第十二講中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)演示文稿

第十二講中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)演示文稿當(dāng)前1頁，總共41頁。優(yōu)選第十二講中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前2頁，總共41頁。例題2（1998，6分）第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前3頁，總共41頁。第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前4頁，總共41頁。一、中心極限定理1.背景：大數(shù)定理告訴我們，隨機(jī)變量個(gè)數(shù)很大時(shí)，獨(dú)立隨機(jī)變量之和收斂于其均值的和。此時(shí)，獨(dú)立隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)變量的概率分布應(yīng)是什么狀態(tài)？中心極限定理告訴我們，變量個(gè)數(shù)很大時(shí)，和的分布依概率收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。設(shè)隨機(jī)變量之和為:且數(shù)學(xué)期望和方差都存在：設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,則則和的標(biāo)準(zhǔn)變量為：2.中心極限定理變量的設(shè)定第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前5頁，總共41頁。1.林德伯格條件及其意義設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量有其中是隨機(jī)變量的概率密度,若對(duì)于任意的正數(shù),第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前6頁，總共41頁。林德伯格定理長(zhǎng)一些，我們不去證明，這里只解釋它的意義：第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)則當(dāng)時(shí)，有設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量滿足林德伯格條件:有其中是隨機(jī)變量的概率密度,即對(duì)于任意的正數(shù),2.林德伯格定理(z為任意實(shí)數(shù))即當(dāng)前7頁，總共41頁。列維定理服從相同的分布，并且有數(shù)學(xué)期望和方差：則當(dāng)時(shí)，(z為任意實(shí)數(shù))設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量它們和的極限分布是正態(tài)分布，即

在中心極限定理中，我們重點(diǎn)關(guān)注列維-林德伯格定理和拉普拉斯中心定理第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前8頁，總共41頁。第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前9頁，總共41頁。各次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為棣莫弗—拉普拉斯定理n

次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),則有其中z

是任何實(shí)數(shù)，設(shè)在獨(dú)立實(shí)驗(yàn)序列中,事件A

在隨機(jī)變量表示事件A在為任意實(shí)數(shù)第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前10頁，總共41頁。當(dāng)n

充分大時(shí),變量近似地服從正態(tài)分布由于隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布所以棣莫弗—拉普拉斯定理說明:的隨機(jī)第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前11頁，總共41頁。例題12-1-1第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前12頁，總共41頁。第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前13頁，總共41頁。3.樣本值（觀測(cè)值）對(duì)總體X中抽取n個(gè)體，得到的n個(gè)數(shù)據(jù)稱為樣本的一個(gè)樣本觀測(cè)值.二、總體與樣本1.總體：所研究對(duì)象的全體。總體的指標(biāo)是一個(gè)隨機(jī)變量，總體就是指某個(gè)隨機(jī)變量X

可能取值的全體.記作X.相應(yīng)地，個(gè)體是組成總體的每個(gè)單元（或元素）.樣本容量樣本中所包含的個(gè)體的數(shù)量n.若從總體X中抽取n個(gè)個(gè)體則稱為X的一個(gè)樣本.2.樣本：總體中的部分個(gè)體.第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前14頁，總共41頁。簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本

（1）（2）具有下述特點(diǎn):

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（1）抽樣的隨機(jī)性

總體中的每一個(gè)個(gè)體都有同等的機(jī)會(huì)被抽到.（2）抽樣的獨(dú)立性各次抽樣的結(jié)果互不影響.4.簡(jiǎn)單樣本：例如從一批含有n個(gè)燈泡的產(chǎn)品中，不放回地取20個(gè)測(cè)定其壽命.就是一簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前15頁，總共41頁。隨機(jī)抽樣可以近似看作是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.[注]當(dāng)總體容量n很大，而樣本容量n很小時(shí)非簡(jiǎn)單教材涉及的抽樣與樣本均是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。頻率頻數(shù)觀測(cè)值從總體中抽取容量為n

的樣本：

并得到n

個(gè)樣本的觀測(cè)值，其中：第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)5.樣本分布函數(shù)：設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x).當(dāng)前16頁，總共41頁。由伯努利大數(shù)定理可知，即對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，有第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)

