n292所以;，顯然二面角為鈍二面角,nnnn在用向量求二面角的大小時(shí)，我們是先求出兩半平面的法向量所在直線(xiàn)的夾角，但二面角可能是鈍角或銳角，因此在求出角后，應(yīng)判斷二面角的大小，再確定二面角就是兩半平面用向量求兩點(diǎn)間的距離，可以先求出以這用向量求兩點(diǎn)間的距離，可以先求出以這兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的1iiiiiiiiii41111則P(2七)、Q (4，0)，44442a距離為|PO|=d.則有QPQOQPQOcosQP,QO，所以cosQP,QOPOPQsinPQOQPsinQP,QO1QPQO1cosQP,QP1cosQP,QPQOQPQOiiiiiiii0，0)，C(0,3，0)，O(0，0，2).iy12122862AOACi22CBCBnn—cosBA，ncosBA，nn因?yàn)锳B=.2,因?yàn)锳B=.2,AF=1，所以CM(',)22y“J2\\2■—CN(亍，云,0),CB(0,-2,0)CMn0CNn0222x2z0AB11■s?nB1C0iiiiab于直線(xiàn)a上任意一點(diǎn)至平面aEFn線(xiàn)n令x=1,得y=1,z=-1，所以n(1,1,1).又AB1(0,1,0),求直線(xiàn)與它平行平面及兩個(gè)平行平面之間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離,BAnn例5設(shè)正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為1,M、N、1111E、F分別是AB、AD、BCCD的中11111111(1,0,0).設(shè)平面(1,0,0).設(shè)平面n則有匹nDF即x0x220n—*n23通