由此可知，樣本分布函數(shù)是總體分布函數(shù)的一個(gè)良好的近似，統(tǒng)計(jì)理論中，它就稱為用樣本研究總體的依據(jù)。當(dāng)前17頁，總共41頁。樣本分布函數(shù)的性質(zhì)（1）（2）（3）跳躍間斷點(diǎn)，（4）樣本分布函數(shù)的圖形如下所示：1第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前18頁，總共41頁。6.頻率直方圖及其的作法：第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前19頁，總共41頁。第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前20頁，總共41頁。三、樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量2.樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量定義：2.常用的統(tǒng)計(jì)量和觀測(cè)值：樣本的（平）均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、原點(diǎn)距、中心矩均是樣本變量的函數(shù)，即統(tǒng)計(jì)量第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前21頁，總共41頁。第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前22頁，總共41頁。其觀測(cè)值為：

第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前23頁，總共41頁。計(jì)算樣本均值、樣本方差及樣本二階中心矩.例12-3-1

設(shè)抽樣得到樣本觀測(cè)值如下：19.1，20.0，21.2，18.8，19.6，20.5，22.0，21.6，19.4，20.3.解樣本均值樣本方差樣本二階中心矩為使計(jì)算簡(jiǎn)化，可把所得數(shù)據(jù)整理如下：當(dāng)樣本容量n

較大時(shí)，相同的樣本觀測(cè)值往往會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，頻數(shù)觀測(cè)值第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前24頁，總共41頁。

例12-3-2

設(shè)抽樣得到100個(gè)觀測(cè)值如下表：81219262114頻數(shù)543210觀測(cè)值計(jì)算樣本均值、樣本方差及樣本二階中心矩。解第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前25頁，總共41頁。

例如計(jì)算§2.4(P144)中的零件尺寸偏差的樣本平均值、樣本方差及樣本二階中心矩。

1

+27.5

47

-2.5

5

+22.5

35

-7.5

13

+17.5

23

-12.5

26

+12.5

11

-17.5

36

+7.5

6

-22.5

45

+2.5

2

-27.5頻數(shù)區(qū)間中點(diǎn)值（微米）頻數(shù)區(qū)間中點(diǎn)值（微米）解第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前26頁，總共41頁。其概率密度:定理1正態(tài)分布

N

(0,1)，則隨機(jī)變量服從自由度為k的分布.設(shè)隨機(jī)變量記為相互獨(dú)立，并且都服從標(biāo)準(zhǔn)1.分布:四、數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的常用分布第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前27頁，總共41頁。（1）可加性：若隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且

則

1.分布的性質(zhì):（2）可查性：第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前28頁，總共41頁。查表得例如：k=10，α=0.05時(shí)查表附表三

2.t分布（“學(xué)生”分布）定理2設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，則隨機(jī)變量其概率密度:服從自由度為

k的

t

分布，記作。第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前29頁，總共41頁。第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前30頁，總共41頁。當(dāng)k=10，α=0.05時(shí)，可查得例如

3.F分布定理3設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，則隨機(jī)變量其概率密度:服從自由度為的F分布，并記作為第二自由度。其中為第一自由度；第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前31頁，總共41頁。α第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前32頁，總共41頁。當(dāng)=10，=15，α=0.05時(shí)，例如查表P292第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前33頁，總共41頁。第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)例12-4-1（2003，4分）當(dāng)前34頁，總共41頁。五、單個(gè)正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布服從正態(tài)定理1設(shè)總體則樣本均值即分布則統(tǒng)計(jì)量定理2設(shè)總體第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前35頁，總共41頁。定理3則統(tǒng)計(jì)量設(shè)總體證第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前36頁，總共41頁。定理4則設(shè)總體(1)樣本均值獨(dú)立;與樣本方差或證明略，僅對(duì)自由度作如下說明:第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)當(dāng)前37頁，總共41頁。∴n個(gè)隨機(jī)變量不獨(dú)立